解析几何经典例题

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。

一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从

的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知故

在中，

则点M的轨迹方程为。

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上，

延长F1M交PF2的延长线于N，

则，

即

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用

例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，

求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。

四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用

例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）

图4

②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线

D. 抛物线

解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，

而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|

即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝

故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点

长轴长为2的椭圆。应选B。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。

五、椭圆与双曲线定义的综合运用

例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

图5

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|， 即 故P 的轨迹为A （－7，0）、B （7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，

其方程为；

②经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q 的轨迹为以A （－7，0）、B （7，0）为焦点

长轴长为28的椭圆，其方程为。

［练习］

1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，

为其顶点，若P 为两曲线

的公共点，且

，则e ＝__________。

答案：

2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。

答案：

圆锥曲线中的方法与运算

1. (与名师对话第51练) 已知抛物线

221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线

l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.

分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.

我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为

(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,

则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,

y x m k

y x ?=-+???=-?

可得,2

2210y y kb +-+=

.

∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴

244(21)0,k kb =--+>即 2120k kb -+>.

设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则12

02

y y y k +=

=-, ∴ 212

(

)()2

y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2

(2)k k

km +-, 由 0k ≠可得,

21k m k

-=

,

∴ 2

12k k -+2

1k k

-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<. 综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.

2. (与名师对话第51练)已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线2

2x y =交于,A B 两点,

O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:11

22

OP OA OB =

+. （1）求点P 的轨迹C 的方程;

（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的

距离为a ,求a 的取值范围.

分析：由11

22

OP

OA OB =+可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹. 解(1) 显然直线

l

的斜率存在,设为

k

,则直线

l

的方程为:

1y k x =-（）,由方程组

2

12y k x x y =-??=?（），，消去y 整理得2

220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,

∴

12

2

p x x x k +=

=,

21p y k k k k =-=-（）, 消去k

得点

P

的轨迹C 的轨迹方程为:

2y x x =-.

∵ 2

480k

k ->, ∴ 0k <或2k >,

∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.

分析: 点

A 到y 轴的距离为a 就是点

A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以

λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.

解(2): 设1122(,)

,(,)A x y B x y ,

则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -], ∴2

11(1)x x λ-=-,21y y λ= ,

∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--=

∵ 1λ

≠,

∴ 2

11210x x λλλ-+-=,

方法(一

) 1

212x λλ±=

=±3λ

>),

∴

11(3)a

x λ==>,

∴ a

∈(13

-

(1,13

?+. 方法(二)

211

(1)x λ

-=, (3λ>),

∴ 1

103λ

<

<

, 0<2

1(1)x -13<, ∴ 11x ≠

且11133

x -<<+ ∴ a

∈(13

-(1,13

?+.

3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为2

2x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角

为θ(0<θ<

2

π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-. （1）求m 的值;

（2）若点M 分

AB 所成的比为λ,求λ关于θ

的函数关系式.

分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M

(0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<

2

π)的直线的方程为

y kx m =+.

由方程组2

2y kx m x py =+??=?，，

消去y 整理得2

220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,

∵ 212

x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2

p m =

. 分析: 由2p

m

=

可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<

2

π)的直线为

2

p

y kx =+

.先建立关于

k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,

∴ AM MB λ=, 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p p x y x y λ-=-, 1212,

(),22

x x p p y y λλ=-??

?-=-??

由(1)可知212

122,x x pk x x p +==-,

由方程组1212212

,

2,,x x x x pk x x p λ?=-?+=??=-?可消去12,,x x p 得,22

2(21)10k λλ-++=.

∵ 0<θ<

2

π

, ∴ 1λ<,

故2

212k λ=+-

22

2(1sin )2tan 12tan cos θθθ

-+-==

1sin 1sin θ

θ-+.

4. (与名师对话第51练) 已知方向向量为(1,

3)v =的直线l 过点(0,-2)和椭圆

C:22

221x y a b

+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM

ON ?=

cot MON ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.

6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为

22

1189

x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.

(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;

(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G

的坐

标.

解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知

,F(-)

则11333

x y

x

y -=

=，, ∴ 1333x x y =+=1，y ,

∴

OFM 的重心G 的轨迹方程为2

2112

x y ++=（）

(0y ≠).

(2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆

2

2112

x y ++=（）

的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆

2

2112

x y ++=（）

的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大. 方法(一) 用椭圆的定义

设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =2

2.

在MOP ?中,

2

12

2

2212r r OP r r OGP COS -+=

∠=2

12

22124r r r r -+=

2121221224)(r r r r r r --+

=2

1212224)22(r r r r --=214

2r r +-≥4

)(42221r r ++

- (当且仅当21

r r =时,等于号成立)

=0

∴ 当21

r r =,即点

M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为0

90,这时点M 的坐标为

(-1,1)、（-1，-1）.

方法(二) 用椭圆的焦半径公式

将椭圆

2

2

112

x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP

∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(

00

x y ，),

则

22

00124

cos x x F PF +-∠=））=220002011[02]12122222x x x x =?∈--2，（） 当0

0x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2002]x ∈（，时, 12cos 01]F PF ∠∈

（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为090,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置

相应点P 的坐标为(-1,±1).

7.

(与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线

22

123

x y -=的两个焦点12F F ，的距 离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19

-. (1) 求动点P 的轨迹方程;

(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=,求实

数λ的取值范围

;

(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MD DN =,求直线

MN 的方程.

分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

22

123

x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.

解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

22

123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,设其方程为22

221x y a b

+= (0a b >>).

可以证明(仿例6)当动点

P

在椭圆的短轴的端点时

12

cos F PF ∠的值最小,这时

21222

22010cos 12a F PF a a

-∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =. ∴ 2

4b =, ∴ 动点P 的轨迹方程为22

194

x y +=. 分析: 由DM

DN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线

MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为

3,y kx =+这时要

k 作讨论),也可以用t 表44z 示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).

下面用直线方程

3y kx =+求解.

解法(一): 由DM DN λ=可知, 点,,D M N 共线.

若直线MN 的斜率不存在,则1

55

λ

λ==或. 若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组22

3,

4936,y kx x y =+??+=?可得,

22(94)54450k x kx +++=,

设1122(,),(,)M x y N x y ,则12

12

225445

,9494

k x x x x k k -+=

=++. 又由DM

DN λ=可得, 12x x λ=,

∴ 12

225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λ

λ=++24594

k +

∴

2(1)λ

λ=+22259454(9)324

324k k k +?=?+. ∵ 2

2(54)

445(94)0k k ?=-?+≥, ∴ 25

9

k ≥

. ∴

2

51

36(1)4

λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述,

1

55

λ≤≤. 分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DM

DN λ=可知, 点,,D M N 共线.

设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,22

22194

x y +=. ∵ DM

DN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,

∴

22

2

22(33)194

x y λλλ-++=,

222222294x y λλλ+=. ∴

22(33)4y λλ-+-22

2214

y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-, ∴ 1λ

=或

23(233)14y λλλ-+=+, 2135

22,06y λλλ

--≤=≤>解得155λ≤≤.

8. 抛物线C 的方程为

2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P

x y （，） (00x ≠)作斜率 为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足

210k k λλλ+=≠≠（0且-1）

. (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM

的中点在

y 轴上;

(3)当1λ

=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.

分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为

21

(0)x y a a

=

<, 故抛物线C 的焦点坐标为(104a

，

),准线方程为

14y a

=-

. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.

解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:

100y k x x y =-+（）,由方程组1002

y k x x y y ax =-+??=?（）

，，

可得,2

11000ax

k x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=,

∴ 11

0k x x a =

-, 同理 220k

x x a

=-, ∵ BM MA λ=, ∴ 21M M x x x x λ-=-（）

, 12

1M x x x λλ

+=+=

12001k k

x x a a λλ

-+-+（

）（）

∵ 2

10k k λλλ+=≠≠（0且-1）

, ∴ M x =-0x , ∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上.

分析:

解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为

2

y x =-,

111x k =-+（）

,又1λ=,故211x k =-,

∴

21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））

∴

1124AB k k =（，）,211122AP k k k =++（，）

, ∵

PAB

∠为钝角,

P A B

、、三点各不相同, ∴

0,

AP AB ?<即有

1124k k ?（，）211122k k k ++（，）

0<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++< ∴ 111

202

k k <--

<<或, ∴ 211(1)y k =+, 111

202

k k <--

<<或, ∴

111114

y y <--<<-

或. 9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,

一条经过点3（且方向向量为25a =-（，的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又

2AM MB =.

(1) 求直线l 的方程;

(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l

的方程为

3y x =--）分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式, 向量等式

2AM MB =可以转化为一个关于a b ，的等式.

解(2):

由方程组2222223,

y x b x a y a b ?=-???+=?

）

可得222

2222405b a y y b a b ++-=（）. 设设1122(,),(,)A x y B x y ,

则222

12122222455

b a b y y y y b a b a -+==

++，. 由

2AM MB =可知, 122y y = ,

∴

1225y b a =+

222

5

y b a =+∴ 2

222

325

45b b a =

+（）222

2245b a b b a -+,

∴ 2

22

2

51409a a b a -=

>-（）

∵

22222224

()4()()055

b b a b a b =-

-+->, ∴ 22545a b +>,

∴ 2

2

2225(1)0,9545,

a a a a

b ?->?-??+>? ∴ 22222

225(1)

0,95(1)55,9a a a a a a a ?->??-?-?+>?-?

219a <<.

∵ 22,b a < ∴ 2

22

2

2

51449a a b a a

-=<-（）, ∴ 22419

9a a <>或, ∴ 24119a <

<

, 1a << ∴

22a <<

,即椭圆C 的长轴长的取值范围为. 10.自点

(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线

段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点. (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明()PQ AB

R λλ=∈.

解(1): 设切点B

的坐标为

00(,)

x y ,过点B 的切线的方程为

20002()y x x x x =-+,

∵ 切线过点

(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =,

∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,

∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1).

分析: 即证明

AB ∥PQ .

(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点

M

的坐标为

1

(,0)2

,设直线l 的方程为

1

()2

y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x .

由方程组21(),2,

y k x y x ?

=-?

??=?

可得2102x m x m -+=, 故12121,2x x m x x m +==.

2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+.

∵ A,E,P 三点共线, ∴ 233

1x x +=2111

x x +,131x x = , 同理241x x =,

∴ 21211111(

)(1,)PQ x x x x =-+=12121212122()(1,)(1,2)x x

x x x x x x x x m

-+-= 由

(1,2)AB =可知, 122()

()x x PQ AB R m

λλ-==

∈其中.

11. 设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双

曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有

2

OP OQ OR

=?(O 为坐标原点);

(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.

(1) 证明: 设直线OP 的方程为

y kx =, 直线

AR 的方程为

()b

y x a a

=

-, AQ 的方程为

()b

y x a a

=--.

由方程组(),,b y x a a

y kx ?=-?

??=?

得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak

b ----,

同理OQ =(

,)ab kab

ak b ak b

++,

∴

OQ OR

?=

(,)ab kab ak b ak b ----?(,)ab kab ak b ak b

----=222222

(1)

a b k a k b +-.

设(,)P m n ,

由方程组22

221,,x y a b y kx ?-=???=?

得2m =22222

a b b a k -,2

n =222222

k a b b a k -

∴ 2

OP =222222

(1)

a b k b a k

+-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2

22

0b

a k ->, ∴ 2

OP OQ OR

=?.

(2) 解: 由题设知,

222222

(1)a b k b a k +-=4ab , 22

2

40,4b ab k ab a -=>+

又22

2

b k a

<, ∴ 22

44b ab ab a

-+2

2b a <, (恒成立))

解得4a b <,

∴ e >

圆锥曲线的一个统一性质

———由一道高考题引发出的思考

题（2001年全国·理）：

设抛物线y 2=2px （p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。证明：直线AC 经过原点O 。

参考答案给出了如下的几何证法：

证明：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ， 过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． 连结AC ，与EF 相交手点N ，则

|

||

|||||,||||||||||||AB AF BC NF AB BF AC CN AD EN ===

根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC |

|,||

||

|||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =?=?=

∴

即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合， 所以直线AC 经过原点O ．