解三角形及应用举例

5.5 解三角形及应用举例

一． 知识要点归纳： 掌握三角形有关的定理：

正余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccosθ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C

c

B b A a 2sin sin sin ===

利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）； 利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B

A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1

casinB

S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A

掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题． 两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 二．例题讲解：

例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理得：sinA=232

45sin 3sin =

?= b B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

22

645sin 75sin 2sin sin +=?=

B C

b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

2

2

645sin 15sin 2sin sin -=

?=

B

C

b 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．

例2：ΔABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，如果)(2c b b a +=，

求证：A ＝2B

证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2

=b （b +c ）中，得sin 2

A =sin B

（sin B +sin C ）?sin 2A －sin 2

B =sin B sin C

?22cos 1A -－2

2cos 1B

-=sin B sin （A +B ） ?

2

1

（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ?sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），

因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .

评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.

（1） 该题若用余弦定理如何解决? 解

：

利

用

余

弦

定

理

，

由

a 2=b

（b +c ），得

cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b

b c 2-，cos2B =2cos 2

B －1=2

（ac b c a 2222-+）2－1=2

2

22c

c b b c c b ）（）（++－1=b b

c 2-。所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .

（2） 该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?

解：由题设a 2

=b （b +c ），得

c b a +=a

b

，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是

DC BC =BC

AC

，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D . A B C

D

a

b c

2

1

又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2.，因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1，所以A =2B . 评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的

侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷。

例3．已知锐角ΔABC 中，5

1

)sin(,53)sin(=-=

+B A B A ，（1）求证：B A 2tan 2tan =；

（2）设AB ＝3，求AB 边上的高。

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.

（1）证明：∵sin （A +B ）=

53，sin （A －B ）=5

1， ∴??????

?

=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ?

???

????=

=?=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：

2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=5

3

. ∴tan （A +B ）=－4

3

， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－4

3.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2

B －4tan B －1=0，解得

tan B =

262±（负值舍去）.得tan B =2

6

2+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD

tan =6

23+CD .由AB =3得CD =2+6，所以

AB 边上的高为2+6.

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

例4：在ΔABC 中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边长，已知c b a ,,成等比数列，且

bc ac c a -=-22，求角A 的大小及

c

B

b sin 的值。 剖析：因给出的是a 、b 、

c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2

=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c

B

b sin 的值.

解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2

=ac .

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2

=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得

cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2

1，∴∠A =60°.

在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a

A

b sin ，

∵b 2

=ac ，∠A =60°，

∴ac

b c B b ?

=

60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，

由面积公式得

21bc sin A =2

1

ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2

sin B . ∴

c

B

b sin =sin A =23.

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

例5．在△ABC 中，已知63,3

1

cos ,3tan ===

AC C B ，求△ABC 的面积.

解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，

.2

1cos ,23sin ,60,3tan ==

∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,3

2

2cos 1sin 2=

-=C C 82

3

2

263sin sin =?==

B C b c .

.3

263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=

+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 2

1

+==

?A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得

.64,,364,3232

12

36330sin sin sin sin ,sin sin .

12030,900,60.64,64.

0108,2

1

826454,cos 222122222+=<-=>=?=?>?==<<∴<<=-=+==+-∴??-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即

故所求面积.3826sin 2

1

+==

?B ac S ABC 例6．如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过

△ABC 的中心G ，设DMGA ＝a （

23

3

π

πα≤≤

） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为a 的函数

（2）求y ＝2212

11

S S ＋的最大值与最小值

解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以 AG ＝

233323?＝，MAG ＝6

π， 由正弦定理

GM GA

sin

sin 6

6

π

π

πα＝

（－－）

得3

GM 6sin 6

π

α＝

（＋）

则S 1＝

12GM GA sin ＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6

απα（－）

（2） y ＝

221211S S ＋＝22

2144sin sin sin 66

ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot 2）， 因为

23

3π

πα≤≤

，所以当＝3

π

或＝23π时，y 取得最大值y max ＝240 当＝

2

π

时，y 取得最小值y min ＝216 三、小结：

1．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；2。利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 3．边角互化是解三角形问题常用的手段．

四．作业布置：P169基础7，8 能力7，8 高考预测2

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）

α

D

A

C

M N