工科数学分析基础

2019年工科数学分析基础（微积分）试题

一、填空题 (每题6分，共30分)

1．函数??

???

??-≥+=01

0)(2 x x

e x bx a x

f bx ，=-→)(lim 0

x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足。

2．=??

??+∞→x

x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线???==t

e y t

e x t

t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为，切线方程为。 4．1=-+xy e

x ，=dy ，='')0(y 。

5．若22

lim 2

21=-+++→x x b

ax x x ，则=a ，=b 。二、单项选择题 (每题4分,共20分)

1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（）（A ）32=

a ，（B ）3=a ， (C). 2

=a ，（D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（）

（A ）可导奇函数的导数一定是偶函数；（B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数；

（D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；

3．设x

x x f πsin )(3-=，则其（）

（A ）有无穷多个第一类间断点；（B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点；（D ）有三个可去间断点；

4．设x x x x f 3

)(+=，则使)0()

(n f

存在的最高阶数n 为（）。

（A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim

30=+→x x xf x x ，则2

(1lim x x f x +→为（）。

（A ）。 0 （B ）

， (C) 1 （D ）∞

三．（10分）求x

x x x x arctan tan 2

11lim

?--++→

四．（10分）设?????=≠-=0,

,sin )()(x a x x

x x g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，1)0(=g ，1)0(='g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连续性。

五．（10分）函数????

????

--+=-+=0,4sin 1

,60

,arcsin )1ln()(23 x x x ax x e x x x x ax x f ax 问a 为何值，)(x f 在0=x 处（1）连续；（2）为可去间断点；（3）为跳跃间断点；（4）为第二类间断点；

六．（10分）设141=x ， 21+=

+n n x x ),2,1(???=n ，（1）求极限n n x ∞

→lim ；（2）求极限2

112)2(4lim -+∞

→???

??--n x n n n x x

七．（10分）设函数)(x f 在[]b a ,连续，()b a ,可导，证明：至少存在一点∈ξ()b a ,，使ξ

ξξ--=

'b a f f f )

()()(

2011工科数学分析基础（微积分）试题

一、填空题 (每题6分，共30分)

1．=???

??-+∞→n

n n n 11lim ；=+→x

x x x tan )1sin 1(2sin lim 0 。 2．设函数)(x y y =由方程e xy e y

=+确定，则=dx

，曲线)(x y y = 在)1,0(点处切线方程为。

3．设函数)(x y 由参数方程???+-=++=1

3t t y t t x 确立，则函数)(x y 单调增加的x 的取值范围是，曲线)(x y y =下凸的x 取值范围是。

4．设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2

x 高阶的无穷小，则=a ，=b 。

5．设x x x f sin )(3

=，则=')0(f ，=)0()2011

。

二、单项选择题 (每题4分,共20分)

1．下列结论正确的是（）（A ）.如果)(x f 连续，则)(x f 可导。（B ）.如果)(x f 可导，则)(x f '连续. (C). 如果)(x f '不存在，则不)(x f 连续

（D ）. n x 落在),(εε+-a a 外如果)(x f 可导，则)(x f 连续. 2．数列{}n x 极限是a 的充要条件是（）

（A ）对任意ε＞0，存在正整数N ，当n ＞N 时有无穷多个n x 落在),(εε+-a a 中（B ）对任意ε＞0，存在正整数N ，当n ＞N 时有无穷多个n x 落在),(εε+-a a 外 (C). 对任意ε＞0，至多有有限多个n x 落在),(εε+-a a 外（D ）以上结论均不对。

3．设x

x x f πsin 1

)(2-=，则其（）

（A ）有无穷多个第一类间断点；（B ）只有一个可去间断点； (C).有两个跳跃间断点；（D ）有两个可去间断点；

4．曲线2

x xe y =的渐进线有（）条。

（A ）1条；（B ）2条； (C).3条；（D ）4条。

5．设)(x f 在a x =可导，则函数)(x f 在a x =不可导的充分条件是（）（A ）)(a f ＞0且)(a f '＞0；（B ）)(a f ＜0且)(a f '＜0； (C). )(a f =0且)(a f '≠0；（D ）)(a f =0且)(a f '=0

三．（10分）求???

????-??? ??++→13cos 221arctan 1

lim 20x x x x x 四．（10分）设?????=≠-=0,

,sin )()(x a x x

x g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，1)0(=g ，1)0(='g ，2)0(=''g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连

续性。

五．（10分）比较2012

2011

和2011

2012

的大小，并叙述理由。

六．（10分）)(x f ''＞0，)0(f ＜，证明函数

x f )

(在)0,(-∞和),0(∞+内单调增加。七．（10分）设)(x f 在[]1,0连续，()1,0可导，0)1(=f ，证：存在)1,0(0∈x 使

0)()(000='+x f x x nf ，n 为正整数。

2012工科数学分析基础（微积分）试题

一、填空题 (每题6分，共30分)

1) 1

23lim (

n n n n →+∞+=3； 22

2321

lim sin x x x x x

→∞++=+3．

(2) 曲线()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线方程为1(1)

y n x -=-，记该切线

与x 轴的

交点为(,0)n ξ，则lim n n n ξ→+∞

1e -．

(3) 设22ln(1)x t t y t ?=+?=+?，则d d y

x =

2(1)t +，22d d y x

12(1)t -+． (4)

cos2x 的Maclaurin （麦克劳林

）

公

式

为

cos2x =

(2)(2)12!4!

x x -+

5o()x +，

设2()cos 2g x x x =，则(4)(0)g =

48-．

(5) 当0x →时，22()f x tan x x =-是x 的

阶无穷小（写出阶数），

(0)f '''=

．

二、单项选择题 (每题4分,共20分)

(1) 以下极限计算中正确的是．

A ．01lim sin 1x x x →=；

B ．1

lim sin 0x x x →∞=；

C ．011lim sin x x x →=∞；

D ．1

lim sin 1x x x →∞=．

(2) 函数2

sin(2)

()(1)(2)

x x f x x x x ?-=

--在下列哪一个区间内有界？ A ．(1,0)-； B ．(0,1)； C ．(1,2)； D ．(2,3)．

(3) 对于定义在(1,1)-上的函数()f x ，下列命题中正确的是．

A ．如果当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，则(0)f 为()f x 的极小值；

B ．如果(0)f 为()f x 的极大值，则存在01δ<≤，使得()f x 在(,0)δ-内单调增加，在(0,)δ内单调减少；

C ．如果()f x 为偶函数，则(0)f 为()f x 的极值；

D ．如果()f x 为偶函数且可导，则(0)0f '=．

(4) 若220ln(1)()

lim 2x x ax bx x

→+-+=，则． A ．51,2a b ==-； B ．5

1,2a b ==；

C ．1,2a b ==-；

D ．0,2a b ==． (5) 设函数()f x 在点0x =的某邻域内三阶可导，且0()

lim 11cos x f x x

→'=--，

则．

A ．(0)f 为()f x 的一个极大值；

B ．(0)f 为()f x 的一个极小值；

C ．(0)f '为()f x '的一个极大值；

D ．(0)f '为()f x '的一个极小值．

三、（10分）已知函数()y y x =由方程221(0)x y y y +=>确定，求d d y x

，并求()y y x =的极值．

四、（10分）求极限 sin 260lim ln(1)sin x x

x e e x x x x

→-+-+

五、（10分）已知函数,0()cos ,0x x f x a b x x x ≤??

=+?>??

在点 0x = 处可导，求常数

a 和

b ．

六、（10分）（1）证明：

111

ln(1)()1n N n n n

+<+<∈+；（2）设 1

1ln ()2

n u n n N n

+=++

-∈，证明数列{}n u 收敛．七、（10分）设函数()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，(0)0f =．证明：

至少存在一点

(0,)ξπ∈，使 2()tan ()2

f f ξ

ξξ'=?．

工资概念与组成部分

【工资概念】劳动部《工资支付暂行规定》劳部发〈1994〉489号第三条规定：工资是指用人单位依据劳动合同的规定，以各种形式支付给劳动者的工资报酬。【工资总额组成】国家统计局《关于工资总额组成的规定》第1号令规定：工资总额组成由下列六部分组成：（一）计时工资包括：1．对已做工作按计时工资标准支付的工资；2．实行结构工资制的单位支付给职工的基础工资和职务（岗位）工资；3．新参加工作职工的见习工资；4．运动员体育津贴。（二）计件工资包括：1．实行超额累进计件、直接无限计件、限额计件、超定额计件等工资制，按劳动部门或主管部门批准的定额和计件单价支付给个人的工资；2．按工作任务包干方法支付给个人的工资；3．按营业额提成或利润提成办法支付给个人的工资。（三）奖金包括：1．生产奖；2．节约奖；3．劳动竞赛奖；4．机关、事业单位的奖励工资；5．其他奖金。（四）津贴和补贴包括：1．补偿职工特殊或额外劳动消耗的津贴、保健性津贴、技术性津贴、年功性津贴及其他津贴：2．各种物价补贴。（五）加班加点工资包括：按规定支付的加班工资和加点工资。（六）特殊情况下支付的工资包括：1．根据法律法规规定因病、工伤、产假、计划生育假、婚丧假、事假、探亲假、定期休假、停工学习、执行国家和社会义务等原因按计时工资标准或计时工资标准的一定比例支付的工资：2．附加工资、保留工资。国家统计局《关于工资总额组成的规定》(国家统计局第1号令) 第一章总则第一条为了统一工资总额的计算范围，保证国家对工资进行统一的统计核算和会计核算，有利于编制、检查计划和进行工资管理以及正确地反映职工的工资收入，制定本规定。第二条全民所有制和集体所有制企业、事业单位，各种合营单位，各级国家机关、党政机关和社会团体，在计划、统计、会计上有关工资总额范围的计算，均应遵守本规定。第三条工资总额是指各单位在一定时期内直接支付给本单位全部职工的劳动

(整理)《中国近现代史纲要》教学大纲.

《高等数学A》教学大纲（工学类高中生源本科）课程名称：高等数学/Advanced Mathematics 课程编码：0702002106，0702002206 课程类型：公共基础课总学时数/学分数： 192/ 12 实验(上机)学时：0 适用专业：汽车、电子、自动化、计算机、机械先修课程：无制订日期：2005年11月一、课程性质、任务和教学目标高等数学A是高等职业技术师范院校各专业学生必修的重要基础理论课，是学习现代科学技术必不可少的基础知识，应用非常广泛，是为培养社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，学生能够达到以下目标： 1、使学生能掌握函数和极限的基本内容和思想精华； 2、使学生能掌握一元函数微积分学的基本内容、重要思想和简单计算； 3、使学生能学会向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学等的基本内容和计算； 4、学生通过学习能为后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础； 5、通过学习逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和基本运算能力。

三、学时分配表内容学时习题课总学时第一章函数与极限14-16 2 16-18 第二章导数与微分16 2 18 第三章中值定理及导数应用16 2 18 第四章不定积分12 2 14 第五章定积分14 2 16 第六章定积分应用6-8 2 8-10 第七章向量代数与空间解析几何16 2 18 第八章多元函数微分学及其应用16 2 18 第九章重积分12 2 14 第十章曲线积分与曲面积分16 2 18 第十一章无穷级数16-18 2 18-20 第十二章微分方程14 2 16 合计168-174 24 192-198 五、教学方法与手段本门课采用完全课堂讲授的教学方式，并辅之以适当的习题课便于对基本概念和理论的理解和掌握，使学生能通过高等数学A的学习，具有一定的抽象推理能力、逻辑推理能力及基本运算能力。

数值分析简明教程---课后答案

0.1算法 1、（p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3. 【解】由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。【解】由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分

0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε；评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为

工科数学分析基础试题

2010工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分) 1．函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ，=- →)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足。 2．=?? ? ??+∞→x x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线? ??==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为，切线方程为。 4．1=-+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。 5．若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（）（A ）32= a ，（B ）3=a ， (C). 2 3 =a ，（D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（）（A ）可导奇函数的导数一定是偶函数；（B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数；（D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数； 3．设x x x x f πsin )(3-=，则其（）（A ）有无穷多个第一类间断点；（B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点；（D ）有三个可去间断点； 4．设x x x x f 3 )(+=，则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为（）。（A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim 30=+→x x xf x x ，则2 0) (1lim x x f x +→为（）。（A ）。 0 （B ）6 1 ， (C) 1 （D ）∞

华南理工大学工科数学分析B解答

《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim )2(lim 2 2=++=-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x （2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 2 0000=-===++++→→→→x x x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α 且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0 =x 为第一类间断点; 当0 ≤α 时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点. 三. 解: 方程两边关于x 求导得 2 2 2 2 2221) /(11y x y y x x y y x x y +'+= -'+ 整理得 y x y x x y -+= d d 于是, 3 2 2 2 2 2 )()(2) () 1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+= -'-+--'+= . 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2 /1=-='x x x x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而 3 3)/1(2< x . 解 1)(=-= 'a x x f 得唯一驻点 a x 1= . )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+ →)(lim 0 x f x , -∞=+∞ →)(lim x f x , 所以有如下结论: (1) 当e a /1>时, 0)/1(a f , 原方程有两个根