西安尊德中学 数学旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)

西安尊德中学 数学旋转几何综合单元测试卷（含答案解析）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，20

3

AD =，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AE 和BE 的长；

（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的

ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD

交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长． 【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）2512525310103243

-、、103 【解析】 【分析】

（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解

BE 即可，

（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，

（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解'

,,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案． 【详解】

解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，20

3

AD =

， 由勾股定理得：2

22025

533BD ??=+= ???．

11

,22

ABD

S

BD AE AB AD =

?=?．

25

3

20

5

3 4.

AB AD

AE

BD

?

?

∴===

在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，

由勾股定理得：BE＝3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：

由对称的性质可知，∠1＝∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3＝∠4，

∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；

②当点F′落在AD上时，

∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，

,

AB AD

⊥

∴A′B′⊥AD，

'''',

B F D B DF

∴∠=∠

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D＝B′F′＝3，

2516

3

33

BB BD B D

''

∴=-=-=，即

16

3

m=．

（3）DQ的长度分别为

2512525

31010

3243

、、或

10

3

．在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，∴∠2＝2∠Q，

∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9． 在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=

+=+=．

253103

DQ BQ BD ∴=-=-

； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ， ∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上． ∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．

在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2

'

2

2

,BF F Q BQ += 即：2

2

2

3(4),BQ BQ +-= 解得：258

BQ =

， 25251253824

DQ BD BQ ∴=-=

-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，

∴ ∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022

∴∠?

∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，1

49012

∴∠=?-

∠． 1

49012

A Q

B ∴∠'∠?∠＝＝﹣，

1

18019012

A BQ A Q

B ∴∠'?∠'∠?∠＝﹣﹣＝﹣，

∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．

在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，

25

103

DQ BD BQ ∴=-=

-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，

∴ ∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，

2510533

DQ BD BQ ∴=-=

-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243

-

-、、或10

3．

【点睛】

本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．

2．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．

（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；

（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(

)

090a α?

<

（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．

【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32

2

=． 【解析】 【分析】

（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】

（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB

（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长

MF交CB于点H

∵ME=EB，点E是AF的中点

∴四边形MFBA是平行四边形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=a

∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵点E是MB的中点

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=62∵CF=32，∴AF=32

∴CE=CF+FE=CF+1

2AF92

2

=

当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：

同理，CE=EF－CF

32

2 =

【点睛】

本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．

3．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线

上，设边A2B与CD交于点E，若161

A E

EC

=-

，求

n

m

的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

5

π；（2）

3

；（3）存在，63

+

【解析】

【分析】

（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出

∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22

2

A D

CE n

CB A B m

==，可得CE=2n

m

，由161

A E

EC

=-推出16

A C

EC

=，推出A1C=

2

6

n

m

?，推出BH=A1C=

2

6

n

m

?，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；

（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到

3

3

FG

F

FM FE

D

==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.

【详解】

解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．

∴AD=HA1=n=1，

在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠

ABA 1=30°， ∴旋转角为30°， ∵BD=22125+=， ∴D 到点D 1所经过路径的长度=3055

ππ??=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2，

∴222A D CE n

CB A B m

==， ∴2n CE m =，

∵161EA

EC =-， ∴16A C

EC =， ∴A 1C=2

6n m

?，

∴BH=A 1C=2

2

2

6n m n m

-=?，

∴4

2

2

26n m n m

-=?，

∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，

∴24

2416n n m m

-=?，

∴

3

n m =

（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；

由（2）可知，

3

BE n BG m ==

， ∵四边形BEFG 是矩形，

∴

FG FE =

∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°， ∴∠DFG=∠MFE ， ∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，

∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°， ∴∠FDG=∠FME ， ∴△FDG ∽△FME ，

∴

FG F FM FE D ==

，

∵∠DFM=90°，tan 3

FD FMD FM ∠=

=

， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，

∴FM DM =

；

在矩形ABCD 中，有

AD AB =

=3AD =， ∵MN ⊥AB ，

∴四边形ANMD 是矩形， ∴MN=AD=3，

∵∠NPM=∠DMF=30°， ∴PM=2MN=6，

∴NP=AB =， ∴DM=AN=BP=2，

∴2FM DM =

==

∴6PF PM MF =+=+ 【点睛】

本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.

4．(1)观察猜想

如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；

(2)拓展探究

将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

(3)解决问题

若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．

【答案】（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，

连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．

正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，连接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]

因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．

5．综合与实践 问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中

90,2,2ACB DCE AC CD ?∠=∠===.

观案发现

（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度； 操作证明

（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现

（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为(

)

0180αα??

<<，

DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.

（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.

【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =；（4）AD BE ⊥ 【解析】

【分析】

（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；

（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ???，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；

（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；

（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥. 【详解】 （1）

,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=?，

BE AD ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点， //,//HF AD FG BE ∴， AD BE ⊥，HF GF ∴⊥， 90HFG ∴∠=?；

（2）证明：如下图，连接AD BE ，，

由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=?， 又∵AC=BC ，

()ACD BCE SAS ∴???，

AD BE ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点，

11

,22

FH AD FG BE ∴==，

FH FG ∴=；

（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥??，，都是等腰直角三角形，

2CD =1CF DF ∴==，

2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=

31BD BF DF ∴=-=，

G 是BD 的中点，31

DG -∴=

31BD BF DF ∴=-=；

（4）AD BE ⊥.

连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，

?是等腰直角三角形，

∵ECD

∴F是ED中点，

又∵H是AE中点，

∴AD∥HF，

∵HF⊥ED，

∴AD BE

⊥.

【点睛】

本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.

6．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：

（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；

（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；

（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．

【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．

【解析】

【分析】

（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到

EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；

（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，由此可证

△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．

【详解】

（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵FA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PQ2；

（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵PA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PH2．

在Rt△PFQ中，

∵PF2+FQ2=PQ2，

∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．

（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.

7．（1）发现

如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.

填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）

（2）应用

点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE . ①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值.

（3）拓展

如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段

AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=?，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.

【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22） 【解析】 【分析】

（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出

△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】

解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，

∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ， 故答案为CB 的延长线上，a+b ； （2）①CD=BE ，

理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形， ∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ， 即∠CAD=∠EAB ， 在△CAD 与△EAB 中，

AD AB CAD EAB AC AE ??

∠∠???

＝＝＝ ， ∴△CAD ≌△EAB ， ∴CD=BE ；

②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，

由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；

（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ， 则△APN 是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=3，

∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=2AP=22，

∴最大值为22+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴2，

∴22，

∴P（22）．

【点睛】

考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

8．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．

（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时

①证明：△BFC是等腰三角形；

②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；

（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．

【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.

【解析】

【详解】

分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据

∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和

△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．

详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．

②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：

∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=1

2

BE=BF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，

∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，

又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，

∴CF=DF且CF⊥DF．

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，

∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，

又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°

=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°

=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，

而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，