第四章 动态参数测试及动态标定

4 动态参数测试及动态标定

测试系统中的某些元件的性能会因使用程度和随时间而有所变化。因此测试系统在使用中经常要对其性能指标、参数进行标定。除了在产品研制中对各个指标进行逐项的校准标定外，在使用过程中还应定期校准，另外，针对某项测试任务，还经常要设计由各种类型的传感器、放大器和记录设备组成的特定的测试系统，这时测试系统的各项指标就需要进行系统标定。由于测振系统的种类很多，使用的场合也不相同，因此标定试验也有各种类型，本章主要叙述测试系统的动态标定和试验。

在某些特定场合测试系统只需测量不变或变化缓慢的量，这时，测试系统的性能指标不必用微分方程就能正确地描述测量工作的品质，这些标准称为测试系统的静特性。

通常情况下必须用微分方程来描述的确定测试系统输入和输出之间的动态关系的标准，称为系统的动特性。

上一章的理论分析对于了解测试系统的性能参数之间的基本关系是非常重要的，但实际上很难精确计算出测试系统的各项参数，因此对测试系统进行标定是必不可少的。测试系统的标定分为静态标定和动态标定两种。

静态标定的目的是确定测试系统静态特性指标，如线性度、灵敏度、滞后和重复性等。

动态标定的目的是确定测试系统的动态特性参数如频率响应、时间常数、固有频率和阻尼比等，以建立测试系统的动态数学模型。

4.1 测试系统的静态标定

4.1.1 静态标定的概念

静态标定是指这样一种标定情况，在这种情况下除一个输入量可变外，所有其它输入量（可以是有用输入量、干扰输入量或修改输入量）将保持为某一常数。然后，在某一固定范围内改变所研究的输入量，这就使输出量也在某一固定范围内变化。用这种方法所建立的输入—输出关系构成了对一个输入量的静态标定特性，它只有在其它所有的输入量都处于所规定的恒定情况下才有效。通过轮流改变每个所研究的输入量来重复进行静态标定过程，便得到一组输入—输出关系的静态标定特性。这一组标定特性就可以描述系统总的静态性能。

4.1.2 静态标定的系统组成

测试系统静态标定系统的一般组成为：

（1）被测物理量标准发生器。如产生恒定加速度的离心机，静重式活塞压力计等；

（2）被测物理量标准测试系统。如标准力传感器、压力传感器、标准长度、量块；

（3）被标定传感器所配套的测试设备。

4.1.3 静态标定的步骤

（1）检查系统构造和原理，识别并列出一切可能的输入信号；（2）确定测试系统的使用场合、使用环境和主要的输入信号；（3）选择或设计标定系统，使之能在必要的范围（应覆盖可能的使用范围）内，依次改变所有的主要输入信号；

（4）确定或设计标定系统的精度等级，通常遵循的原则是，标定系统的精度至少应为被标定测试系统精度的10倍；

（5）固定其它所有输入信号，而仅改变其中的一个输入信号（通常是在测量范围内等分成若干个点，使输入信号逐渐从小到大，再从大到小，变化一个循环），同时记录下与各输入值相对应的输出值，建立对应的输入—输出关系（表格或曲线）；

（6）改变过程（5）中的变化输入信号，建立一系列对应的输入—输出关系（表格或曲线）；

（7）对测试数据进行必要的处理，以确定测试系统的线性度、灵敏度、滞后、重复性静态特性指标。

4.2 测试系统的动态标定

4.2.1 动态标定的含义

静态校准的首要问题是要有足够精度的标准器，而动态校准的首要问题是要有频带能充分覆盖被标定传感器或测试系统频宽的动态激励信号发生器，才能将被标定系统的主要模态激发出来。电参数的动态激励信号比较容易产生，例如，变频正弦信号、脉宽可变的方脉冲、正负阶跃、半正弦和伪随机序列信号等，均有相应的信号发生器可提供所需的动态激励信号。所以，需要电量动态激励的部件与系统的动态校准比较容易进行。例如，各种电磁元件，各种放大器和信号调理器，自动平衡电桥式测试系统，模—数变换器，数—模变换器，电信号记录仪器（磁带机、紫外线记录仪、函数记录仪、笔录仪等），这些系统的动态校准实验，都可以利用相应的信号发生器进行。

如前一章所述，动态特性是指测试系统传递动态量的特性。它是以系统的冲击响应函数h(t)、频率响应函数H(f)和传递函数H(s)分别在时域、频域和拉氏域描述的。

由于测试系统的复杂性，完全用理论的方法来计算是非常困难的，甚至是不可能的，研究测试系统动态特性的基本方法是实验和分析相结合的方法。首先，对测试系统进行动态校准实验，由实验数据建立动态数学模型，然后计算其频率特性与动态性能指标。这个过程称为动态标定。

测试系统中最关键的部件是传感器。传感器种类繁多，五花八门，需要测量某种参数，就需要测该参数的传感器。要研究传感器的动态性能，首先必须产生相应测试量的动态激励信号，将传感器使用频带内的各种模态都激励起来，其动态响应才能反映传感器的动态特性。

测试系统的组成部件中，除传感器之外，还有放大器、调理器、变换器、记录仪器和数字计算机（包括单片机微处理器）等多个环节，对测试系统各个部件的动态性能都应该有确切的了解，此外，还应该对该系统的整个通道（传感器、放大器、变换器、接口、计算机）进行动态校准，求出整个通道的动态性能。

对于动态测试系统，组成系统的每个环节的动态特性都必须注意，不可忽视。在整个测试系统中，动态特性最差的薄弱环节往往需要给予特别的重视。

用变频正弦信号发生器进行上述各种部件和系统的频率特性实验时，将激励信号的最高频率做到系统的通频带

（对应于对数幅频

s

曲线的-3dB点）处即可。在频率特性的平直段，特别在实际工作频带附近，实验点应多些。

非电参数的动态激励信号发生器比较复杂，例如，激波管可以产生上升沿只有零点几微秒的阶跃压力，是压力传感器动态校准的理想激励信号，但是，它能产生的阶跃压力较小(例如几兆帕至十余兆帕，最大可达100MPa左右)。落锤装置可以产生冲击力、压力、加速度等的动态激励信号，这些装置只能产生单次性的时间域动态激励信号。其中，每种装置所产生的激励信号的大小，只适用于一定的范围。

传感器所测的参数很多，本书中主要讨论用于机械系统的动态测试系统，除了上述产生瞬态激励信号的激波管和落锤装置外，主要还有各类频率可在一定范围内调节，用于进行非电参数传感器频率特性实验的装置如电磁振动台和液压振动台等，这类振动台除了可以产生瞬态激励信号外，还可以产生标准的各种周期信号（正弦波、三角波、梯形波、后峰锯齿波等）以及窄带和宽带随机信号。但这些振动台的频率范围一般都比较有限，液压振动台的频率范围一般小于200Hz，电磁振动台的频率范围一般在5～3000Hz之间。

用变频周期信号直接测出传感器和测试系统频率特性的校准方法称为频率域动态校准方法。用时间域动态激励信号测出传感器和测试系统的瞬态响应的校准方法称为时间域动态校准方法。用伪随机信号激励被校准系统，求得输入、输出的互相关函数，便可求出系统的脉冲响应，故称为相关分析法。

由动态激励信号发生器产生激励信号给被校准系统，用瞬态记录仪（数字波形存储器、存储示波器、数字记忆示波器）记录被校准系统受激励之后的瞬态响应，并通过接口送入计算机，用时间域动态校准数据处理软件进行处理，求出动态数学模型和动态性能指标，由打印机打印出动态数学模型的阶次和参数以及动态性能指标，由绘图机绘出系统的瞬态响应曲线和频率特性曲线，这套系统称为时间域动态校准系统，不同传感器和测试系统的动态激励信号发生器不同，系统其余各部分(包括瞬态记录仪、接口、计算机以及数据处理软件包)都是共同的。所以，各种传感器和测试系统的动态校准系统的主要工作在于研究动态激励信号发生器。这也是建立动态校准系统的难点。4.2.2 动态标定的系统性能指标

对应于描述测试系统的时间域数学模型和频率域数学模型，动态性能指标一般分为两类：一类是时间域指标，另一类是频率域指标，这两类指标是等效的，可以相互换算。一般而言，频率域指标更好些，应用也更为广泛。

4.2.2.1 时间域动态性能指标

时间域动态性能一般都用常系数线性微分方程来描述，系统的性能参数一般即为微分方程中的系数。而动态性能指标一般都应该能方便地从输入和输出的信号中提取，并能定量的确定系统的动态性能参数。对于零阶系统，其响应是立即完成的，故无动特性存在。以下讨论一阶和二阶系统的动态特性标定。

（1）一阶低通系统

一阶低通系统的微分方程为

)()()(001

t x b t y a dt

t dy a =+ （4-1） 或化简为： )()()(t x S t y dt t dy S =+τ （4-2） 其中s S 为静态灵敏度，只有时间常数τ为动态参数，因此，一阶

系统仅需标定一个动态参数。

（a ）阶跃响应

为了给一阶系统加上一个阶跃输入，我们假定在初试条件下系统处于平衡状态，即t=0时，0)0(=y ，则方程的解为

)1()(τt

S e S t y --= （4-3）

即系统响应速度仅决定于τ值，τ越小，响应速度越快（图4.1），将式（4-3）写成无量纲形式

图4.1 一阶低通系统的阶跃响应

τt S

e S t y --=1)( (4-4) 以τ/t 为横坐标，以s S y /为纵坐标，绘制曲线，该曲线对于任何

数值的s S ，τ,y 都具有普遍的适用性。

图4.2 一阶低通系统无量纲化的阶跃响应

阶跃响应曲线上有如下几个特征时间点：

①输出上升到稳态值的63%所需的时间T ，即时间常数τ。

②输出上升到稳态值的95%或98%所需时间T 5，和T 2，称为响应时间。

③输出从稳定值的10%达到稳态值的90%所需时间，称为上升时间r t 。 ④输出上升到稳态值的50%所需的时间，称为半值时间5.0t 。

一阶系统的时间域动态性能指标用上述哪一个指标均可，主要视标定的方便而定。各指标之间的关系为

T t T t T T T

T r 7.02.2435.025====

此外，我们还可以定义误差为：???

? ??--=-t t m e

x x E 1 （4-5） 将式（4-5）无量纲化为： τt

m e x E -= （4-6） 对于式（4-6）两边取对数：

τ

t x E Z m -==ln ，τ1-=dt dZ (4-7) 由于上式使用的是通过各数据点的最佳直线，而不是在63.2%方法中仅通过两点的直线，所以此时得到的τ值比较精确，如果各数据点近似地分布在一直线上，则该测试系统为一阶系统，如果各数据明显偏离一直线，则可判定该系统不是一阶系统，且通过63.2%方法所得到的τ值也是错误的。

（b ）斜坡响应

为了给系统加上斜坡输入，假定在初试条件下系统处于平衡状

态，在0=t 时，输入量x 突然以一恒定速度x

开始变化， 此时，系统的解及其偏差为

)()(τττ-+=-t e x

S t y t

s （4-8） τττx e x S t y t x E t s m +-=-=-)()( （4-9） 式（4-9）的右边的第一项将随时间的增加而逐渐消失，即为瞬态误差，第二项为稳态误差。如果τ小，瞬态误差消失的将更快，稳态误差和τ成正比，τ小稳态误差也将减少。稳态误差直接随被测量

的变化速率x

而增加。在稳态情况下，输入和输出曲线之间的水平距离就是τ。即稳态的时间滞后为τ。

图4.3 一阶系统的斜坡输入及斜坡响应

（2）二阶系统

二阶系统的微分方程为

)()()()(001222t x b t y a dt t dy a dt

t y d a =++ （4-11） 虽然方程具有三个参数0012b a a a ，但只有三个是真正的基本参数，即==00a b S S 静态灵敏度；20a a n =ω=无阻尼固有频率，2

012a a a =ξ=阻尼比 上述方程可写为： )(1

)()(2)(22t x k

t y t y t y n n n ωωξω=++ 或： )()()(2)(2t x S t y t y t y

s n n =++ωξω （4-12）

其中S S 为静态灵敏度，ξωn 为动态参数，因此，二阶系统需标定二

个动态参数。

（a ）阶跃响应

二阶系统阶跃响应曲线上有如下几个特征时间点：

①输出上升到稳态值的95%或98%所需时间T 5，和T 2，称为响应时间；

②输出从0上升到超调量的第一个峰值所需的时间，称为峰值时间p t ； ③最大超调量σ%；

④衰减率d.，对数衰减率D ；

⑤振荡周期T ；

二阶系统的时间域动态性能指标用上述哪一个指标均可，主要视标定的方便而定。各指标之间的关系为

243/125T t D T T D T T d p ====σ

图4.4 二阶系统的阶跃响应

4.2.2.2 频率域动态性能指标

频率域动态性能指标主要有通频带s

ω（即在对数幅频曲线上衰减3dB 的点），工作频带g ω（视测试要求而定，例如幅值误差小于±10%，

±5%，±2%，±1%等，或相位误差小于±10?，±5?，±2?，±1?等）。对于一阶系统还可以用通频带τω/1=s 表示，二阶系统为固有频率n ω和阻尼比ξ。

（1）一阶系统的频响函数

使测试系统在一定频率范围内受到正弦输入的作用，并记录其输入和输出。幅值比曲线用对数坐标，相位角曲线为线性坐标，其幅值比曲线按典型的低频和高频渐进线（即斜率为0和-20dB/10倍频程的两条直线）绘出，其相位角曲线则按渐进线接近-90?绘出。交接点的频率即为H s f πτω2/1==。

图4.5 一阶系统频响函数

一阶系统的归一化频响函数为

)()(11)(ω?ωωτ

ωj e A j j H -=+= (4-13) 式中，幅频 ()2211

ωτω+=A (4-14)

相频: ()τωω?arctg -=)( (4-15) s B B ωτω==

(4-16)

式中 )11(2-=ηB ，幅值误差： η-=?1A

当707.0=η时，τω/1,1==s B 为常用的通频带。由式（4-13）～

（4-16）即可算出对应于各种幅值误差A ?时的工作频带g ω

当对相角有确定的要求时，就可确定在工作频带g

ω内所允许的相角g

?。这时系统的时间常数 g g g tg ?ωτ1

= （4-17）

（2）二阶系统的频响函数

典型二阶系统传递函数为：()2222n

n n S s H ωξωω++= （4-18） 其频响函数为： ()()()ω?ωωj e A j H -= （4-19）

令频率比n ωωλ/=，幅频

()[]()222211

ξλλλ+-=A （4-20）

相频 ()2

12λξλλ?-=arctg （4-21） 当频率从零变到所要求的工作频带g ω时，幅频从1变到η（例如

η=±0.9或±0.95等），相频从零变到g ?

则幅频和相频的方程为

()()ηλξλλ=+-=g

g g A 2222411

（4-22） ()g g

g arctg 212λξλλ?-= （4-23）

解式（4-21）和式（4-22）并令()22/1ηη-=c ，即可得

2

122111-????????++-±=g g g n tg c tg ??ωω （4-24） c --=42221λλλ

ξ （4-25） 上二式即为系统固有频率和阻尼比与工作频带g ω（对应于给定

幅值误差?A 和相位误差g ?）的关系式。

4.2.2.3 测试系统动态数学模型建模和参数估计

用动态标定的实验数据，建立测试系统的动态数学模型，称为测试系统的实验建模，由系统输入动态激励信号和输出动态响应求出系统数学模型的方法，又称为系统辨识。系统辨识主要解决模型阶次和参数的估计，由于系统的输入和输出信号带有测量噪声，因此采用前述的方法，直接应用时间域和频率域指标时，会受到噪声的干扰，影响精度。建立动态数学模型的优点是：由模型计算的频率特性比较符合实际，光滑而有规则，并便于求出动态性能指标。建立测试系统动态数学模型之后一般还需要进行模型检验，模型检验的目的是检验模型计算值和动态标定实验结果是否吻合。吻合较好的模型，说明用该模型描述被标定的测试系统的动态特性是合适的。此外，通过比较，还可以检验标定过程中的测量噪声及标定精度。

4.3 动态标定信号的分析与选择

对动态激励信号的要求，主要是要激发被标定系统的全部模态频率，以得到被标定系统完整的动态响应。换句话说，动态激励信号的频谱要能充分覆盖被标定系统的全部模态频率。

图4.5 被标定系统和动态激励信号

图4.5给出被标定系统和动态激励信号的幅频特性。例如，某测试系统的频率特性如曲线1所示。对于这个系统，若采用幅频特性如

曲线3的激励，则系统能够准确、无失真地测量这种信号。若采用曲线2所示的幅频特性的信号激励，因为激励信号的频谱很宽，可将被校系统全部模态都激励起来，对被标定系统来说，相当于一个脉冲激励，该激励信号的频谱充分覆盖了被校系统的全部模态。

上述两个例子说明了选择动态标定激励信号的重要性。对几种典型的动态激励信号进行分析研究，并讨论其选择方法，是本节的主要任务。动态激励信号可分为频率域的、时间域的和随机的三种。

4.3.1 频率域动态激励信号的分析与选择

频率域的动态激励信号比较简单，一般都采用正弦信号，它的频谱是对应于各种频率的单谱线，谱线的高低取决于正弦信号的幅值。频率的变化可以由人工逐点调节也可以由仪器在给定的频率范围自动扫频。为简化数据处理，测试系统频率特性时，一般都保持激励信号的幅值不变。实验的频率范围一般都必须覆盖到系统的-3dB 点，即一般都测试到系统的幅频响应小于0.707或对数幅频响应小于-3dB 之后，实验中还应注意正弦激励信号的幅值应保持在测试系统的线性范围之内。

4.3.2 时间域动态激励信号的分析与选择

时间域激励信号的种类较多，下面只分析几种典型的信号。

4.3.2.1 矩形脉冲信号

矩形脉冲信号的频率响应为 )sin cos 1()1()(τωτωω

ωωτωj j X e j X j X m j m +-=-= （4-26）

幅频为： ()()22s i n s i n c o s 122τω

τωττωτωωωm m

X X X =+-= （4-27）

相对幅频为： ()()()

22s i n 0τωτω

ωω==X X A （4-28） 当（τω/2）→0时，()ωA →1，当（τω/2）→∞时，()ωA →0由此式可绘出相对幅频特性曲线。

假设被校准系统的通频带粗略估计为1s ω，若用矩形脉冲信号对

它进行动态校准时，动态激励信号的通频带应大于或等于被校准系统的通频带，才能将被校准系统的模态充分被激励起来。矩形脉冲的通频带2s ω对应于()ωA =0.707，此时（τω/2）=0.443π，则()1/886.03.02.0s ωπτ-=，也就是说，当被校准系统的通频带为1s ω时，

矩形脉冲宽度，应按上式选择。为了充分保证激励信号的频带足够宽，方波脉冲宽度应为理论计算值的1/3～1/5.例如，被校准系统的通频带为A=1kHz ，则激励信号矩形脉冲的宽度为88.6～132.9μs 。

4.3.2.2 阶跃信号

数学上阶跃信号的上升时间为零，为了与实际上具有一定上升时间的阶跃信号相区别，将数学上定义的阶跃信号称为理想阶跃信号，后者称为带斜波的阶跃信号。

（1）理想阶跃信号

理想阶跃信号的频谱为

ωωπδωj j X 1)()(+

= （4-30） 幅频为： []221

)()(ωωπδω+=j X (4-31)

由此式可绘出幅频特性曲线。

（2）带斜坡的阶跃信号

???≥<=ττπ

t t t t x 1/)( （4-32）

其拉氏变换为： ()

s e s

s X ττ--=11)(2 （4-33） 幅频特性为： 2sin 2

)(2τωτωω=j X （4-34） （3）半正弦信号

)(sin )(sin )(ττπττπ--+=t t t t x （4-35）

其拉氏变换式为 ())1(22s e s s X ττπτ

π-+??? ??+= （4-36）

幅频特性为：

()()22/2cos )/2(ωτπτωτπω-?=j X （4-37） 归一化幅频为： ()()()()222/2c o s )/(0ωτπτωτπωω-?==j X j X j X （4-38）

由此式可绘出归一化幅频特性曲线。 当0=ω时，()π

τ20=j X ；随着ω增加，()ωj X 逐渐下降。选用半正弦信号作为系统的激励信号时，要选择适当的τ，使系统的主要模态频率能够被()ωj X 所覆盖。

4.4两种典型的动态标定系统

为了进一步说明测试系统的动态标定，在这一节介绍两种典型的动态标定系统。一是采用激波管作激励源的激波管法，它是典型的瞬态信号激励系统，二是采用电磁振动台进行正弦信号扫描的频率响应标定系统，它是稳态频率激励的系统。

4.4.1典型瞬态信号激励--激波管法

4.4.1.1 激波管法标定原理

激波管系统标定动态压力传感器的原理是，在激波管内产生一个阶跃压力，传至装在激波管侧壁或末端的被标定动态压力传感器，并用适当的记录设备记录在这一阶跃压力作用下被标定压力传感器所产生的过渡过程，然后根据这一过渡过程，应用适当的计算方法求得被标定压力传感器的传递函数(即幅频特性和相频特性)。

4.4.1.2 激波与激波管

考察图4.6的活塞筒，当筒内气体因活塞高速运动而压缩时，形成如图4.6(a)所示的压力波。由于靠近活塞处的压力高，这里的高压力波比远处低压力波具有更高的速度向右传播。于是在压力波传播过程中，它的前沿越来越陡，如图 4.6(b)所示。经过一定时间之后，就在活塞的前方形成了图4.6（c）所示的具有陡峭前沿的压力波——激波。在激波的前沿上不但压力产生跳变，而且气体的温度和密度也发生跳变。当激波强度足够大时，就可以获得高温高压和高速的气体流动。

图4.6激波的形成

激波的传播速度大小随压力变化的强弱而定，压力变化愈大，则激波的传播速度愈大。激波后的气体压力、温度和密度都比激波前的

高。在激波的影响下，气体的粒子也朝着激波运动方向流动，但粒子的流动速度低于激波传播速度。激波的厚度非常薄，一般近似等于分子平均自由程的距离，而空气中激波的厚度约为其值的四倍，所以，一般为简化计算，可认为激波没有厚度。

为了使产生的激波能人为地加以控制，用来模拟某种特殊的环境，人们研制了各种激波管。激波管是产生激波的核心部分。

图4.7 激波管标定系统示意图

激波管是一个理想的阶跃压力(阶跃函数)发生器。它是一根中间用膜片分隔成两段的内璧光滑两端封闭的圆管，激波管标定系统如图4.7。管径大小可根据需要确定，一般在20～500mm之间。管壁材料一般为铜或合金钢。膜片前面往往充以高压气体，称为高压段，而膜片后不加压，或抽空到一定负压，称为低压段。低压段在不抽空时，其末端是开口的，而当抽空到一定负压时，其末端是不开口的。所用膜片的材料和厚度，决定于所要求的破膜压力。膜片应保证高低压段的压力差，并保持在规定条件下不破裂。一旦膜片破裂，就会在低压段产生激波。破膜的方式分两种，一种是自然破膜，即在高低的压力差超过膜片强度时，膜片自行破裂；另一种是当高压段和低压段的压力差控制到所需要的值时，使撞针机构(一种机械装置)的针尖突然扎

破膜片中心而使膜片破裂。在高压段，一般充以氢、氦等轻气体，而低压段充以空气、六氟化硫等较重的气体。

这个装置除激波管本身外，可分成气源，测速和记录及数据处理三部分。

气源部分供给激波管高压段以高压气体以及低压段的初始压力。高压气体可由气瓶或其他装置供给，经减压器和控制阀至激波管高压段内。减压器用来控制所加高压的上限。以免出现损害被标定压力传感器的现象，或造成其他事故。控制阀用来控制进入激波管高压段的气量，膜片破裂后应立即关闭控制阀。减压器和控制阀均装在控制台上。在控制台上还装有放气阀和压力表。压力表用来读取膜片破裂时高压段和低压段内的压力值，而放气阀用于每次标定完后将激波管内的气体放掉。

测速部分由测速传感器，放大器，限幅器和电子计数器组成。在低压室的右端侧璧上安装两个用于测定激波速度的传感器，当激波通过时，通过温度或压力效应使传感器产生两个电脉冲，输给计时仪测出激波通过已知距离的两个传感器的时间间隔。传感器的中心距除以测出的这个时间便得到激波的速度。

记录及数据处理部分由测量电路，放大器，示波器和频谱分析仪等组成。这部分用来对被标定压力传感器接收激波后的响应进行记录及数据处理。

激波管标定装置的工作过程简介于下。