选修21数学课后习题测验答案(全)

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答

第一章 常用逻辑用语

1．1命题及其关系

练习（P4）

1、略.

2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.

3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.

（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.

（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.

练习（P6）

1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.

否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.

逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.

2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.

否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.

逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.

3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.

否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.

逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.

练习（P8）

证明：若1a b -=，则22

243a b a b -+-- ()()2()23

22310

a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=

所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.

习题1.1 A 组（P8）

1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.

2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.

否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.

逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.

（2）逆命题：若方程2

0x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.

否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.

逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.

3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.

这是真命题.

否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等.

这是真命题.

逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.

这是真命题.

（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.

逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.

否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.

逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.

4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.

习题1.1 B 组（P8）

证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.

此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.

可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O e 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ?，COD ?的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.

1．2充分条件与必要条件

练习（P10）

1、（1）?； （2）?； （3）?； （4）?.

2、（1）. 3（1）.

4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.

练习（P12）

1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；

（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；

（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.

2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；

（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.

习题1.2 A 组（P12）

1、略.

2、（1）假； （2）真； （3）真.

3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；

（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.

4、充要条件是222a b r +=.

习题1.2 B 组（P13）

1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.

2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么222

0a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=

所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.

即 a b c ==，所以，ABC ?是等边三角形.

（2）必要性：如果ABC ?是等边三角形，那么a b c ==

所以222()()()0a b a c b c -+-+-=

所以2220a b c ab ac bc ++---=

所以222a b c ab ac bc ++=++

1．3简单的逻辑联结词

练习（P18）

1、（1）真； （2）假.

2、（1）真； （2）假.

3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程2

90x -=的根，假命题；

（31≠-，真命题.

习题1.3 A 组（P18）

1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；

（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.

2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.

3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；

（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；

（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.

习题1.3 B 组（P18）

（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；

（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；

（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；

（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.

1．4全称量词与存在量词

练习（P23）

1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.

2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.

练习（P26）

1、（1）00,n Z n Q ?∈?； （2）存在一个素数，它不是奇数；

（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.

2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；

（3）所有实数的绝对值都是正数.

习题1.4 A 组（P26）

1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.

2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.

3、（1）32000,x N x x ?∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0； （3）2

,10x R x x ?∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.

习题1.4 B 组（P27）

（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；

（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；

（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180?；

（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.

第一章 复习参考题A 组（P30）

1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.

逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；

否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.

2、略.

3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.

4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.

5、（1）2,0n N n ?∈>； （2）{P P P ?∈在圆222

x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；

（3）(,){(,),x y x y x y ?∈是整数}，243x y +=；

（4）0{x x x ?∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}. 6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ?∈≤，真命题；

（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.

第一章 复习参考题B 组（P31）

1、（1）p q ∧； （2）()()p q ?∧?，或()p q ?∨.

2、（1）Rt ABC ??，90C ∠=?，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；

（2）ABC ??，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则

sin sin sin a b c A B C ==.

新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答

第二章 圆锥曲线与方程

2．1曲线与方程

练习（P37）

1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.

2、3218,2525

a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .

（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -=

=-- 所以，122

CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2

t y x --=

-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.

由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22

t t x y -==. 由2t x =

得2t x =，代入42

t y -=， 得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)

此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①

由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.

习题2.1 A 组（P37）

1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；

点(2,3)B -不在此曲线上

2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12

c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.

4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).

由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.

所以，13y y x x

?=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠

当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.

解方程组 222230650

x y x x y x ?+-=??+-+=??， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，

533

x ≤≤. 解法二：注意到OCM ?是直角三角形， 利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，

即2230x y x +-=. 其他同解法一.

习题2.1 B 组（P37）

1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b

+=.

因为直线l 经过点(3,4)P ，所以

341a b

+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.

2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，

F ，则4AE =，2CF =.

ME =，MF =. 连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222

AE ME CF MF +=+ 所以，22

(3)(3)1641010

x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.

2．2椭圆

练习（P42）

1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.

2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=

，或22

13616

y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c =.

（1）1AF B ?的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.

所以，1AF B ?的周长420a ==.

（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ?的周长不变化.

这是因为①②两式仍然成立，1AF B ?的周长20=，这是定值.

4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得 直线AM 的斜率 1AM y k x =

+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM

y k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211

y y x x =?+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠

因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.

练习（P48）

1、以点2B （或1B

）为圆心，以线段2OA （或1OA ） 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .

点12,F F 就是椭圆的两个焦点.

这是因为，在22Rt B OF ?

中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =.

2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；

（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-. 3、（1）22136

32x y +=； （2）

2212516

y

x +=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22

110064

y x +=. 5、（1）椭圆22

936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 12>，所以，椭圆22

11612

x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁； （2）椭圆22

936x y +=的离心率是3，椭圆22

1610x y +=的离心率是5， 因为35>，所以，椭圆22

1610

x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.

6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737

-

-. 7

. 习题2.2 A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y

10=以及椭圆的定义得，

点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是22

12516

y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或22

14940

y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；

（2

）不等式x -≤≤101033

y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =

，离心率2e =

，

焦点坐标分别是(-

，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；

（2）长轴长218a =，短轴长26b =

，离心率3

e =，

焦点坐标分别是(0,-

，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).

5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或22

1819

y x +=； （3）221259x y +=，或22

1259

y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.

因为12PF F ?的面积等于1，所以，12112

P F F y ??=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154

x +=

，解得2x =±. 所以，点P

的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.

所以，QO QA QO QP OP r +=+==.

又因为点A 在圆内，所以OA OP <

根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.

8、解：设这组平行线的方程为32

y x m =+. 把32

y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 22

3636(218)m m ?=--

（1）由0?>，得m -<<

当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.

（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223

x x m x +=

=-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3

m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、22

22

13.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810?km ，最下距离为81.471210?km.

习题2.2 B 组（P50）

1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，

则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023

y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.

将①代入②，得点M 的轨迹方程为2

2449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆

与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.

2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .

分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，22

6910x y x +--=

配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=

当P e 与1O e ：22

(3)4x y ++=外切时，有12O P R =

+ ……①

当P e 与2O e ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=

12

……③

化简方程③.

先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 22

13627

x y += ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 12= ……①

由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.

并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x

轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =

所以2

36927b =-=. 于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627

x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M

d ?

?==????

由此得 12

= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即22

11612

x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.

4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，