2017年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年山东，文1，5分】设集合{}

{}11x 2M x x N x =-<=<，，则M N = （ ）

（A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,2 【答案】C

【解析】:02M x <<，2N x <：，所以(0,2)M N = ，故选C ． （2）【2017年山东，文2，5分】已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ）

（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】A

【解析】1i

1i i

z +==-，所以22(1i)2i z =-=-，故选A ．

（3）【2017年山东，文3，5分】已知x y 、满足约束条件250302x y x y -+≤??

+≥??≤?，则2z x y =+的最大值

是（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【答案】D

【解析】可行域如图，在点()1,2A -z 取最大值：max 3z =，故选D ．

（4）【2017年山东，文4，5分】已知cos 3

4

x =

，则cos 2x =（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）1

8

【答案】D

【解析】2231

cos22cos 12()148

x x =-=?-=，故选D ．

（5）【2017年山东，文5，5分】已知命题p ：x R ?∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <。下列命题

为真命题的是（ ）

（A ）p q ∧ （B ）p q ?∧ （C ）p q ?∧ （D ）p q ??∧ 【答案】B

【解析】2213

1()024x x x -+=-+>，p 真；22a b a b

题；命题p q ?

∧为真命题，故选B ． （6）【2017年山东，文6，5分】执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，

则空白判断框中的条件可能为（ ）

（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤ 【答案】B

【解析】解法一：当4x =，输出2y =，则由2log y x =输出，需要4x >，故选B ．

解法二：若空白判断框中的条件3x >，输入4x =，满足43>，输出426y =+=，不满足，

故A 错误，若空白判断框中的条件4x >，输入4x =，满足44=，不满足3x >，输 出2log 42y ==，故B 正确；若空白判断框中的条件4x ≤，输入4x =，满足44=， 满足4x ≤，输出426y =+=，不满足，故C 错误，若空白判断框中的条件5x ≤， 输入4x =，满足45<，满足5x ≤，输出426y =+=，不满足，故D 错误，故选B ．

（7）【2017年山东，文7，5

分】函数2cos2y x x =+最小正周期为（ ）

（A ）

2

π （B ）23π （C ）π （D ）2π

【答案】C

【解析】2cos22sin(2)6y x x x π=+=+，所以22, T π

ωπω

===，故选C ．

（8）【2017年山东，文8，5分】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据

（单位：件）。若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ） （A ）3，5 （B ）5，5 （C ）3，7 （D ）5，7 【答案】A

【解析】甲组：中位数65，所以5y =；乙组：平均数64，所以3x =，故选A ．

（9）【2017年山东，文9，5分】设()

()10

21,1

x f x x x <<=-≥??，若()()1f a f a =+，则1f a ??= ???（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】C

【解析】由图象可知：0111

a a <?∵()()1f a f a =+，∴ 2[(1)1]2a a =+-=，解得：1

4a =，

∴ 1

()(4)6f f a

==，故选C ．

（10）【2017年山东，文10，5分】若函数()x e f x （ 2.71828e =??是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单

调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（ ）

（A ）()2x f x =- （B ）()2f x =x （C ）()3x f x =- （D ）()cos f x =x 【答案】A

【解析】D 显然不对，B 不单调，基本排除，A 和C 代入试一试。（正式解答可求导，选择题你怎么做？）

若()2x f x -=，则()2()2

x x x x e

e f x e -=?=，在R 上单调增，故选A ．

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分． （11）【2017年山东，文11，5分】已知向量()2,6=a ， ()1,λ=-b ，若//a b ，则λ= ． 【答案】3-

【解析】26

31λλ=?=--，故为3-．

（12）【2017年山东，文12，5分】若直线()100x y

a b a b

+=>>， 过点()1,2，则2a b +的最小值为 ． 【答案】8

【解析】点()1,2代入直线方程：12

1a b

+=∴ 1242(2)()448a b a b a b a b b a +=++=++≥+，最小值为8．

（13）【2017年山东，文13，5分】由一个长方体和两个1

4

圆柱体构成的几何体的三视图

如右图，则该几何体的体积为 ．

【答案】22

π

+

【解析】2112(11)4222V π

π=??+÷?=+

．

（14）【2017年山东，文14，5分】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()42f x f x +=-．若当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则()919f ．

【答案】6

【解析】由()()42f x f x +=-知周期为6，∴ (919)(1)(1)6f f f ==-=．

（15）【2017年山东，文15，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右支与焦点为F

的抛物线2

2(0)x py p =＞交于A B 、两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．

【答案】y x = 【解析】∵ ,,222A B p p p

OF AF y BF y ==+=+，由4AF BF OF +=，可得：2A B y y p p ++=∴ A B y y p +=，

联立：2222221

x py x y a

b ?=??-=??，消去x 得：22222

20a y b py a b -+= ，由韦达定理：2

2

2A B b p y y a += ， ∴ 222

2

22b p p a b a

=?= ，∴

渐近线方程为：b y x a =±=． 三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2017年山东，文16，12分】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家123A A A 、、和3个欧洲国家123B B B 、、中

选择2个国家去旅游．

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括1A 但不包括1B 的概率．

解：（1）从这6个国家中任选2个，所有可能事件为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ；()23,A A ，

()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ；()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ；()12,B B ，()13,B B ；()23,B B ；共15种

都是亚洲国家的可能事件为：()12,A A ，()13,A A ，()23,A A ，共3种，∴P （都是亚洲国家）31

155

=

=． （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，所有可能事件为：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ；()21,A B ，()22,A B ，

()23,A B ；()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ；共9种．

包括1A 但不包括1B 的可能事件为：()12,A B ，()13,A B ，共2种，∴P （包括1A 但不包括1B ）2

9=．

（17）【2017年山东，文17，12分】在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、。已知3b =，6AB AC ?=-

，

3ABC S ?=，求A 和a ．

解：6AB AC =- ，3ABC S ?=，∴ cos 61sin 32

bc A bc A =-??

?=??，化简：tan 1A =-，解得：34A π=，∴

bc =3b =，

得：c =∴ 2222cos 981229a b c bc A =+-=++=∴

a ．

（18）【2017年山东，文18，12分】由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111—C B CD 后

得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ．

（1）证明：1

//AO 平面11B CD ； （2）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD ．

解：（1）设11B D 中点为F ，连接1A F ，∵1111ABCD A B C D -为四棱柱，∴1//A F OC ，且1A F O C =，∴ 四边形1A FCO

为平行四边形∴ 1//A O FC ，又1

AO ?平面11B CD ，且FC ?平面11B CD ，∴1//AO 平面11B CD ． （2）四边形ABCD 为正方形，∴ BD AC ⊥，∵E 为AD 的中点，M 是OD 的中点，∴//EM AC ，∴ BD EM ⊥

∵1A E ⊥平面ABCD ，BD ABCD ?∴ 1A E BD ⊥，∵ 1A E ?平面1A EM ， EM ?平面1A EM ，且

1A E EM E = ，∴BD ⊥平面1A EM ，又11//B D BD ，∴11B D ⊥平面1A EM ，∵11B D 平面11B CD ， ∴ 平面11B CD ⊥平面1A EM ，即：平面1A EM ⊥平面11B CD ．

（19）【2017年山东，文19，12分】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12 6a a +=，123a a a =．

（1）求数列{}n a 通项公式；

（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和为n S 。已知211n n n S b b ++=，求数列n n b a ??

????

的前n 项和n T ．

解：（1）设{}n a 公比为q ，由题意0,0n a q >>，由12 6a a +=，123a a a =，112

111

6a a q a a q a q +=???=?? ，122a q =??=?，∴ 2n

n a =． （2）设{}n b 首项为1b ，公差为d ，∴ 21111(21)2(21)(21)()(21)2

n n n n

S n b d n b nd n b +++=++=++=+ ，

又211n n n S b b ++=，∴ 21n b n =+，∴ 21

2n n

n b n a +=，

∴ 12335721 2222n n n T +=++++ ① ∴ 012-135721

2 2222

n n n T +=++++ ②

②-①得：12111112112125

32()32(1)52222222

n n n n n n

n n n T --+++=++++-=+--=- ． （20）【2017年山东，文20，13分】已知函数3211

(),R 32

f x x ax a =-∈．

（1）当a=2时，求曲线y f x =()在点()()3,3f 处的切线方程；

（2）设函数()cos sin g x f x x a x x =+--()()，讨论g x ()的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

解：（1）当2a =时，321()3

f x x x =-，∴2'()2f x x x =-，∴ (3)0f =，'(3)3k f ==，

∴ 切线方程为：()033y x -=-，即39y x =-．

（2）3211

()()cos sin 32

g x x ax x a x x =-+--，∴ 2'()()sin ()(sin )g x x ax x a x x a x x =---=--，

∵ sin 0 (0)sin 0 (0)sin 0 (0)x x x x x x x x x ->>??

-==??-<

，令'()0g x =，得：x a =或0x =．

①当0a =时，'()0g x ≥恒成立，()g x 单调增，无极值．

②当0a <时在()a -∞，上，'()0,()g x g x >单调增；在(),0a 上，'()0,()g x g x <单调减； 在()0,+∞,

上，'()0,()g x g x >单调增，∴x a =为极大点，()g x 有极大值： 3max 1

()()sin 6

g x g a a a ==--，0x =为极小点，()g x 有极小值：min ()(0)g x g a ==-．

③当0a >时，在(),0-∞上，'()0,()g x g x >单调增；在()0,a 上，'()0,()g x g x <单调减；

在(),a +∞上，'()0,()g x g x >单调增∴

0x =为极大点，()g x 有极大值：max ()(0)g x g a ==-， x a =为极小点，()g x 有极小值：3min 1

()()sin 6

g x g a a a ==--．

综上所述，当0a =时，'()0g x ≥恒成立，()g x 单调增，无极值；当0a <时，在()a -∞，和()0,+∞,

上，()g x 单调增；在(),0a 上，()g x 单调减；3max 1

()()sin 6

g x g a a a ==--；min ()(0)g x g a ==-，当0a >时，

在(),0-∞和(),a +∞上，()g x 单调增；在()0,a 上，()g x 单调减；max ()(0)g x g a ==-；

3min 1

()()sin 6

g x g a a a ==--．

（21）【2017年山东，文21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

22: 1 (0)

x y C a b a b +=>>

，椭圆C 截直线1y =

所得线段的长度为

（1）求椭圆C 的方程；

（2）动直线()0l y kx m m =+≠：交椭圆C 于A B 、两点，交y 轴于点M ；点N 是M 关于O 的对称点，N

的半径为NO 。设D 为AB 的中点，DE DF 、与N 分别相切于点E F 、，求EDF ∠的最小值．

解：（1

）e =

，可知：222a b =，由题意：

椭圆经过点)

，代入椭圆方程：2221

12b b

+=，∴ 222,4b a ==， ∴ 椭圆方程为：22142

x y

+=．

（2）()0,M m ，()0,N m -，N 半径r m =，设1122(,), (,)A x y B x y ，由题意k 存在，直线与椭圆联立：

22 1 42

y kx m

x y =+???+=?

?，消去y 得：222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理：122412km x x k +=-+， 222222164(12)(24)8(42)0k m k m k m ?=-+-=-+>，得：2242m k <+，

消去x 得：2222(12)240k y my m k +-+-=，由韦达定理：122

212m

y y k

+=+， ∴AB 中点D 的坐标为22

2(,)1212km m k k -++．由圆的切线性质，1

2

EDN EDF ∠=∠，EDF ∠最小即EDN ∠ 最小．在Rt EDN ?中，sin m EN EDN DN DN ∠==

．2DN = ∴

sin EDN ∠令2121t k =+≥．∴ 2

24

22221113(

)()

1311522(2)(12)44t t k k k t t --++++==--++． 当12t <，即12

t >时，单调增，1t =时有最大值1．sin EDN ∠最小值为12．min 6EDN π∠=．

∴min 3EDF π

∠=．