1条件概率

§2.2.1条件概率

知识点

1.条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。

2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（或积），记作

3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数

包含的基本事件数A B A = 总数

包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P

一问题分析

问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件=A “蓝色骰子的点数为3或6”，事件=B

“两颗骰子的点数之和大于8”，求：

（1）事件A 发生的概率；

（2）事件B 发生的概率；

（3）已知事件A 发生的情况下，事件再B 发生的概率。

问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考：

（1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？

（2）若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？

（3）在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？

二典型例题分析

例1：抛掷一颗骰子,观察出现的点数

=A {出现的点数是奇数}＝}531{，，，=B {出现的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。

例2：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时

另一个小孩是男孩的概率是多少？

例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：

（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？

例4: 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0 1 2 3 4 5≥ 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数

0 1 2 3 4 5≥ 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

三练习部分

一、选择题

1．下面几种概率是条件概率的是( )

A ．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率

B ．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，两人同时命中的概率为0.3，则在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C ．10件产品中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25

，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 2．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为( )

A.35

B.25

C.110

D.59

3．把一幅扑克牌(不含大小王)随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张梅花}，B ＝{孙家得到3张梅花}，则P (B |A )等于( )

A.C 313C 1039C 1352

B.C 313C 1339

C.C 37C 1032C 1339

D.C 613C 739C 1352

4．设P (A |B )＝P (B |A )＝12，P (A )＝13

，则P (B )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16

5．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12

.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )

A.34

B.23

C.12

D.13

6．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第一次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是________．

2.2.1条件概率

高中数学条件概率一、选择题 1.下列式子一定成立的是( ) A.P(B|A)=P(A|B) B.P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A) C.0

A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6 6.一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,则另一个也是女孩的概率为( ) A. B. C. D. 7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A表示“取到的2个数之和为偶数”,事件B表示“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 8.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮三级以上风的概率为,既刮三级以上风又下雨的概率为,则在下雨天里,刮三级以上风的概率为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.一个袋中有7个大小相同的两种颜色的球,其中白球有4个.从中不放回地摸球四次,一次摸1个,已知前两次摸得白球,则后两次也摸得白球的概率是 . 10.在10张奖券中,其中2张有奖,某人从中抽3次,每次1张,等抽完后再看中奖情况,但此人在抽第二次时,无意中发现有奖,则他第一次抽的奖券也有奖的概率为 .

条件概率及其性质

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P (B |A )＝ . (3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1. ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果事件A 与B 相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B ) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小． 2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) ； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝ n (AB ) n (A ) . 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝ 42＋4＝23 ，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝1 3， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11 27. 2.(2011年湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正

条件概率教学设计教学文案

8.2.2 条件概率一、教学目标（一）知识目标在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题. （二）情感目标创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．（三）能力目标在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．二、教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用. 三、教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题. 四、教学过程（一）引入课题 [教师] （配合多媒体演示）问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答） 6 1 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 6 1 )(＝中的元素数中的元素数Ω= ∴B B P [教师] （配合多媒体演示）问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答） 3 1 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝ 3 1 A ＝中的元素数中的元素数 B . [教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？ [学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B). [教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率. （板书课题——条件概率）（二）传授新知 1．形成概念 [教师] 在引入课题的基础上引出下列概念：（多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概

高中数学选修2-3 2.2.1条件概率

的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①；②；③事件B与事件A1相互独立； ④是两两互斥的事件； ⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．解：答案：②④ 例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．解：令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．则所求概率为Ｐ（B|A）．，．．

即所求概率为．例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？解：记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．（1）．（2）．（3）． ∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为．在甲地下雨时乙地也下雨的概率为．甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．

高中数学北师大版选修12第一章统计案例第3课时条件概率与独立事件精品学案

第3课时条件概率与独立事件 1.理解相互独立事件的定义,掌握相互独立事件同时发生的概率的计算方法. 2.理解条件概率的概念,会应用条件概率的计算公式求概率. 3.培养学生分析问题和解决问题的能力. 重点:条件概率与独立事件的概念、特征以及求其概率的方法. 难点:条件概率的求法. 某人有两个孩子,那么他的两个孩子都是女孩的概率是.如果在已知他的一个孩子是女孩的情况下,他的两个孩子都是女孩的概率还是吗? 问题1:在创设情境中,已知他的一个孩子是女孩,求他的两个孩子都是女孩的概率是一个条件概率问题. 一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率. 问题2:相互独立事件事件的相互独立性:事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B),这样两个事件叫作相互独立事件. 问题3:如果A、B相互独立,那么A、B、、中相互独立的有哪些? 如果A,B相互独立,可以得如下3对:A与,与B,与也相互独立. 问题4:相互独立事件的性质以及事件独立性的推广 (1)两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(AB)=P(A)·P(B). (2)如果事件A1,A2,A3,…,A n是相互独立的,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(A1A2A3…A n)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n). 互斥事件与相互独立事件的区别两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生;两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响.两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生. 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于(). A.B.C.D. 【解析】P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=. 【答案】D 2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)等于(). A. B. C. D. 【解析】出现点数互不相同的共有6×5=30种,出现一个5点共有5×2=10种, ∴P(B|A)==. 【答案】A 3.设P(A|B)=P(B|A),P(A)=,则P(B)的值为. 【解析】∵P(A|B)=,P(B|A)=,∴P(B)=P(A)=. 【答案】 4.某班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.现在要在班内任选一名共青团员当团员代表,求这个代表恰好在第一小组的概率. 【解析】设在班内任选一名学生,该学生是共青团员为事件A,在班内任选一名学生,该学生恰好在第一小组为事件B,则所求概率为P(B|A).又P(B|A)===. 所以所求概率为.

条件概率练习题

条件概率一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A ．P (A | B )＝P (B |A ) B ．0

条件概率1

例1：根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率309，下雨的概率为3011，既吹东风又下雨的概率为308.试求在吹东风的条件下下雨的概率. 例2: （1）10个球有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率是；（2）盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是；例2：（1）有一批种子的发芽率为90.，出芽后的幼苗成活率为80.，在这批种子中，

随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为；（2）某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概 0.，继续射击，射中第二个目标的率为8 0.，则这个选手过关的概率概率为5 是；（3）袋中装有形状、大小完全相同的5个球，其中黑球3个、白球2个.从中依次取出2个球，则所取出的两个都是白的概率；（4）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱中，然后从2号箱中随机地取出1个球，则两次都取到红球的概率是；

例4：（1）设某光学仪器厂制造的透镜，第一次下落时打破的概率为21 ，若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为107 ，若前两次落下时未打破，第三次下落时打破的概率为109 ，试求透镜落下三次而未打破的概率；（2）8个人抽签，其中只有1张电影票，7张空票，求每个人抽到电影票的概率；（3）（傅立叶模型）已知一个罐中盛有m 个白球，n 个黑球.现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a 个.试求接连取球3次，3次均为黑球的概率.

条件概率

答案：59 探究点1 利用定义求条件概率甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？【解】设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，根据题意，得 P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是 P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝0.120.18＝23 . (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝3 5. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝ P （AB ） P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ， B 同时发生．如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝________，P (B |A )＝________．解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2 ＝π，正方形EFGH 的面积为? ?? ??2r 22 ＝2，所以P (A )＝2 π . P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率，所以P (B |A )＝1 4 .

北邮概率论与数理统计条件概率1.3

§1.3 条件概率条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。 1. 条件概率的定义及计算在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件B 发生了，这时对另外一个事件A 发生的概率往往需要重新给出度量.称事件A 的这个新概率为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率,记为)|(B A P .为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义,我们先看一个例子. 例1 一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表甲车间乙车间合计正品 465 510 975 次品 15 10 25 合计 480 520 1000 从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 %5.21000 25= 现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是 %5.2，而是 %125.3480 15= 在本例中，设B 表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件A 的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算出的事件A 的概率是在有了 “事件B 发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为无条件概率。经过简单计算有 ) ()(1000/4801000/1548015)|(B P AB P B A P === 这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义.受由启发,我们可以在一般的样本空间中给出条件概率的数学定义. 定义设B A ,是样本空间Ω中的两个事件，且0)(>B P ，在事件B 发生的条件下，事件A 的条件概率定义为 ) ()()|(B P AB P B A P = 根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理：（1）非负性：对任一事件B ，有0)|(≥A B P ；（2）规范性：1)|(=ΩA P ；

1条件概率

§2.2.1条件概率知识点 1.条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。 2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（或积），记作 3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数包含的基本事件数A B A = 总数包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P 一问题分析问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件=A “蓝色骰子的点数为3或6”，事件=B “两颗骰子的点数之和大于8”，求：（1）事件A 发生的概率；（2）事件B 发生的概率；（3）已知事件A 发生的情况下，事件再B 发生的概率。问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考：（1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？（2）若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？（3）在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？二典型例题分析例1：抛掷一颗骰子,观察出现的点数 =A {出现的点数是奇数}＝}531{，，，=B {出现的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。例2：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？例4: 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

条件概率(教案)

2．2．1条件概率寿阳县第一职业中学` 付慧萍教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y和Y Y Y．在事件A 发生的情况下事件B发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y，因此 (|) P B A=1 2 = () () n AB n A .

条件概率

第四节条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结

将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A 为“至少有一次为正面”,事件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：分析样本空间}. , , , {TT TH HT HH S =()P B =事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 ),(A B P 31)(=A B P 则).(B P ≠4341=()P AB =. , 为反面为正面设T H 引例1 一、条件概率 },,{},,,{TT HH B TH HT HH A ==21.42=() P A

) ()()(B P AB P B A P =同理可得为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率. 条件事件不能是不可能事件条件事件不能是不可能事件，，概率总大于0. . ) ()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设B A A P AB P A B P A P B A =>定义定义：：条件概率Conditional Probability

例1.家有枣树(Luxun's Jujube Tree) 鲁迅在散文里说道鲁迅在散文里说道：：自家院子里有两棵树,一棵是枣树,另一棵也是枣树; 如果我们还不知道另一棵是什么树, 求另一棵也是枣树的概率.

不妨设另一棵可能是榆树不妨设另一棵可能是榆树((或槐树或槐树,,等等等等),),),则事件则事件 “院子里有两棵树院子里有两棵树””为样本空间为样本空间，，其元素构成为 ()P A B =S ={(={(枣枣,枣),(),(枣枣,榆),(),(榆榆,榆)} 事件B :已知一棵是枣树已知一棵是枣树，，(即有一棵是枣树即有一棵是枣树);); 事件A :另一棵也是枣树另一棵也是枣树.. 则二者的交事件为则二者的交事件为：：两棵都是枣树两棵都是枣树。。由条件概率计算公式由条件概率计算公式:: ()()P AB P B =1/32/312 =

7.1.1 条件概率

第七章随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率基础过关练题组一利用定义求条件概率 1.(2020山东日照第一中学高三上期中)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为7 30 ,既吹东风又下雨的概率为1 10 .则该地四月份在吹东风的条件下,下雨的概率为( ) A.3 11 B.3 7 C.7 11 D.1 10 2.(2020广东顺德高三第三次教学质量检测)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( ) A.0.75 B.0.6 C .0.52 D.0.48 3.(2020辽宁沈阳实验中学高三上月考)每场足球比赛的时间为90分钟,若比赛过程中体力消耗过大,则运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%,比赛结束前20分钟抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛,那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为( ) A.4 5 B.3 10 C.5 8 D.2 5

4.(2020东北三省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校高三第一次联合模拟考试)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次的概率为85%,充放电循环次数达到2 500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电,那么该用户的车能够充电2 500次的概率为. 题组二由样本点数求条件概率 5.已知6个高尔夫球中有2个不合格,每次任取1个,不放回地取两次.在第一次取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫球的概率为( ) A.3 5B.2 5 C.2 3 D.3 10 6.(2020福建南平高级中学高二下期中)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数小于4”为事件A,“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B,则P(B|A)=( ) A.1 2B.1 3 C.1 4 D.1 6 7.(2020山东烟台高二下期中)甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习,每位毕业生只能选择其中的一个工厂实习,设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A,“甲独自去一个工厂实习”为事件B,则P(A|B)= ( ) A.2 3B.1 3 C.3 4 D.5 8 8.(2020山东济宁高三二模)已知n是一个三位数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为

条件概率

条件概率、乘法公式、独立性前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。解：则（1）（2），，，（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次

品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知：为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：即有二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞ 0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。

条件概率公式

条件概率公式条件概率：设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T. 样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT）设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH）设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT）求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。（例子来自浙大版概率与统计第四版）从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。所以可以直接求出A的概率与B的概率。即P(A)=3/4 , A事件与B事件相交事件只有一个即HH。即P(AB)=1/4.有公式1可知 P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3. 1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)

把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。即得到乘法公式。如式P(AB)=P(B|A) P(A)。全概率公式：在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。P(A∩B)表示A和B相交的概率。而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)

条件概率经典练习

条件概率例题解析 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 , , ∴P(A|B)=1/2.

3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .由数学归纳法可以知道 P(A1A2… A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A 表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 . 事件B表示“从乙袋中取到的是白球”. 显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意 P(A )=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A 2 )=3/10 ;

人教新课标版数学高二-人教数学选修2-32.2.1条件概率

1．(2013·芜湖调研)抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )＝( ) A.12 B.15 C.25 D.35 解析：选C.P (B )＝56，P (AB )＝13 ， P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1356 ＝25 . 2．(2013·海口高二检测)抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1、x 2分别表示第一、二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1＞x 2}，则P (B |A )＝________. 解析：P (A )＝336＝112，P (AB )＝136 ， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A ) ＝136112 ＝13. 答案：13 3．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．解：设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}． B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310，P (R |A )＝12 ， P (W |A )＝12 ， P (R |B )＝45，P (W |B )＝15 . 事件“试验成功”表示为RA ∪RB ，又事件RA 与事件RB 互斥，故由概率的加法公式，得 P (RA ∪RB ) ＝P (RA )＋P (RB )＝P (R |A )·P (A )＋P (R |B )·P (B ) ＝12×710＋45×310 ＝0.59.

1.3条件概率与贝叶斯公式

《概率论与数理统计》课后练习（三）第一章 §1-3条件概率与贝叶斯公式班级姓名座号成绩一．填空题（每小题0.5分,共计2分） 1．设B A ,为两个事件，3.0)(,7.0)(,4.0)(=-=+=B A P B A P A P ，则=)|(B A P 。 2. 某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率0.56，现有一只该动物已经10岁了，那么它能活到12岁的概率为。 3. 袋中有5只红球与2只白球，每次取一只球，不放回地取两次，设i A 表示第i 次取到红球（2,1=i ），则=-)(12A A P 。 4.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1.一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随意查看其中4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，问顾客能买下该箱的概率为。二．单项选择题（每小题0.5分,共计1分） 1. 设B A ,为两个事件，0)()(>≠B P A P ，且B A ?,下列正确的是( ) （A ）1)|(=A B P （B ）1)|(=A B P （C ）1)|(=B A P （D ）)()|(A P B A P = 2. 一批产品中有5%的废品，而合格品中有70%是优质品，则该批产品中的优质品率是（）（A ）%95 （B ）%70%95? （C ）%70 （D ） % 95%70 三．计算题（每小题1分，共计2分） 1一项血液化验，以概率95%将带菌病人会检出阳性，但也有1%的概率将健康人误检为阳性。已知该种疾病的发病率为0.5%，试求：已知某人被检出阳性的条件下，他确实为带菌病人的概率？

苏教版高中数学选修2-3 _2.3.1 条件概率_ 作业

2.3.1 条件概率一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和小于}，则（） A．B．C．D．【答案】D 【解析】由题意得，两次的点数均为奇数且和小于的情况有，则，故选D. 2．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为（） A．B．C．D．以上都不对【答案】C 【解析】【分析】分别求出仅甲及格的概率、仅乙及格的概率、仅丙及格的概率，再把三个概率值相加，即可求得答案. 【详解】甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，仅甲及格的概率为：；仅乙及格的概率为：；仅丙及格的概率为：；三人中只有一人及格的概率为：. 故选C. 【点睛】本题考查相互独立事件的乘法概率公式，对立事件的概率关系，体现分类讨论的数学思想，属于基础题.

3．据统计一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为（） A．B．C．D．【答案】A 【解析】【分析】分别计算出该公司职员在一次性饮酒4.8两和7.2两时未诱发脑血管病，将事件“某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病”表示为：该公司职员在一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病的前提下，一次性饮酒7.2两也不诱发脑血管病，然后利用条件概率公式计算出该事件的概率．【详解】记事件A：某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，记事件B：某公司职员一次性饮酒7.2两未诱发脑血管病，则事件B|A：某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，继续饮酒2.4两不诱发脑血管病，则B?A，AB=A∩B=B， P（A）=1﹣0.04=0.96，P（B）=1﹣0.16=0.84，因此，P（B|A）=，故选：A．【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝. 4．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是 A．B．C．D．【答案】C 【解析】