北京第一六一中学数学全等三角形单元试卷(word版含答案)

北京第一六一中学数学全等三角形单元试卷（word 版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0,

4?? ???

【解析】

【分析】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．

【详解】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；

∴D （0，5）；

②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，

∴P （0，4）；

③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，

由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，

∴OC ＝54

， ∴C （0，54

）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,

4?

? ???．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC

++=____cm．

∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF

PF AC

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

∥

解：∵PD AB，PE BC

∴四边形HBDP是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∥

∵PE BC

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形

OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______

【答案】110°、125°、140°

【解析】

【分析】

先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则

∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.

【详解】

解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，

∴b﹣d=10°，

∴（60°﹣a）﹣d=10°，

∴a+d=50°，

即∠DAO=50°，

分三种情况讨论：

①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，

∴190°﹣α=α﹣60°，

∴α=125°；

②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，

∴α﹣60°=50°，

∴α=110°；

③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，

∴190°﹣α=50°，

∴α=140°；

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，

故答案为：110°、125°、140°.

【点睛】

本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

4．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-83． 【解析】

【分析】

先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值，再由勾股定理求出AB 的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积；连接OP ，过点P 作PE ⊥x 轴，由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，可知S △ABP ＝S △POA +S △AOB ﹣S △BOP ＝132，故可得出a 的值． 【详解】 ∵A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），

∴OA ＝3，OB ＝2，

∴223+213AB ＝＝，

∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，

∴1113?1313222

ABC S AB AC ??＝＝＝， 作PE ⊥x 轴于E ，连接OP ，

此时BE ＝2﹣a ，

∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，

∴111???222

ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣， 111113332222222a ??+????＝（﹣）﹣＝

，

解得a ＝﹣83

． 故答案为﹣83

． 【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．

5．在ABC ?中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=?，则BAC ∠=______°.

【答案】80或100

【解析】

【分析】

根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，

,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=?，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，联立即可求得.

【详解】

由题意可分如下两种情况：

（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，

1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠

（等边对等角），

两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，

又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠

20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+?

，

由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，

20180BAC BAC ∴∠+?+∠=?

，

80BAC ∴∠=?

；

（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，

3,4B C ∴∠=∠∠=∠

（等边对等角），

两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，

又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，

3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-?

，

20B C BAC ∴∠+∠=∠-?

由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，

20180BAC BAC ∴∠-?+∠=?

，

100BAC ∴∠=?

.

故答案为80或100.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.

6．如图，将ABC ?沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的1A 处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ，还原纸片后，再将ADE ?沿着过AD 中点1D 的直线折叠，使点A 落在DE 边上的2A 处，称为第2次操作，折痕11D E 到BC 的距离记为2h ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E 到BC 的距离记为2020h ，若11h =，则2020h 的值为______．

【答案】2019122-

【解析】

【分析】 根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA ?=DB,从而可得∠ADA ?=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA ?=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE 是△ABC 的中位线，证得

AA ?⊥BC,AA ?=2，由此发现规律：0

1 2122h =-=-?同理21122h =-3211122222

h =-?=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC 的距离1122

n n h -=-

，据此求得2020h 的值． 【详解】 解：如图连接AA ?,由折叠的性质可得：AA ?⊥DE, DA= DA ? ,A ?、A ?…均在AA ?上

又∵ D 是AB 中点，∴DA= DB ,

∵DB= DA ? ,

∴∠BA ?D=∠B ,

∴∠ADA ?=∠B +∠BA ?D=2∠B,

又∵∠ADA ? =2∠ADE ,

∴∠ADE=∠B

∵DE//BC,

∴AA ?⊥BC ,

∵h ?=1

∴AA ? =2,

∴01

2122h =-=-? 同理：21

122h =-； 3211122222

h =-?=-； …

∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1122n n h -=-

∴20202019122h =-

【点睛】

本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．

7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，

123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三

角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1

,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________

【答案】()8,0-

【解析】

【分析】

根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.

【详解】

解：设到第n 个三角形顶点的个数为y

则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,

∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,

∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....

∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,

由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,

∴OA 19=9-1=8,

∴19A 的坐标为()8,0-

故答案是()8,0-

【点睛】

本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键

8．如图，∠AOB ＝45°，点M 、点C 在射线OA 上，点P 、点D 在射线OB 上，且OD ＝

32，则CP+PM+DM的最小值是_____．

【答案】34．

【解析】

【分析】

如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝

C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为

C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．

【详解】

解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，

则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝

∠COD′＝45°，

∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，

当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，

作C′T⊥D′O于点T，

则C′T＝OT＝2，

∴D′T＝42，

∴C′D′＝34，

∴CP+PM+DM的最小值是34．

故答案为：34．

【点睛】

本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.

9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是

______________．

【答案】

2018

1

80 2

??

? ?

??

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．

【详解】

解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，

∴∠BA1C=

°

180-

2

B

∠

=80°，

∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，

∴∠DA2A1=1

2

∠BA1C=

1

2

×80°；

同理可得∠EA3A2=（1

2

）2×80°，∠FA4A3=（

1

2

）3×80°，

∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（1

2

）n-1×80°．

∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（1

2

）2018×80°，

故答案为：（1

2

）2018×80°．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2

及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是________ .

【答案】33

【解析】

试题解析：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，

∴点B、D关于AC对称，

连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，

∵E为AB的中点，∠DAB=60°，

∴DE⊥AB，

∴ED=22

-=22

AD AE

-=33，

63

∴EF+BF的最小值为33．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：

①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

由等边三角形的性质可得BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，

从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得

2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.

【详解】

∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，

∴BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，

在△ABD 与△ACD 中

90AD AD ADB ADC DB DC =??∠=∠=???=?

， ∴△ABD ≌△ACD ，故①正确；

在△ADE 与△ADF 中

60EAD FAD AD AD

EDA FDA ∠=∠??=??∠=∠=??

， ∴△ADE ≌△ADF ，故③正确；

∵在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，

∠EAD=∠FAD=30°，

∴2DE=2DF=AD ，故②正确；

同理2BE=2CF=BD ，

∵AB=2BD ，

∴4BE=4CF=AB ，故④正确，

故选D ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.

12．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．

【详解】

选取①②:

在ADF ? 和BEF ? 中

1=2

{12

AFD BFE

AD BE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

选取①④:

在ADF ? 和BEF ? 中 1=2

{12

AFD BFE

FD FE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

选取③④:

在ADF ? 和BEF ? 中 ={12

AF BF

AFD BFE

FD FE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．

13．在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）

A ．6cm

B ．7cm

C ．8cm

D ．9cm

【答案】A

【解析】

【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得

ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ?∠=，得

30ACE ECD DCB ?∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．

【详解】

∵CE 垂直平分AD

∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠

∵CD 平分BCE ∠

∴BCD ECD ∠=∠

∴30ACE ECD DCB ?∠=∠=∠=

∴60A ?∠=

∴30B BCD ?∠==∠

∴6CD BD AC cm ===

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．

14．如图，等腰ABC ?中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：

①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ?是等边三角形；

④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；

③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；

④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.

【详解】

连接OB ，

∵AB AC =，AD ⊥BC ，

∴AD 是BC 垂直平分线，

∴OB OC OP ==，

∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，

∵AB=AC ，∠BAC =120°

∴30ABC ACB ∠=∠=?

∴30ABO DBO ∠+∠=?，

∴30APO DCO ∠+∠=．

故①②正确；

∵OBP ?中，180BOP OPB OBP ∠=?-∠-∠，

BOC ?中，180BOC OBC OCB ∠=?-∠-∠，

∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=?-∠-∠=∠+∠+∠+∠，

∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，

∴260POC ABD ∠=∠=?，

∵PO OC ，

∴OPC ?是等边三角形，

故③正确；

在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，

则AOQ ?为等边三角形，

则120BQO PAO ∠=∠=?，

在BQO ?和PAO ?中，

BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠??∠∠???

＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ??≌（），

∴PA BQ =，

∵AB BQ AQ =+，

∴AB AO AP =+，故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证

BQO PAO ??≌是解题的关键．

15．如图，已知AD 为ABC ?的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ?，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ?为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ??=

，其中正确的有( )

A ．①③

B ．①②④

C ．①③④

D ．①②③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ；

②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；

③证明△AEF ≌△BED 即可；

④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；

⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．

【详解】

①∵AD 为△ABC 的高线，

∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，

∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，

∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，

∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，

∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；

在△DAE 和△CBE 中，

AE BE DAE CBE AD BC ??∠∠???

＝＝＝，

∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；

②∵△ADE ≌△BCE ，

∴∠EDA ＝∠ECB ，

∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，

∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，

∴∠DEC ＝90°，

∴CE ⊥DE ；

故②正确；

③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，

∴∠BDE ＝∠AFE ，

∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，

∴∠BED ＝∠AEF ，

在△AEF 和△BED 中，

BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠??∠∠???

＝＝＝，

∴△AEF ≌△BED （AAS ），

∴BD ＝AF

故③正确；

∵△AEF ≌△BED

∴DE=EF, 又DE ⊥CF ，

∴△DEF 为等腰直角三角形，故④错误；

④∵AD ＝BC ，BD ＝AF ，

∴CD ＝DF ，

∵AD ⊥BC ，

∴△FDC 是等腰直角三角形，

∵DE ⊥CE ，

∴EF ＝CE ，

∴S △AEF ＝S △ACE ，

∵△AEF ≌△BED ，

∴S △AEF ＝S △BED ，

∴S △BDE ＝S △ACE ．

故④正确；

故选：D ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．

16．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）

A ．6

B ．7.5

C ．9

D ．12

【答案】C

【解析】

【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.

【详解】

解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于

H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.

∵AB=AC=6,∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

易得BC=63，

在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，

∴HC=33，∠BCH=60°，

∴163CC =，

在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，

∴19PC =

∴CQ+PQ 的最小值为9，

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.

17．如图，点D ，E 是等边三角形ABC 的边BC ，AC 上的点，且CD =AE ，AD 交BE 于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，已知PE =2，PQ =6，则AD 等于( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】C

【解析】

【分析】 由题中条件可得△ABE ≌△CAD ，得出AD =BE ，∠ABE =∠CAD ，进而得出∠BPD =60°．在Rt △BPQ 中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP 的长，进而可得结论．

【详解】

∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°．

又∵AE =CD ，∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴∠ABE =∠CAD ，AD =BE ，

∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．

∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．

故选C．

【点睛】

本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．

18．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

【答案】A

【解析】

【分析】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．

【详解】

作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，

∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°

∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，

同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，

∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，

∴△P1OP2是等腰三角形．

∴∠OP2N=∠OP1M，

∴∠P1OP2=180°-110°=70°，

∴∠AOB=35°，