定积分的概念与性质练习
第一节 定积分的概念与性质
一、选择题
1. A ；
2. C . 二、填空题
1. （1）1; （2）0; （3）4
π. 2. （1）1
2
x dx ?
>
1
30
x dx ?
，
（2）2
1ln xdx ? > ()
2
2
1ln x dx ?，
（3）
20
xdx π
?
<
20
sin xdx π
?
， （4）4
3
ln xdx ? <
()
4
2
3ln x dx ?.
三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2
21
x dx -?
是存在的，且它与分法无关，同
时也与点的取法无关.
将区间[]0,1n 等分，得1 i x n =
，取() 1,2,, i i
i n n
ξ== 作和 ()2
3
2
1
1
13
344
0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n
n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1
lim 4n n S →∞=
即 13
014
x dx =?.
四、 细棒的质量()0
l
x dx ρ?.
五、
1
13
x e dx -+?
311
x e dx +-=-?.
设()()1
1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，
从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1
41x e e +≤≤.
于是 3
141
44x e dx e +-≤≤?
从而 1
4
13
44x e e dx -+-≤
≤-?
.
六、 设()()2
21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1
4
x =
. ()17101,,1482f f f ????
===
? ?????
.所以 min ()f x =1, max ()f x =78.
1≤≤ 由定积分性质，得
1
2012≤≤
?.
第二节 微积分基本公式
一、填空题
1.
2 2. ()()
33
sin cos 3cos cos cos 3sin x x x x --；3. 0.
二、 cos y x '= ； 0cos01x y ='==； 2
c o s 0
2
x y
π
π
=
'==. 三、 ()22
0x t x d I x te dt xe dx
--'=
=?， 令()0,I x '=得驻点0x =； 当0x <时，()0,I x '<当0x >时，()0,I x '> 所以， 当0x =时，函数()I x 有极小值.
四、1. ()1
1
340
015
sin cos cos144
x x dx x x ??+=-=-?????；
2.
()[]2
2
4
440
tan sec
1tan 14
xdx x dx x x ππ
π
π
=-=-=-?
?
；
3.
()[][]222000sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x π
ππ
π
π
π
π
=+-=-+=?
??
.
4.
()()1
2
2
232
1
2
1
011612266
x
x x f x dx x dx dx x ????=++=++=???????????
. 五、 2
2
2sin 0
3220
00sin sin arctan cos arctan 1224lim
lim lim
3312
x
x x x t x x dt x x x x →→→???? ? ?
????===?
. 六、 当 0x <时，()0
00x
F x dt ==?
当 0x π≤<时，()()0
11
sin 1cos 22
x
F x tdt x ==-?
当 x π≥时，()0
1
sin 012
x F x tdt dt π
π=
+=?
?.
故 ()()0, 0
1
1cos , 021, .
x F x x x x ππ
七、设连续函数()f x 满足(
)()1
3,f x x f x dx =求()f x 的表达式
解 设 ()1
a f x dx =
?
所以 (
)()1
11
003a f x dx x f x dx ??=
=-????
?
?
1
20
31arcsin )22x a x ??
=-????
3,24a
a =
- 得 6
5
a =
所以 (
)3f x x =.
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一、填空题
1. 51512；
2. 3. 3
324
π； 4. 0.
二、1. ()203sin x x dx π
+?2
22
33cos 128x x π
π??=-=
+????.
2.
3
33
3
22
22
23dx x ?==+=????3.
3
300
tan ln cos ln 2xdx x ππ
=?-?=???
.
4. (
22330001252(1)1399x x x ?=+=+=?
??. 5.
()2
66
2200sec cos 14sin 15tan sec tdt tdt t t t π
π=++? ()()()662002s i n 11arctan 2sin 228
12sin d t t t ππ
π=
==????+?. 6.
21
-
?
=
21
1
--+?
?
2
1
4 =?2
2
0sin sin 4cos 1cos t
x t tdt t π
=+?令 ()2204cos cos t t dt π
=-=?14(1)422
π
π-?=-.
三、1.
ln3
ln3
ln3
ln300
0x
x
x x
xe dx xde
xe e dx ----??=-=-+???
?
?
ln3
112ln 3ln 3333
x e -??=--=-+??. 2.
2
21
1
11ln ln ln 222
e e
e
e x x x x xdx xd x dx ??==-?????
?
?()22211
1244e
e x e ??=-=+????
3. ()1
222
1
12000
1arctan arctan 2221x x x x x x dx x dx x ??+=+
-??+???? ()[]2
11
20011111111arctan 24212424
x dx x x x πππ+-????=+-=+--= ? ?+?????. 4.
11
11
ln ln ln e
e
e
e
x dx xdx xdx =-+?
??[][]()
1111ln ln 21e
e
x x x x x x e -=--++=-.
5.
()1
1
sin ln ln sin e
t x dx x t e tdt =?
?令
1
1
1
1
1
sin sin cos sin1cos sin t t t t t
e tdt e t e tdt e e t e tdt ????=-=--?????
??
1
sin1cos11sin t e e e tdt =-+-?
所以
()1
s i n l n e
x d x ?1(s i n 1c o s 11)
2
e e =-+ 6. 044422
022
sin sin sin 111x x x
x
x x e e e xdx xdx xdx e e e π
πππ--=++++??? 令x t =- ，0
04442
022
1sin sin sin 111x t
x t x e e xdx tdt xdx e e e πππ---=-=+++??? 所以 44
4
4
2222000
2
1s i n s i n s i n s i n
111x x
x x x e e xdx xdx xdx xdx e e e ππππ
π-=+=+++????
31342216
ππ
== . 四、解 设1,x t -= 则 dx dt = 所以
()2
1
10
1
10111()11t f x dx f t dt dt dt e t ---==+++?
??
? []()0
01011ln(1)ln(1)ln 2ln 11t t
t
e dt t e e e -----??=++=-++=+??+?. 五、证明 右边()()()12b
a x a x
b df x '=--?
()()()()()11[]222b b
a a
x a x b f x x a b f x dx ''=-----?
()()()1[2]2
b b
a a x a
b f x f x dx =--+?
()b
a
f x dx =
?=左边.
第四节 反常积分
一、是非题
1. 错
2. 错
3. 正确
4. 错. 二、解 1.
[]11
1ln(1)1dx x x
+∞
+∞
=+=+∞+?
. 所以 这反常积分发散.
2. 0
0ln(1)ln 21x x
x
e dx e e -∞-∞??=+=??+?. 所以 这反常积分收敛，其值为ln 2.
3.
(1
1
10lim 11x -→?==+=??
. 所以 这反常积分收敛，其值为1.
4.
20222220202
2
11111111sin sin sin cos cos dx dx dx x x x
x x x x x π
π
π
ππ
π--
-????=+=+??????????? 001221
lim cos cos cos lim cos x x x x
ππ-+→→=++- 因为 0011lim cos lim cos x x x x
-+
→→和不存在 故 这反常积分发散. 5.
()0
2222x
x x x
x x e dx xe dx xe e +∞
+∞+∞-----∞
??+==--=??
?
?.
所以 这反常积分收敛，其值为2.
6.
()
2
2
2ln 11ln ()211x x
dx xd x x =-
++?
? 22ln 112(1)2(1)x dx x x x =-
+++? 22ln 11()2(1)21x x dx x x x
=-
+-++?
2
22
ln 1ln 2(1)41x x C x x =-++++
于是
()20
2ln 1x x dx x +∞
+?
2220ln 1lim ln 2(1)41b
b x x x x ε
ε+→+∞→??
=-+??++?
? 2222220ln ln 11lim ln ln 2(1)2(1)4141b b b b b εεεεε+→+∞→??
=-++-??++++?
? 2220ln 1lim ln(1)02(1)4εεεεε+→??=-+++=??+??
. 所以 这反常积分收敛，其值为0.
三、解
()
()1
l n (l n ), 1
ln 1(ln ), 1ln ln 1
k
k k x
C k dx
d x x C k x x x k -++=??
==?+≠?
-+???当时当时 当1k =时
()[]22
ln(ln )ln k
dx x x x +∞
+∞
==+∞?，此反常积分发散.
当1k ≠时
()
()11-2
2
, 11(ln )11ln 21ln -1
k k
k
k dx x k k x x k +∞
+∞
-+∞
??==???->?????
当时
,当时， 所以 当1k ≤时， 此反常积分发散
当1k >时， 此反常积分收敛，其值为
()1-1ln 2-1
k k . 令 ()()1-1-11ln 2 ln 2 -1-1
k
k f k a a k k =
=设 ()111
(ln )11
k f k a a k k -'=-+--
令 ()0f k '=，得驻点 1
1ln ln 2
k =-
()2
21
1[1(1)ln ](1)k k a f k k a -++-''=
- 1
3
ln 211(ln ln 2)(ln 2)0ln ln 2f ??''-=-> ???
因而 ()f k 在1
1ln ln 2
k =-
点取得最小值.
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
定积分的概念同步练习题(理科)(学生版)汇编
定积分的概念同步练习题(理科) 、选择题 把区间［1,3］ n 等分，所得n 个小区间的长度均为( 将［0 , t ］ n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值 6.已知 3f (x )d x = 56,则( 7.已知 b f (x )d x = 6,则,b 6f (x )d x 等于( ■ a ■ a BJ Ih 丨°_12山 + 1 10 .下列命题不正确的是 ( A. 若f (x )是连续的奇函数, B. 若f (x )是连续的偶函数, I : JO)山=21汎小h C. 若f (x )在［a , b ］上连续且恒正，则 b f (x )d x >0 1 A.- n 2 B.— n 3 C. 一 n 1 D.^ 对于以v = v (t )在［0 , t ］内汽车作直线运动经过的路程 S ,下列叙述正确的是( A . 将［0 , t ］n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时, 求得的 s 是S 的不足估计值 B . C. 将［0 , t ］n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时， 将［0 , t ］ n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高 求得的 s 是S 的过剩估计值 D. 一物体沿直线运动，其速度 v (t ) = t ，这个物体在 t = 0到t = 1这段时间所走的路程为 1 B.2 C. 1 3 D.2 4.定积分'3( — 3)d x 等于( J 1 D. 5 .定积分,b f (x )d x 的大小( M a A .与f (x )和积分区间［a , b ］有关，与 E i 的取法无关 .与f (x )有关，与区间［a , b ］以及E i 的取法无关 C.与f (x )以及E i 的取法有关，与区间 [a, b ]无关 .与f (x )、区间［a , b ］和E i 的取法都有关 A. 2f (x )d x = 28 -1 B. 3f (x )d x = 28 ■ 2 C. 2 2f (x )d x = 56 1 D. ，2 f (x )d x + 3f (x )d x = 56 '1 ' 2 A . 6 B . 6( b -a ) .36 .不确定 8.已知f (x )为偶函数且16 f (x )d x = 8，则 J o C . (x>0), (x <0), A . 0 B . 4 x 2 2x 9.设 f (x )= 6 f (x )d x 等于( -6 D . 16 则'1- 1f (x )d x 的值是(
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
定积分的概念与性质习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 ⑵ 1 x e dx ?。 【解】第一步：分割
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
人教新课标A版高中选修2-2数学1.5定积分的概念同步练习(I)卷
人教新课标A版选修2-2数学1．5定积分的概念同步练习（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（） A . B . 1 C . 2 D . 2. （2分）(2017·临汾模拟) 一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（） A . 26.5 B . 53 C . 31.5 D . 63 3. （2分）在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J） A . 0.196 B . 0.294 C . 0.686 D . 0.98
4. （2分） (2017高二下·枣强期末) 已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形的面积为（） A . B . C . D . 5. （2分）求由抛物线与直线所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ 等分成个小区间，则第个区间为（） A . B . C . D . 6. （2分）由函数y=ex ， y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（） A . 1 B . C . e
7. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（） A . 3 B . C . 3或 D . 3或 8. （2分） (2016高一下·宜春期中) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（） A . 3 B . C . 3或 D . 3或 9. （2分）已知，，记则的大小关系是（） A . B . C . D . 10. （2分）设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为（） A . 70m
高中数学 1.5.3 定积分的概念同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.5.3 定积分的概念 一、选择题 3(－3)d x等于( ) 1．定积分 ?? 1 A．－6 B．6 C．－3 D．3 [答案] A 3(－3)d x表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的[解析] 由积分的几何意义可知 ?? 1 3(－3)d x＝－6. 矩形面积的相反数，故 ?? 1 b f(x)d x的大小( ) 2．定积分 ?? a A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关 [答案] A [解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确． 3．下列说法成立的个数是( ) - 1 -
- 2 - ①??a b f (x )d x ＝∑i ＝1 n f (ξi ) b －a n ②??a b f (x )d x 等于当n 趋近于＋∞时，f (ξi )· b －a n 无限趋近的值 ③??a b f (x )d x 等于当n 无限趋近于＋∞时，∑i ＝1 n f (ξi ) b －a n 无限趋近的常数 ④??a b f (x )d x 可以是一个函数式子 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A [解析] 由??a b f (x )d x 的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A. 4．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 [答案] D [解析] 由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0围成的曲边梯形知由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形． ∴??13f (x )d x ＝??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x
定积分练习题
第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1．按定积分定义证明：?-=b a a b k kdx ).( 2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）?∑=+=1 01 2 233 )1(41:;n i n n i dx x 提示 （2）?10;dx e x （3）?b a x dx e ; （4 ）2(0).(:b i a dx a b x ξ<<=? 提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式 1．计算下列定积分： （1）?+10)32(dx x ； （2）?+-1 022 11dx x x ； （3）?2ln e e x x dx ； （4）?--102 dx e e x x ； （5）?30 2tan π xdx （6）?+ 9 4;)1(dx x x （7）?+4 0;1x dx （8）?e e dx x x 12 )(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1 334lim n n n +++∞→ （2）;)(1)2(1) 1(1222lim ??????++++++∞ →n n n n n n （3）);21 )2(111( 2 22lim n n n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim n n n n n n -+++∞ → ππ
3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有 ()()().b a f x dx F b F a =-? §3 可积条件 1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑?≤?' .''T T i i i i χωχω 2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?. 3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处 ()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且 ()().χχχχd g a b d f a b ??= 3．设f 在[a,b]上有界，{}[], ,b a a n ?.lim c a n n =∞ →证明：在[a,b]上只有 () ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。 4．证明：若f 在区间?上有界，则 ()()()()"','".sup sup inf f f f f χ χχχχχχχ∈? ∈? ∈? -=-。 §4 定积分的性质 1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则 ∑? =→=?n i b a i i i T dx x g x f x g f 1 0,)()()()(lim ηξ 其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)??1 1 ;2dx x xdx 与 (2)??20 20 .sin ππxdx xdx 与 3.证明下列不等式: (1) 20 ;2 2π π π <
(完整版)定积分的概念同步练习题(理科)(教师版)
定积分的概念同步练习题（理科） 一、选择题 1． 把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( B ) A.1 n B.2n C.3 n D. 12n 2． 对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( C ) A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值 B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值 C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高 D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值 3． 一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为( B ) A.1 3 B.1 2 C ．1 D.32 4．定积分??13(－3)d x 等于( A ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 5．定积分??a b f (x )d x 的大小( A ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 6．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( D ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??23f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 7．已知??a b f (x )d x ＝6，则??a b 6f (x )d x 等于( C ) A ．6 B ．6(b －a ) C ．36 D ．不确定 8.已知f (x )为偶函数且??06 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( D ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 9．设f (x )＝????? x 2 (x ≥0)，2x (x <0)， 则? ?1－1f (x )d x 的值是( ) [答案] D[解析] 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D. 10．下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则
[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分
第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 ,
定积分的概念同步练习题
定积分的概念同步练习题 一、选择题 1． 把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1 n B.2n C.3 n D. 12n 2． 对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( ) A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值 B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值 C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高 D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值 3． 一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为( ) A.1 3 B.1 2 C ．1 D.32 4．定积分??13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 5．定积分??a b f (x )d x 的大小( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 6．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??23f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 7．已知??a b f (x )d x ＝6，则??a b 6f (x )d x 等于( ) A ．6 B ．6(b －a ) C ．36 D ．不确定 8.已知f (x )为偶函数且??06 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 9．设f (x )＝????? x 2 (x ≥0)， 2x (x <0)， 则? ?1－1f (x )d x 的值是( ) 10．下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则 C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a b f (x )d x >0
定积分的概念与性质练习
第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.
数学高二-选修2-2同步练习 第四章1定积分的概念
高手支招6体验成功 基础巩固 1.用定积分定义求由x=2,x=3,y= 2 1 x ,y=0围成的图形的面积. 解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+ n 1 ],[2+ n 1 ,2+ n 2 ] (2) n n1 - ,3],记第i个区间为[2+ n i1 - ,2+ n i ](i=1,2,…,n),其长度为Δx= n 1 . 分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形, 它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑ = ? n i i S 1 ,设f(x)= 2 1 x ,如图所示,当n很大时,Δx 很小,在区间[2+ n i1 - ,2+ n i ]上,可以认为函数f(x)= 2 1 x 的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=) 2 )( 1 2( n i n i + - +处的函数值f(ξi)= ) 2 )( 1 2( 1 n i n i + - + ,这样在区 间[2+ n i1 - ,2+ n i ]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=) 2 )( 1 2( n i n i + - +· n 1 =(i=1,2,…,n). ∴S n=∑ = n i1 ΔS′i=∑ = n i1 f(ξi)· n 1 = n 1 ［ 3 ) 1 2( 1 ) 2 2 )( 1 2( 1 ) 1 2(2 1 ? - + + + + + + + n n n n n ］ = 2 1 6 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 = - = - - + + + + + + + - n n n n n . 思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步. 2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离. 解:s=?0 5 v(t)dt=∑ = n k1 ( n 5 ·k）3· n 5 (n→∞)=∑ = n k1 4 4 5 n ·k3(n→∞)
定积分练习题
题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分 内容 一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分 题型 题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小 题型III利用积分估值定理解题 题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V定积分的计算
题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算 自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题 基础题： 一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）
A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （ ） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?． 则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是 ． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第三章+第一节+导数的概念和运算、定积分和答案
第三章导数及其应用 全国卷5年考情图解高考命题规律把握 1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与 函数的性质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的 切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或 已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二 问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参 数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ 和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数 在函数单调性中的应用，总体难度偏大. 第一节导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
定积分的概念习题
凰课时作业 ?＞在学生用书中.此内容单独成册@ ［学业水平训练I 1. 下列函数在其定义域上不是连续函数的是（ ） A. y=x B. y=\x\ 解析：选D.由于函数y=-^J 定狡域为（一8, 0） U （0, 4-oo ）,故其图象不是连续不斯 X 的曲线. 2?在“近似代替”中.函数代力在区间［尢，“+］上的近似值（ ） $ A. 可以是左端点的函数值fM B. 可以是右端点的函数值 C. 可以是该区间内的任一函数值x/+i ］） D. 以上答案均正确 解析：选D.由于当/?很大，即△"很小时，在区间［乩，“+］上，可以认为函数f （x ） 的值变化很 小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值（含端点函数值）. 3. 直线y=2x4-1与直线x=0, x=m, y=0围成图形的面积为6,则正数/7/=（ ） A. 1 B. 2 C ? 3 D. 4 ■ 解析：选B.由题意，直线囲成梯形的面积为5=^（1+2/77+1）777=6,解得777=2,刃=一 3（舍去）. 4. 对于由直线x=1, y=0和曲线y=x 所国成的曲边三角形，把区间3等分.則曲边 三角形面积的近似值（取每个区间的左端点）是（ ） 1 1 2 2 解析：选A.将区间［0,1］三等分为0, - , - , 1 ,乞小矩形的面积和为si = 5?在求由曲线y=-与直线x=1t x=3, y=0所国成图形的面积时，若将区间门等分, X 并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第/个小曲边梯形的面积约等于（ ） 2 1 C ?n 门D ?门+2/ （ 2 「〃+2 7—1 〃+2 / 解析：选A.每个小区间长度为-，第/个小区间为 --------------------- ， ----- ,因此第/ n L n n 1 2 2 个小曲边梯形的面积△$& 丄” ?一=■?丄「? n+2/ n n+2 / n 6. ____________ 如果汽车做匀变速直线运动，在吋刻十的速度为讥十）=#+2（单位： km/h ）,則该汽 车在这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则国成该图形的直线 和 曲线分别是 ___________ ?
定积分练习题(20200511220139)
(3) 第九章定积分 练习题 § 1定积分概念 习 题 b 1 .按定积分定义证明：a kdx = k （b - a ）. 2?通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集 应的积分和的极限，来计算下列定积分: &密（0 ：： a ：： b ）. （提示:取 i a x § 2 牛顿一菜布尼茨公式 2 ?利用定积分求极限： 1 3 3 （i ）l n m7 （1 2 n ）; ； 1 丄 1 丄…丄 1 I ⑵血"[(门十1)2 (n +2)2 (n + n)2 一 1 3 (1).0x dx;提示:X n ? 3 I i 4 」n 2(n 1)2 4 2 1 ?计算下列定积 分： 1 （1） o （2x 3 ）dx ； 2) 1 I o 2 X - X — d i (3) e 2 dx e x In x ； (5) )an 2xdx 9 1 ⑹ 4（、x x ） dx ； 4 10 e 1 2 ⑻.1 — (1 nx) dx e x ，把定积分看作是对 (3) ^ e ' dx; (4)
1 1 i n m n(厂严祚）； (3)
1 n 2 兀 n —1 ⑷何养的n sin , sin =） 3 ?证明：若f 在［a,b ］上可积，F 在［a,b ］上连续，且除有限个点外有F z (x ) =f (x),则有 b a f(x)dx 二 F(b)-F(a). § 3可积条件 1 ?证明：若T /是T 增加若干个分点后所得的分割，则---iA i. T 2?证明：若f 在［a,b ］上可积，a,「 a,b|则f 在 上也可积. 3?设f 、g 均为定义在［a,b ］上的有界函数。证明：若仅在［a,b ］中有限个点处 f - g ,则当f 在［a,b ］上可积时，g 在［a,b ］上也可积，且 3?设f 在［a,b ］上有界， 玄；二a, b ］ ”口 a n =c.证明：在［a,b ］上只有 n )：: a n n =1,2，… 为其间断点，贝U f 在［a, b ］上可积。 4 ?证明：若f 在区间厶上有界，则 sup f inf f 飞up f § 4定积分的性质 1. 证明：若f 与g 都在［a,b ］上可积,则 n I T m 」皿， x i 其中i , i 是T 所属小区间△ i 中的任意两点,i=1,2…,n. T' b =a f （X ）g
定积分的概念教学反思
渭南市吝店中学曹茹军 本节课是高二新授课，是选修2-2第四章第一节的内容：《定积分的概念》课程内容安排为一课时。 此内容要求学生在充分认识导数的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．理解掌握定积分的几何意义和性质；认识到数学知识的实用价值。 新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨，我在课堂内容的编排上作了一定的思考。在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。在问题设置上，尽量让学生能通过自己的努力探索独立完成，通过独立思考展示与合作探究展示相结合，让其承担起引导思考与解释的重任。 我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。 当然这节课还有一些不足之处，由于没有在课前提前向学生透漏问题，想要在课堂上反应学生的真实水平，因此学生回答问题时不够全面，导致学生回答的次数较多且有些同学比较拖沓，出现了上课前松后紧的遗憾。我觉得这样的课堂模式导学案的设置是很重要的，在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。 最后为了上好这堂课，背后凝聚了我们全组老师集体的智慧与力量，大家在一起共同研究与探讨，出了许多好的主意，在此一并表示感谢。
最新定积分的概念与性质
定积分的概念与性质
第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的