上海市松江区2022中考数学一模附答案

2022届松江区中考数学一模附答案

一、选择题

1. 已知sin 2

α=

，那么锐角α的度数是（ ） A . 30°

B . 45°

C . 60°

D . 75°

【答案】C

2. 已知在Rt ABC 中，∠C =90°，AB =c ，AC =b ，那么下列结论一定成立的是（ ） A. ctan b A = B. cot b c A = C. sin b c A = D. cos b c A = 【答案】D

3. 已知二次函数()2

0y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ）

A. 0,0b c >>

B.0,0b c ><

C. 0,0b c <>

D. 0,0b c <<

【答案】D

4. 已知2a b =，那么下列判断错误的是（ ）

A . 20a b -=

B . 1

2

b a =

C . 2a b =

D . a //b

【答案】A

5. 如图，已知点G 是ABC 的重心，那么:BCG

ABC

S

S

等于（ ）

A . 1:2

B . 1:3

C . 2:3

D . 2:5

【答案】B

6. 下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似

②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ③底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ④腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

【答案】C 二、填空题

7. 已知

2x y =，那么22x y x y -=+____________ 【答案】

34

8. 把抛物线2

1y x =+向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是____________ 【答案】()2

11y x =-+

9. 已知两个相似三角形面积的比是4:9，那么这两个三角形周长的比是____________ 【答案】2:3

10. 已知线段AB =8，P 是AB 的黄金分割点，且PA >PB ，那么PA 的长是____________

【答案】4

11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（2,3），那么直线OA 与x 轴夹角的正切值是____________ 【答案】

3

2

12. 如果一个二次函数图像的对称轴是直线2x =，且沿着x 轴正方向看，图像在对称轴左侧部分是上升的，

请写出一个符合条件的函数解析式：____________ 【答案】()2

2y x =--

13. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为

2125

1233

y x x =-

++，那么铅球运行过程中最高点离地面的高度是____________ 【答案】3

14. 如图，码头A 在码头B 的正东方向，它们之间的距离为10海里，一货船由码头A 出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C 处，此时测得码头B 在南偏西60°方向，那么码头A 与小岛C 的距离是____________海里（结果保留根号）

【答案】

15. 如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2CD ，设,AB a AD b ==，那么AE 可以用,a b 表示为____________

【答案】1233

a b +

【解析】1122DC AB a =

=，12AC AD DC a b ∴=+=+，212333

AE AC a b ==+ 16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE ，光线与地面所成的

角 （如∠BEC ）的正切值是

1

2

，那么窗口的高AB 等于____________米

【答案】2

17. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形，如图，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =1，BC =2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF //BC ，如果四边形AEFD 与四边形EBCF 相似，那么

AE

EB

的值是____________

【答案】

2

【解析】因为梯形AEFD 梯形EBCF ，AD EF AE BF BC EB ∴==，2

12AE AD EF EB EP BC ⎛⎫

∴=⋅= ⎪⎝⎭

，2AE EB ∴= 18. 如图，已知矩形ABCD 中，AD =3，AB =5，E 是边DC 上一点，将ADE 绕点A 顺时针旋转得到''AD E ，

使得点D 的对应点'D 落在AE 上，如果''D E 的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于____________

【答案】

94

【解析】如图 2，在Rt ABD '

中，3,5AD AB '

==，所以3sin 15∠=

，所以3tan 14

∠=， 根据同角的余角相等，可得21∠=∠，在Rt ADE 中，3AD =，所以39

tan 1344

DE AD =⋅∠=⨯

=.

三、解答题

19. 已知一个二次函数图像的顶点为（1,0），与y 轴的交点为（0,1）. （1）求这个二次函数的解析式；

（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图像.

【解析】（1）2

(1)y a x =-代入(0,1)-，得2

21y x x =-+

（2）图略 20. 如图，已知平行四边形ABCD 中，G 是AB 延长线上一点，联结DG ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，且AE :EC =3:2. （1）如果AB =10，求BG 的长； （2）求EF

FG

的值.

【解析】(1)因为10AB CD ==，所以2

3

CD CE AG AE ==，15.5AG BG ∴==. (2)作EH

AG ，由（1）可知，,2BG a AB a ==，

所以

24

..55

EH CE EH a DB CA ==∴= 4

45.5

a

EF EH FG BG a ∴===

21. 如图，已知ABC 中，AB =AC =12，3

cos 4

B =，AP AB ⊥，交B

C 于点P . （1）求CP 的长；

（2）求∠PAC 的正弦值.

【解析】（1）31294BG CG ==⋅

=，4

18,16.3

BC BP AB ==⋅= 2CP BC BP ∴=-=

（2）解PAC ，作PH AC ⊥

，342

AP AB PH PC =⋅==⋅=， 1

sin .8

PH PAC PP ∴∠=

= 22. 某货站沿斜坡AB 将货物传送到平台BC ，一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B 时的

平面示意图如图所示，已知斜坡AB 的坡度为1:2.4，点B 到地面的距离BE =1.5米，正方体木箱的棱长BF =0.65米，求点F 到地面的距离

【解析】作FG CB ⊥，所以15tan 2.412

BAE ∠=

=. 所以12

.63

5,01.6BF a BG BF ==⋅

=，0.6 1.5 2.1GE ∴=+=米 23. 已知：如图，梯形ABCD 中，DC //AB ，AC AB =，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E . （1）如果∠DEC =∠BEC ，求证：2CE ED CB =⋅；

G

（2）如果2AD AE AC =⋅，求证：AD BC =.

【解析】（1）因为,DE BC DC AB ，所以,DEC BCE DCE BAC ∠=∠∠=∠ 因为AC AB =，所以ABC BCE ∠=∠

因为180ABC BCE BAC ∠+∠+∠=，180DEC DCE EDC ∠+∠+∠=， 所以ACB CDE ∠=∠

又因为DEC BEC ∠=∠，所以DEC

CEB ，所以

DE CE

CE EB

= 即2

CE ED BE =⋅，因为BE BE =，所以2CE ED CB =⋅； （2）顺证：因为2

AD AE AC =⋅，所以DAE

CAD ，所以

.AD DE

AC CD

= 又因为ACB CDE ，CB AC CB ED

ED CD AC CD

⇒∴

== 所以AD BC =.

24. 已知直线223y x =-

+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线22

3

y x bx c =-++经过A 、B 两点. （1）求这条抛物线的表达式；

（2）直线x t =与该抛物线交于点C ，与线段AB 交于点D （点D 与点A 、B 不重合），与x 轴交于点E ，联

结AC 、BC . ①当

DE AE

CD OE

=

时，求t 的值； ②当CD 平分∠ACB 时，求ABC 的面积.

【解析】(1) 由2

23

y x =-

+，得(0,2),(3,0)B A .

设抛物线的交点式为()22(3)3y x x x =-

--，代入点(0,2)B ，得()22

2(3)3

x =-⨯--. 解得21x =-，所以2224

(3)(1)2333

y x x x x =-

-+=-++. (2) ①如图2，已知22(t,0),,(3)(1),,(3)33E C t t t D t t ⎛

⎫⎛⎫-

-+-- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

. 当DE AE CD OE =时，DE AE CE AO =，所以2

(3)

3323(3)(1)3

t t t t ---=

--+. 解得2t =，或0t =(舍去).

②已知2(t,0),,(3),(,)3E D t t C t y ⎛⎫

-

- ⎪⎝⎭

，其中2224(3)(1)2333y x x x =--+=-++. 如图3，作CH y ⊥轴于H ，那么BCD CBH ∠=∠.

当CD 平分ACB ∠时，BCD ACD ∠=∠，所以ACD CBH ∠=∠. 在Rt ACE 和Rt CBH 中，由tan tan ACD CBH ∠=∠，得

AE CH

CE BH

=. 所以

232

24(3)(1)3

33

t t t t x -=

--+-+，化简，得

1112t t -=+-，解得1

2

t =. 此时1515,,,2322D C ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以56CD =.

所以11

55

32264

ABC ACD BCD

S

S

S

CD AO =+=⋅=⨯⨯=.

25. 如图，已知ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =4，D 是边AB 上一点（与点A 、B 不重合），DE 平分 ∠CDB ，交边BC 于点E ，EF CD ⊥，垂足为点F . （1）当DE BC ⊥时，求DE 的长；

（2）当CEF 与ABC 相似时，求∠CDE 的正切值；

（3）如果BDE 的面积是DEF 面积的2倍，求这时AD 的长.

【解析】(1) 如图2，在Rt ABC 中，6,4AB BC ==，所以2

cos ,3

B A

C =

=当DE BC ⊥时，由12,DE DE ∠=∠=，得DCE DBE ≅，所以E 是BC 的中点.

又因为//DE AC ，所以D 是AB 的中点，所以DE 是BAC 的中位线，所以1

2

DE AC ==(2) 如图3，以FCE ∠为分类标准，分两种情况讨论CEF 与ABC 相似. ①当FCE B ∠=∠时，DC DB =.

已知DE 平分CDB ∠，根据“三线合一”，可知DE 垂直平分BC . 所以DE 是BAC 的中位线，所以CDE BDE A ∠=∠=∠.

所以tan tan

5

BC CDE A AC ∠=∠=

==

.

②如图4，当FCE A ∠=∠时，90FCE B A B ︒

∠+∠=∠+∠=，所以90CDB ∠=.

因为DE 平分CDB ∠，所以45CDE BDE ︒

∠=∠=，所以tan 1CDE ∠=. (3) 如图5，作EH DB ⊥于H .

因为DE 平分CDB ∠，所以EF EH =，所以EFD 和BDF 是等高三角形. 如果BDE 的面积是DEF 面积的2倍，那么2BD DF =. 由DEF DEH ≅，得DF DH =.

所以22BD DF DH ==，所以EH 垂直平分BD ，所以EB ED =. 于是可得12B ∠=∠=∠. 在Rt BEH 中，2

cos 3

B =

，设2,3BH m BE m ==. 所以 3,24,43ED m BD BH m CE CB BE m ====-=-. 如图6，因为,1DCE BCD B ∠=∠∠=∠，所以~DCE BCD .

所以

CE CD DE CD CB BD ==，所以4333

444

m CD m CD m -===. 解得73,12CD m ==

，所以711

64123

AD AB BD =-=-⨯

=.