氢原子的量子理论作业(含标准答案)

第26章氢原子的量子理论习题 (初稿)

一、填空题

1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=，请给出电子出现在

~r r dr +球壳内的概率为___________，电子出现在(),θ?方向立体角d Ω内的概率为

_______________。

2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理

外，还应遵循的物理规律是 __________ 。

3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值范围怎样分

别是：(1) (2) (3) (4) 。

4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目

为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为__ __个

5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律：钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __

6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有个，分别可表示为

____________________________。

7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用。

8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。

9. 在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是

________。 10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两

束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。

二、计算题

11. 如果用13.0 eV 的电子轰击处于基态的氢原子，则：（1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？

（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？

12. 写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。

13. 已知氢原子处于状态()()()()()211021 1 11,,,,22

r R r Y R r Y ψθ?θ?θ?-=

-，试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z 分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力

学量的平均值？

14. 若氢原子处于基态，求在0r a ≥区域发现电子的概率。试问：若在半径为0r 的球内发现

电子的概率为0.9，则该半径多大？

15. 证明：若氢原子处于角动量L =,z L =±h 描写的状态，则在该状态下，在45o

θ=和

135o θ=发现电子的概率最大。

16. 如果假定电子是直径为15

110

m d -=?的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的

角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。已知电子的质量是

319.10910kg -?。

17. 试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所

感受到的磁场强度？

三、问答题（4道）

18. 给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并？

19. 电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。

20. 什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别？

21. 试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云？

【参考答案】

一、填空题

1. ()2

2d ()d nl P r r R r r r =，()2

d (,)lm P Y d θθ?Ω=Ω

2. 不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理

3. (1)主量子数n ，可取1,2,3,4… (2)角量子数l ，取值范围0~(n -1) (3)磁量子数m ，

取值范围-l~+l (4)自旋量子数s ，取值范围+1/2和-1/2 4. n 2， 2l+1

5. 2262611,2,2,3,3,4s s p s p s 22621610

1,2,2,3,3,,34s p s s p s d

6. 10个， (3,2,0, ±1/2), (3,2, ±1, ±1/2), (3,2, ±2, ±1/2)

7. 电磁相互作用

8. 原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z>1 原子中有一个电

子被激发到主量子数很高的定态能级 9. n 2=4

10. 电子自旋的角动量空间取向量子化

二、计算题 11. 解：（1）假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为

()113.0eV 13.613.0eV 0.6eV E E =+=-+=-。根据氢原子能级公式

()2

20014n E e E s a n n

πε=-

= 将1E 代入可得，

4.8n =

=≈ 所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。

（2）氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子：

对于41→的跃迁，()()3487

1941 6.626103100.975101/16113.6 1.60210hc m E E λ---???=

==?--?-?? 对于42→的跃迁，()()3487

42 6.62610310 4.86101/161/413.6 1.60210hc m E E λ---???===?--?-?? 对于43→的跃迁，()()3487

1943 6.6261031018.8101/161/913.6 1.60210hc m E E λ---???=

==?--?-?? 对于31→的跃迁，()()3487

1931 6.62610310 1.03101/9113.6 1.60210hc m E E λ---???=

==?--?-?? 对于32→的跃迁，()()3487

32 6.62610310 6.56101/91/413.6 1.60210hc m E E λ---???===?--?-?? 对于21→的跃迁，()()

348

719

21 6.62610310 1.21101/4113.6 1.60210hc m E E λ---???===?--?-?? （3）要使基态氢原子电离，至少需要的电子能量为113.6eV E =。

12. 解： P 的原子序数为15，按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态内填充1

个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s 22s 22p 63s 23p 3。

1s ，2s 和3s 的6个电子0l =

0=。 2p 和3p 电子的9个电子1l

=，该轨道角动量在z

方向的投影可以为0,,m =-h h h 。

13. 解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的

混合态。

氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量

1213.6eV 3.4eV 44

E E -=

==-，其概率为1. 氢原子的角动量平方由l 决定，其表达式为()2

1l l +h ，从而该氢原子的角动量平方为

()22212L l l =+=h h ，其概率为1.

氢原子的角动量z 分量由m 决定，其表达式为m h

，从而其可能取值为：

())

212

20, 1/21/4, 23/4?==?

?-==??

h 概率为P 概率为P 平均值为z 01/43/43/4L =?-?=-h h 。

14. 解：

氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为()()0

/2/10103/2

24r a r a P r R r e e a a --===。电子处于半径为0r 球内的概率为

()()0

20010002000

221exp 2/1r r r P P r dr r a a a ??

==--+

+ ????。从而电子处在02r a ≥的概率为1减去电子处在半径为02a 球内的概率，即

()0

0020024004813

exp 4/10.24r a a a P a a a a e ≥??=-++=≈ ??

(2) 求解超越方程

()20000200221exp 2/10.9r r r a a a ??

--++= ??

?，可得002.66r a ≈

15. 证明：根据题意可知，l=2,m=1，查表可知，波函数对应的球谐函数为：

(

)2,1,cos i Y e ?θ?θθ±±= 在(),θ?对应的立体角d Ω发现电子的概率为

()()2

2222,11515,sin cos sin 2832P d Y d d d θθ?θθθππ

±Ω=Ω=

Ω=Ω 可见，当/4,3/4θππ=时有极大值。

16. 解：电子自旋的角动量的大小为/2L =h ，球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2221

510

J mR md ==，则其绕轴转动的角速度是22

/251/10L J md md ω=

==h h

表面最大的线速度是34

113115

55 6.62610/27.310m/s 249.10910110

v d md ω---??====?????h 讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。

17. 解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对

应的两个波长分别是12589.592nm,588.995nm λλ==，两个能级的产生是由于电子

自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P 能级高/低B B μ，能级差为

213489

2231121116.62610 2.99710588.995589.59210

3.4410J 2.1510eV

B E B hv hc μλλ----??

===- ?

??=????-? ???=?=?V V

又242.2710J/T 2B e

e m μ-=

=?h

从而电子受到的磁场为

()22

3.441018.6T 229.2710

B E B μ--?===??V 三、问答题

18. 氢原子中，电子处在原子核的有心力场内作三维运动，根据求解该薛定谔方程，可以得

到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解：（1）氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n ；（2）氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数l ；

（3）电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数m 。

能级简并是指对于任意能量E n ，有一个主量子数n ，但（n,l,m ）的组合总计有n 2个，相应的有n 2个波函数，它描述了电子处于同一能级E n 时的n 2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量E n ，这种情况称为能级的简并。

19. 案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。案例二：碱金属原子光谱

中的双线精细结构。 20. 全同粒子是指静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子。

玻色子的自旋是h 的整数倍，遵循玻色爱因斯坦统计分布规律，全同波色粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的。如介子 ( s = 0)，光子 (s = 1) 等。

费米子的自旋是h 的半奇数倍，遵循费米狄拉克分布规律，全同费米粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的。如电子，质子，中子等。

21. 对于基态氢原子（n=1），电子波函数为(

)()10010r r ψ=，从而电子在核外的任

意~r r dr +的球层出现的概率密度由()0

2/2321001/r a P r dr R r dr a e

r dr π-==决定，

理论上讲电子可出现在核外空间任意位置，但只有当10 5.29nm r a ==时，其概率最大，即基态氢原子在半径为1r 的球壳出现的机会最多。这正好对应于波尔量子理论中n=1的

容许轨道。

电子云就是电子在原子核外空间的概率分布图像，电子云浓密的地方，表示电子出现的机会越多；反之，表示电子出现的机会较小。它并不能表示电子的运动状态。

量子力学作业习题

第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc

量子力学答案完整版周世勋第三版

找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ?? ? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 第一章绪论

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第二十一章原子的量子理论

第二十一章原子的量子理论 1897年，J.J.汤姆孙发现电子(1906奖)并确认电子是原子的组成部分 1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖 1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖) 1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖) §21－1 玻尔的氢原子模型一．玻尔理论的实验基础 1．原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动； 2．氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： ???++=-=,m ,m n ,)n m (R ~211 122ν 17100967761-?=m .R 1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系； ② 里兹并合原理 )n (T )m (T ~-=ν 式中：)n (T ),m (T 称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。二．经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1．光谱连续 2．原子不可能是稳定的系统；与事实不符！三．玻尔理论 1．基本思想： ① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中

2．玻尔的三条假设 ① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态） ② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件 ,,,n ,nh h n L 3212==? =π ③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足 m n E E h -=ν 3．讨论： ① 轨道量子化,稳定轨道半径公式 ,,,n ,mZe n h r n 3212 2 20==πε 对氢原子，Z ＝1 ,,,n ,me n h r n 3212 220==πε nm .r ,n 0529011== )nm (n .r n r n 21205290== ② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式） ,,,n ,n h me E n 3211 822 2 04=? - =ε eV .E ,n 61311-== eV n .n E E n 221613-== 能级：量子化的能量状态（数值） ③ 氢原子光谱 h E E m n -= ν ④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同 02 1122 1== --=-= ∞ →-n )n (n E E E E E n n n n n n ?

量子力学作业答案

第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5

如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件为 ?=nh pdq 其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有 2 22 12kx p E +=μ 这样，便有 )2 1(22kx E p - ±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据 221 kx E = 可解出 k E x 2± =± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有 ?? -+ + - =--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )2 1 (2)()21(222μμ

第十三章量子力学基础2作业答案

(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。图 19-6