利用平方根的定义及性质解题的几个技巧
平方根概念解题的几个技巧
平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.
一、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.
例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根.
分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6.
解 ∵⎩⎨⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤2
2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.
二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a
例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.
分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了.
解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1.
a 的平方的相反数的立方根是.113-=-
三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.
分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.
解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0
时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.
所以b a 的非算术平方根是.11-=-
四、巧用平方根定义解方程.
我们已经定义:如果x 2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x 2=a （a ≥0）的根.
例4、解方程（x +1）2=36.
分析 把x +1看着是36的平方根即可.
解 ∵（x +1）2=36 ∴x +1看着是36的平方根. x +1=±6.
∴x 1=5 , x 2=－7.
例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x +1)3=64这个方程呢?不妨试一试.
利用平方根的定义及性质解题
如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．
例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．
分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．
解：由2a －1+a －11=0，得a =4，所以2a －1=2×4－1=7．
所以这个数为72=49．
例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．
分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．
当2a －1=a －11时，a =－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;
当2a －1+a －11=0时,a =4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.
综上可知所求的数为49或441.
例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.
分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,
所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,
因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.
例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）
（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1
分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；
（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．
所以选（C）．
练一练:
1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.
2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值
3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根.
.
答案:1.49;2. 49或1225; 3.5
估计方根的取值，你会吗
在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．
例１ ）
（A ）3.15 3.16 （B ）3.16 3.17
（C ）3.17 3.18 （D ）3.18 3.19.
10 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.
解：计算知，2223.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489.
所以23.16＜10＜2
3.17.
所以3.16 3.17，应选B .
例2 估计68的立方根的大小在( )
（A ） 2与3之间 （B ）3与4之间
（C ） 4与5之间 （D ）5与6之间.
分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．
解：计算知，33332= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125．
所以34＜68＜35．
所以45，应选B ．
例3 最接近的是（ ）
（A ）2.5 （B ）2.6 （C ）2.7 （D ）2.8.
分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.
解：计算知，2222
2.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84.
因为2222
7 2.5 = 0.75 , 7 2.6 = 0.24 , 2.77 = 0.29 , 2.87 = 0.84----，
所以22.6比22.5、22.7、22.8更接近7，
所以2.6比2.5、2.7、2.8.应选B .
《平方根》典例分析
平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.
一、基本题型
例1 求下列各数的算术平方根
（1）64；（2）2)3(-；（3）49
151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.
解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；
（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；
（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是7
8，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似7
4149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.
例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）25
9； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示25
9的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.
解：（1）因为8192=，所以±81=±9.
（2）因为1642=，所以－416-=.
（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=25
9，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.
点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“
”的前面是什么符号，其计算结果也就是什
么符号，既不能漏掉，也不能多添.
例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.
分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.
解： 因为负数没有平方根，故m 必为非负数.
（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a .
（2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.
综上所述，m 的值是81.
想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.
二、创新题型
例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.
解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故2
1=x . 进而可得2=y .故y x =41212
=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.
例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.
分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.
解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.
点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！
八年级数学上册《第二章2 平方根》讲解与例题
《第二章2 平方根》讲解与例题 1．平方根 (1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3. (2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“± a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”， “a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根． 我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a . 你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根. 【例1－1】 求以下各数的平方根： (1)81；(2)(－7)2；(3)11549 . 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数． 解：(1)∵(±9)2＝81， ∴81的平方根是±9，即± 81＝±9. (2)∵(－7)2＝72＝49， ∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449 ， ∴11549的平方根是±87 ， 即± 11549＝±87. 【例1－2】 以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．
利用平方根的定义及性质解题的几个技巧
平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6. 解 ∵???≥-≥-0202x x , ∴???≥≤2 2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了. 解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1. a 的平方的相反数的立方根是.113-=- 三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1. 解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳 平方根是初中数学中一个重要的概念，它与平方和开方有着密切的关系。在初 中数学教学中，平方根的概念和性质是学生掌握的基础知识之一。本文将围绕初中数学平方根知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地理解和应用平方根概念。 一、平方根的定义和性质 平方根的定义：对于任意一个非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x 的平方等于a，那么x就是a的平方根。 符号表示：√ 平方根的性质：平方根具有以下性质： 1. 非负实数的平方根是非负实数； 2. 0的平方根是0； 3. 正实数的平方根有两个值，一个是正数，另一个是负数； 4. 通过平方运算，平方根是可逆的，即(√a)²=a，其中a≥0。 二、平方根的计算方法 求一个数的平方根可以通过多种方法进行计算，下面介绍两种常用的计算方法。 1. 精确计算法：当被开方数是一个完全平方数时，可以直接提取根号。例如，√16=4；√25=5。 2. 近似计算法：对于非完全平方数，可以使用近似计算法来获取平方根的估计值。其中一种方法是利用长除法，逐步逼近平方根的准确值。另一种方法是利用二分法，根据平方根的大小与区间中点的大小关系，逐渐缩小区间范围，直到精度满足要求。
三、平方根的性质与运算 1. 合并根号：对于正实数a和b，有√(a × b) = √a × √b； 2. 开方运算的基本性质： a) √(a × b) = √a × √b，其中a≥0，b≥0； b) √(a ÷ b) = √a ÷ √b，其中a≥0，b>0； c) √(a ÷ b) ≠ √(a) ÷ √(b)，当a≥0，b>0且a≠b时，两者不等； 3. 平方根与乘方运算：(a^2)^0.5 = |a|，其中a可以是任意实数。 四、应用举例 平方根的应用广泛存在于各个领域，在初中数学中也有一些常见的应用举例。 1. 利用平方根求直角三角形的斜边：在一个直角三角形中，已知两条边的长度，可以利用勾股定理求解未知边的长度，其中需要涉及到平方根的运算。 2. 利用平方根计算面积：对于一些几何图形，如圆的面积公式S=πr^2中，需 要对半径进行平方运算并乘以π，这就需要使用平方根来计算。 3. 利用平方根求解方程：在一些代数方程中，需要进行平方根运算来求解方程 的根，如x^2 = 16，解得x=±4。 4. 利用平方根进行数值估算：当需要对一个数进行估算时，可以利用近似计算 的方法求出其平方根的近似值。 总结： 平方根是初中数学中的一个重要概念，通过学习平方根的定义、性质、计算方 法以及应用举例，我们可以更好地理解和运用平方根。平方根的性质与运算法则是学习平方根过程中的关键点，而平方根的应用可以帮助我们更好地理解和运用数学
初中数学平方根知识点整理
初中数学平方根知识点整理 平方根是数学中的一个基本概念，它在初中数学中起着重要的作用。在这篇文 章中，我将对初中数学中关于平方根的知识点进行整理。 1. 平方根的定义 平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。例如，数a的平方根可以记作√a，即√a² = a。如果一个数是正数，那么它有两个平方根，一个是正数，另一个是负数。如果一个数是负数，那么它没有实数平方根。 2. 求平方根的方法 有几种方法可以求解一个数的平方根： - 利用因数分解方法，将一个数分解成两个相同的因数，其中一个因数就是这 个数的平方根。 - 使用开方运算符√，将数写成√a的形式，其中a是一个平方数。 - 使用近似方法，通过不断逼近一个数的平方根，直到所得结果与给定数的误 差在可接受范围内。 - 利用平方根的性质，如平方根的乘法法则和平方根的整数性质，来简化计算 过程。 3. 平方根的性质 平方根具有以下几个重要的性质： - 平方根的乘法法则：√(a × b) = √a × √b。即两个数的积的平方根等于每个数的 平方根的乘积。
- 平方根的整数性质：如果一个数a的平方根是整数b，那么a是一个完全平方数。 - 平方根的递减性：如果a和b是两个正数，且a > b，那么√a > √b。 - 平方根的递增性：如果a和b是两个正数，且a > b，那么√a + √b > 2√ab。 4. 平方根的运算 在进行平方根的运算时，需要注意以下几点： - 平方根具有数学运算优先级，即先进行平方根运算，再进行其他运算。 - 求解平方根时，结果可以是一个实数或虚数。如果一个数的平方根是一个虚数，那么这个数是负数。 - 平方根和指数运算可以相互抵消。例如，(a^b)^(1/b) = a，其中a和b是任意实数。 5. 平方根的应用 平方根的概念和性质在数学和实际生活中都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面： - 几何学中，平方根被用于计算物体的面积和体积。 - 物理学中，平方根被用于计算速度、加速度和力等物理量。 - 统计学中，平方根被用于计算方差和标准差。 - 金融学中，平方根被用于计算收益率和波动率。 综上所述，平方根是初中数学中重要的知识点。它的定义、求解方法、性质、运算规则以及应用领域都需要我们熟练掌握。通过对平方根的深入学习和应用，我们能够更好地理解数学的抽象概念，提升数学解题的能力，并将数学知识应用到实际生活和其他学科领域中。
初中数学教案：平方根的概念与计算
初中数学教案：平方根的概念与计算 一、平方根的概念与性质 1. 平方根的定义和表示法 平方根是数学中常见的概念，表示一个数的平方根。对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则称x为a的平方根。符号√被用来表示平方根，即√a。 2. 平方根与指数运算 我们知道，幂运算是将一个数连乘若干次。若对于正整数n来说 an=a*a*a*...*a (连乘n个)。那么反过来想：如果一个数b满足bn=a，则称b为a的n次方根。特别地，当n=2时，我们就称之为平方根。 3. 平方根的性质 - 非负实数没有负平方根。 - 负实数没有实数域内的平方根。 - 非零实数有两个不同符号的平方根。 - 平方根可以进行加减及乘除运算。 二、求解平行四边形面积问题 1. 求解正整数面积情况 假设我们有一个边长为a单位长度的正整数边长的正四边形。首先，通过观察我们可以发现正四边形可以划分为两个等腰直角三角形。根据勾股定理，我们可以得知斜边的长度为√(a^2 + a^2)，即√(2a^2)。 因此，正整数边长的正四边形面积S = a * (√(2a^2)) = √(4a^4) = 2a^2。
举个例子来说，如果正整数边长为5单位长度，则其面积为S=2*5^2=50平方 单位。 2. 求解非整数面积情况 对于不是整数的正四边形边长，我们可以利用平方根的近似计算方法来求解。 其中最常用的方法就是使用开放性树码术。以碰撞系列求取开放性普适平行四边形问题为例： ①先取一个近似值 x0； ②利用公式 x1 = (x0+a/x0)/2 得到下一个近似值； ③再继续利用公式x(k+1) = (xk+a/xk)/2 得到更为精确地近似值直至满足条件。 将该结果代入到原先平行四边形面积计算公式中即可得到非整数情况下的正确 答案。 三、通过实际问题引导学生思考 1. 使用平方根计算等腰直角三角形的斜边 给定一个等腰直角三角形，两条直角边的长度分别是a，我们可以利用平方根 的性质求解对角线的长度（即斜边）。 解题步骤如下： ①首先计算两个直角边长度的平方和，即a^2 + a^2 = 2a^2； ②接着取其平方根，得到√(2a^2)； ③故可以得知斜边长度为√(2a^2)，即将该结果代入原先定义中。 通过这一实际问题引导学生思考，并应用平方根概念解决几何问题。 四、总结
初中数学解题技巧灵活应用平方根和立方根的性质
初中数学解题技巧灵活应用平方根和立方根 的性质 数学是一门实用的学科，而数学解题是培养学生逻辑思维和解决问 题的能力的重要途径之一。在初中数学中，平方根和立方根是常见的 数学概念，它们的性质在解题中经常被灵活应用。本文将探讨如何灵 活应用平方根和立方根的性质解决数学问题。 一、平方根的性质及应用 平方根是数学中的一个重要概念，表示一个数的平方根。平方根的 性质十分有趣，并且在解题中有很大的帮助。 1. 平方根的乘法性质 平方根的乘法性质是指，两个非负数的乘积的平方根等于它们的平 方根的乘积。即√(a*b) = √a * √b。 例如，我们要计算√(9 * 16)，可以将它分解成√9 * √16 = 3 * 4 = 12。这个性质在解题中可以简化计算过程，特别是当需要计算较大数的平 方根时。 2. 平方根的开方性质 平方根的开方性质是指，如果a的平方等于b，那么a等于±√b。 例如，如果x^2 = 25，那么x等于±√25，即x等于±5。这个性质在 解方程中经常被用到。 3. 平方根的倒数性质
平方根的倒数性质是指，一个数的倒数的平方根等于它的平方根的 倒数。即，1/√a = √(1/a)。 例如，我们需要计算1/√9，可以将它化简为√(1/9)= 1/3。这个性质 在解题中可以简化计算过程。 二、立方根的性质及应用 立方根是数学中的另一个重要概念，表示一个数的立方根。立方根 的性质在解题中同样发挥着重要作用。 1. 立方根的乘法性质 立方根的乘法性质是指，两个数字的乘积的立方根等于它们的立方 根的乘积。即∛(a*b) = ∛a * ∛b。 例如，我们要计算∛(8 * 27)，可以将它分解成∛8 * ∛27 = 2 * 3 = 6。这个性质在解题中可以简化计算过程，特别是当涉及到较大数的立方 根时。 2. 立方根的开方性质 立方根的开方性质是指，如果a的立方等于b，那么a等于∛b。 例如，如果x^3 = 64，那么x等于∛64，即x等于4。这个性质在解方程中经常被用到。 3. 立方根的倒数性质 立方根的倒数性质是指，一个数的倒数的立方根等于它的立方根的 倒数。即，1/∛a = ∛(1/a)。
数学中的平方根知识点解析及解题技巧
数学中的平方根知识点解析及解题技巧 数学中的平方根是我们在初等数学中学习的重要知识点之一。平方 根是指某个数的算术平方根，即找到一个数，使其平方等于给定的数。在解题过程中，了解平方根的概念、性质以及一些解题技巧是非常重 要的。本文将对数学中的平方根进行解析，并提供一些解题技巧。 一、平方根的定义与性质 平方根的定义：设a和b都是实数，则b是a的平方根，当且仅当 b的平方等于a。符号表达为√a = b 或 a的平方根等于b。 1. 平方根的性质： a) 非负实数的平方根是实数； b) 负数没有实数平方根，在复数域中有两个互为相反数的平方根； c) 非零数的正平方根和负平方根互为相反数。 二、平方根的求解方法 在解题过程中，常见的平方根求解方法有以下几种： 1. 倍增法： 倍增法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。例如，对于一 个非负实数a，可以从一个合适的起始值b开始，通过逐步增加b的值，使得b的平方逼近a，直到满足要求。 2. 二分法：
二分法是一种通过取平均值来逐步逼近平方根的方法。对于一个非负实数a，可以确定一个上下界b和c，使得b的平方小于a，c的平方大于a。然后通过取b和c的平均值来逐步逼近平方根的解。 3. 牛顿迭代法： 牛顿迭代法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。该方法基于泰勒级数展开，通过不断逼近函数与x轴的交点来求解平方根。 三、平方根的解题技巧 1. 化简被开方数： 在进行平方根运算时，如果被开方数可以进行化简，可以大大简化计算过程。例如，对于√4，可以将其化简为2，避免了对浮点数的计算。 2. 判断平方数： 在求解平方根时，我们可以先判断被开方数是否为平方数。如果是平方数，那么其平方根一定是整数。因此，可以通过判断被开方数是否为平方数，来确定是否可以通过直接求平方根来得到答案。 3. 利用平方根的性质： 在解题过程中，我们可以利用平方根的性质来简化运算。例如，利用√ab = √a * √b，可以化简被开方数的因式分解，从而减少计算量。 4. 运用递推关系：
奥数的神奇平方根
奥数的神奇平方根 平方根，是数学中的一个基本概念，它与奥数（奥林匹克数学竞赛）之间存在着密切的联系。奥数是一项广泛受到青少年喜爱的数学竞赛 活动，而平方根，则是其中一个常出现的考点。本文将分享奥数中平 方根的一些神奇之处，让我们一同深入探索。 一、平方根的定义 在开始探讨平方根的神奇之处之前，我们先来回顾一下平方根的定义。在数学中，对于一个非负数x，它的平方根被定义为满足y²=x的 非负数y。换句话说，平方根就是使得一个数的平方等于另一个数的非负数。例如，4的平方根是2，因为2²等于4。 二、平方根的奥数应用 在奥数竞赛中，平方根经常作为一个重要的数学工具，出现在许多 问题中。下面，我们将介绍一些常见的平方根应用。 1. 平方根的性质 平方根具有一些特殊的性质，这些性质在奥数竞赛中经常被考察。 其中，最基础的性质是平方根的运算规则。例如，对于任意两个非负 数a和b，我们有以下等式成立： （√a）² = a √(ab) = √a * √b
这些规则可以帮助我们简化复杂的运算，而在奥数竞赛中，我们经 常需要利用这些性质来快速解题。 2. 平方根的逆运算 平方根的逆运算就是平方运算。在奥数竞赛中，我们常常需要求解 给定数的平方，或者利用平方运算来解题。例如，给定一个数a，我们 可以通过计算a²来求解其平方。同时，平方运算还有一个重要的性质：非负数的平方是非负数，负数的平方是正数。这个性质在解题中也经 常被应用。 3. 平方根的应用问题 除了基本的运算规则和性质外，平方根还有许多实际应用问题。例如，在测量学中，我们经常需要求解长度或面积，而平方根正是解决 这类问题的重要工具之一。另外，在几何学中，求解直角三角形的斜 边长度，也需要用到平方根。这些实际问题在奥数竞赛中经常出现， 需要我们熟练掌握平方根的应用技巧。 三、平方根的神奇之处 平方根在奥数竞赛中之所以被称为神奇，是因为它具有一些令人惊 叹的特性。 1. 平方根的无限循环小数 有些非完全平方数的平方根是无限循环小数。例如，2的平方根是1.41421356…，即它的小数部分无限循环。这种无限循环的特性可以在
五年级数学技巧之平方与平方根
五年级数学技巧之平方与平方根在学习数学的过程中，平方与平方根是我们经常会遇到的概念。掌 握了这两个概念的技巧，将有助于我们在解题时更加灵活和准确。本 文将为大家介绍一些关于平方与平方根的数学技巧，帮助我们更好地 应用于实际问题。 一、平方的概念及技巧 在数学中，平方是指将一个数乘以自身所得到的结果。例如，2的 平方表示为2²，即2乘以2，结果为4。平方的运算常常用于计算面积 和次方等问题中。 在计算平方时，我们可以利用一些技巧来简化运算。以平方计算为例，当我们需要计算一个较大的数的平方时，可以将其分解成相对较 小的数的平方之和。例如，我们要计算25²，我们可以将其拆解为 20²+5²。这样一来，计算就变得简单而直观了。 除了分解求和的技巧外，我们还可以利用平方的性质进行计算。对 于一个偶数的平方，其个位数字必定是0、4、6或者8。例如，4²=16，其个位数字为6；8²=64，其个位数字为4；12²=144，其个位数字为4。利用这一性质，我们可以在一定程度上简化计算。 另外，当我们遇到需要计算小数的平方时，可以将其转化为分数进 行计算。例如，0.5²可以转化为1/2²，结果为1/4。这样一来，我们可 以将小数运算转化为分数运算，更方便计算和比较。 二、平方根的概念及技巧
平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。例如，√4=2，因为 2²=4。平方根常用于计算边长、速度等问题中。 在计算平方根时，我们也可以利用一些技巧简化运算。首先，当我 们需要求一个完全平方数的平方根时，结果必定是一个整数。例如， √9=3，因为3²=9。我们可以通过列举及试算的方法找到一个数的平方根。 其次，对于一个非完全平方数的平方根，我们可以利用近似值来计算。例如，我们要计算√7的近似值，我们可以首先找到一个近似值2，因为2²=4小于7，然后我们将7除以2加上2的平均数得到3.5，再将3.5除以2得到1.75。我们可以不断进行这样的迭代计算，逐渐接近最 终的结果。 此外，在计算平方根时，我们还可以利用平方根的性质进行运算。 例如，当我们需要计算一个数的平方根时，可以利用它与一个已知数 的平方根之间的关系来计算。例如，我们要计算√50，可以将其拆解为 √(25×2)，再利用已知的√25=5，得到√50=5×√2。 三、解决实际问题的技巧 掌握了平方与平方根的概念及技巧后，我们可以将其运用于解决一 些实际问题。以下是一些应用示例： 1. 计算面积：在计算长方形、正方形等形状的面积时，可以利用平 方的概念进行计算。例如，给定一个正方形的边长为3cm，我们可以 通过计算3²=9得到该正方形的面积为9cm²。
数学中的平方根与立方根解题技巧掌握开平方和开立方的方法
数学中的平方根与立方根解题技巧掌握开平 方和开立方的方法 数学中的平方根与立方根解题技巧 在数学中，平方根和立方根是常见的运算。掌握开平方和开立方的方法，对于解决各种数学问题至关重要。本文将介绍几种解决平方根和立方根的技巧和方法。 一、平方根的解题技巧 1. 特殊平方根的求解 对于一些特殊的平方根，我们可以利用一些技巧来求解。例如， √4=2，√9=3等。这些结果是很容易推导出来的，因此在计算时可以直接使用，节省了时间和精力。 2. 分解平方根的方法 当给定一个较大的平方根时，我们可以尝试将其分解为两个数的平方根的和或差。例如，√25可以分解为√9+√16，即5=3+4。这种方法可以帮助我们快速计算出较大数的平方根。 3. 近似计算法 对于无理数的平方根，我们一般采用近似计算的方法。例如，对于√2约等于1.41，对于√3约等于1.73，我们可以利用这些近似值进行计算，以得到一个接近精确结果的答案。 二、立方根的解题技巧
1. 立方根的分解法 与平方根类似，我们也可以尝试将一个数的立方根分解为两个数的立方根的和或差。例如，³√8可以分解为³√1+³√8，即2=1+2。这种方法可以帮助我们求解较大数的立方根。 2. 利用幂指函数求解 除了分解法外，我们还可以利用幂指函数来求解立方根。幂指函数是一个较为复杂的计算方法，但对于一些特殊的数值，如立方数和立方根等，它可以提供精确的解答。 3. 近似计算法 对于无理数的立方根，也可以采用近似计算法。例如，³√2约等于1.26，³√3约等于1.44。利用这些近似值进行计算，可以得到较为接近精确结果的答案。 三、综合运用平方根和立方根解题 在实际问题中，我们经常会遇到需要综合运用平方根和立方根解题的情况。在这种情况下，我们可以先利用平方根和立方根解决一些子问题，然后逐步求解出整个问题的答案。 例如，如果需要求一个数的平方根的立方，我们可以先计算出这个数的平方根，然后再将其平方，即可得到结果。类似地，如果需要求一个数的立方根的平方，可以先计算出这个数的立方根，然后再将其平方。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结 算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。 一、算术平方根的定义 算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。 二、算术平方根的性质 1. 非负数的算术平方根都是非负数。即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。 2. 正数的算术平方根只有一个。即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。 3. 零的算术平方根是零。即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。 4. 负数没有实数算术平方根。即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。 三、求解算术平方根的方法 1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。
2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。 3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。 四、算术平方根的应用 算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。下面列举一些常见的应用场景： 1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。 2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。 3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。 4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。 五、总结 通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。掌握了算术平方根的概念和求解方法，读者能够更好地理解
根式的运算技巧
根式的运算 平方根与立方根 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ 2、立方根： ⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3≥0a≥0。 4、公式：⑴(2=a（a≥0a取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2 )3(-； （3）49 15 1 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3） 25 9； （4）2 )4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）49 25± （8）2 )25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10 2 27 -； ⑶ 二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=--- -y x x 求y x 的立方根. 练习：已知,21221+-+ -=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3 =64 五、巧用算术平方根的最小值求值.
根式的运算技巧
根式的运算之杨若古兰创作 平方根与立方根 一、常识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“ （a称为被开方数）. ⑵、性质：负数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. ⑶、算术平方根：负数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ 2、立方根： ⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根， （a 称为被开方数）. ⑵、性质：负数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根. 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）. 二、规律总结：
1、平方根是其本人的数是0；算术平方根是其本人的数是0和1；立方根是其本人的数是0和±1. 2、每一个负数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有独逐个个立方根，这个立方根的符号与原数不异. 3a≥0. 4 a 取任何数）. 5、非负数的次要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质利用很广，务必把握）. 例1 求以下各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 2 1 (3)- 例2 求以下各式的值 （1）81±； （2）16-； （3） 25 9 ； （4） 2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）49 25 ± （8）2)25(- 例3、求以下各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227 - 二、巧用被开方数的非负性求值.
大家晓得，当a≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求 yx 的立方根. 练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用负数的两平方根是互为相反数求值. 我们晓得，当a≥0时，a 的平方根是± a ， 而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个负数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们曾经晓得0≥a ,即 a=0时其值最小,换句话说a 的最 小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取分歧的值时，y 也有 分歧的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根. 练习： 1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）． A ．2 B ．±2 C ．4
高中数学应用平方根的解题技巧和示例分析
高中数学应用平方根的解题技巧和示例分析 在高中数学中，平方根是一个常见的概念，它在解题过程中有着重要的应用。本文将介绍一些解题技巧，并通过具体的题目进行分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用平方根。 一、平方根的定义和性质 在开始解题之前，我们先来回顾一下平方根的定义和性质。平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。例如，2的平方根为√2，因为√2 × √2 = 2。平方根有以下几个重要的性质： 1. 非负数的平方根是唯一的，即一个非负数只有一个平方根。 2. 平方根可以是正数或负数，如√4 = 2 或 -2。 3. 平方根的运算性质：(√a)² = a，即一个数的平方根再平方等于该数本身。 二、平方根的解题技巧 1. 化简根式 在解题过程中，经常会遇到需要化简根式的情况。我们可以利用平方根的性质来进行化简。例如，√12可以写成√4 × √3，再进一步化简为2√3。这样可以简化计算，使问题更易解。 2. 利用平方根的性质解方程 有些方程中含有平方根，我们可以利用平方根的性质解方程。例如，对于方程x² = 9，我们可以得到x = ±√9，即x = ±3。这样我们就得到了方程的解。 3. 利用平方根求距离
平方根在几何中也有着广泛的应用，特别是在求距离的问题中。例如，我们可 以利用平方根求两点之间的距离。设平面上有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则 点A和点B之间的距离d可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。通过利用平 方根的性质，我们可以求得两点之间的距离。 三、示例分析 下面我们通过一些具体的题目来分析平方根的应用。 1. 题目：已知一个正方形的面积为16平方米，求其边长。 解析：设正方形的边长为x，则根据正方形的性质可知，x² = 16。通过开方运算，我们可以得到x = √16，即x = 4。因此，正方形的边长为4米。 2. 题目：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求它行驶1小时后的行驶距离。 解析：设汽车行驶的时间为t，行驶的距离为d。根据速度的定义可知，速度 等于行驶距离除以时间，即60 = d / t。将时间t设为1小时，我们可以得到d = 60 × 1 = 60公里。因此，汽车行驶1小时后的行驶距离为60公里。 3. 题目：已知三角形的两条边长分别为3和4，夹角为90度，求第三条边的长度。 解析：根据勾股定理可知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。设第三条边的长度为x，我们可以得到x² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25。通过开方运算， 我们可以得到x = √25，即x = 5。因此，第三条边的长度为5。 通过以上的示例分析，我们可以看到平方根在解题过程中的重要作用。通过合 理运用平方根的定义、性质和解题技巧，我们能够更好地解决各种数学问题，提高解题的准确性和效率。 总结：