线性规划的对偶理论与灵敏度分析

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析

主要内容 对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 讲授重点 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授方式

讲授式、启发式

本章知识结构图

第一节 线性规划的对偶问 题

一、对偶问题的提出

首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。

例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP 1) max z ＝2x l +x 2

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+≤+≤0,5242615

52121212x x x x x x x

现从另一角度提出问题。假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源.显然美佳公司愿出让自己资源的条件是,出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利.设分别用y 1、y 2、和y 3代表单位时间(h ）设备A 、设备B 和调试工序的出让代价。因美佳公司用6小时设备A 和1小时调试可生产一件家电I ，盈利2元；用5小时设备A,2小时设备B 及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。由此y1，y2，y3的取值应满足 6y 2+y 3≥2

5y 1+2y 2+y 3≥1 （2。1) 又另一公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，故有

min z ＝15y 1+24y 2+5y 3 （2。2） 显然y i ≥0(i ＝l ，2，3），再综合（2。1)，(2。2)式有。

(LP 2) min ω＝15y 1+24y 2+5y 3

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥+0,,125263212132y y y y y y y

上述LP 1和LP 2是两个线性规划问题,通常称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。 二、对称形式下对偶问题的一般形式

定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大时均取“≤"号，当目标函数求极小时均取“≥”号’.

对称形式下线性规划原问题的一般形式为:

max z=c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≤+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++),,1(022112222212111212111n j x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m

n mn m m n n n n

（2.3)

用y i （i=1，…,m ）代表第i 种资源的估价，则其对偶问题的一般形式为：

min w=b 1y 1+b 2y 2+…+b m y m

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥≥+⋅⋅⋅++⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++),,1(0221

12222212111212111m i y c

y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a y i n

m mn n n m m m m (2。4)

用矩阵形式表示,对称形式的线形规划问题的原问题为：

max z=CX

⎩⎨

⎧≥≤0X b AX （2。5）

其对偶问题为：

min w=Y ’b

⎩

⎨

⎧≥≥0'Y C Y A

将上述对称形式下线性规划的原问题与对偶问题进行比较,可以列出如表2—1所示的对应关系。

上述对偶问题中令'

ω= ω-，可改写为 max '

ω=-Y ’b

⎩⎨

⎧≥-≤-0''Y C Y A

如将其作为原问题，并按表2—1所列对应关系写出它的对偶问题则有

⎩⎨

⎧≥-≥--=0min 'X b

AX CX

z

再令z z -='

则上式可改写为：

⎩⎨

⎧≥-≥--=0min X b AX CX

z

可见对偶问题的对偶即原问题。

三、非对称形式的原-对偶问题关系

因为并非所有线性规划问题具有对称形式，故下面讨论一般情况下线性规划问题如何写出其对偶问题。考虑下面的例子。

例2 写出下述线性规划问题的对偶问题

32134m ax x x x z ++=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥=++≥+-≤-+无约束3221321321321,0,041632532x x x x x x x x x x x x

思路是先将其转换成对称形式，再按表2-1的对应关系来写。

下面将对称或不对称线性规划原问题同对偶问题的对应关系，统一归纳为表2-2所示形式。

第二节 对偶问题的基本性质

本节的讨论先假定原问题及对偶问题为对称形式线性规划问题，即原问题为：

⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=∑∑==),,1(0),,1(max 1

1n j x m i b x a x c z j

m

j i j ij n

j j

i (2.9)

其对偶问题为:

⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=∑∑==),,1(0),,1(min 1

1

n j x m i c x a x b w j

m

i j i ij m

i i

i （2.10） 然后说明对偶问题的基本性质在非对称形式时也适用。

为本节讨论及后面讲述的需要,这里先介绍有关单纯形法计算的矩阵描述.

一、单纯形法计算的矩阵描述

对称形式线性规划问题(2.9)的矩阵表达式加上松弛变量后为：

⎩

⎨

⎧≥≥=++=0

,00max s s s

X X b IX AX X Cx z （2.11）

上式中X s 为松弛变量,X s =( x n+1,x n+2，…，x n+m ),I 为m ×m

单位矩阵。

单纯形法计算时，总选取I 为初始基,对应基变量为X s 。设迭代若干步后,基变量为X B ，X B 在初始单纯形表中的系数矩阵为B 。将B 在初始单纯形表中单独列出，而A 中去掉后的若干列后剩下的列组成矩阵N ，这样(2.11）的初始单纯形表可列成如表2-3的形式。

B B 纯形法的迭代是对约束增广矩阵进行的行的初等变换,对应X s 的系数矩阵在新表中应为

B -1

.故当基变量为X B 时,新的单纯形表具有表2—4形式.

B 数矩阵为B ,则有：

(1)对应初始单纯形表中的单位矩阵I ，迭代后的单纯形表中为1

-B ；

(2)初始单纯形表中基变量

s X ＝b ，，迭代后的表中B X ＝1-B b ，，

（3)初始单纯形表中约束系数矩阵为［1

-B A ，1

-B I]＝［1

-B B ，1

-B N,1

-B

I]，迭

代后的表中约束系数矩阵为[1

-B A ，1

-B I]＝[1

-B

B ，1

-B

N,1

-B

I ］＝[I ，1

-B

N ，

1-B ］。

(4）若初始矩阵中变量

j

x 的系数向量为

j

P 迭代后为

'

j P ,则有

j

j P B P 1'-= （2.13）

（5）当B 为最优解时,在表2—4中应有

01

≤--N B C C B N （2。14）

01≤--B C B （2。15）

因 B x 的检验数可写为

0=⋅-I C C B B (2。16）

故（2.14)～（2.16） 式可重写为

01

≤--A B C C B （2.17）

01

≤--B C B (2。18） 1-B C B 称为单纯乘子，若令1'-=B C Y B 则(2.17)、(2。18)式可改写为

⎩⎨

⎧≥≥0''Y C Y A (2.19）

看出这时检验数行，若取其相反数恰好是其对偶问题的一个可行解。将这个解代入对偶问题的目标函数值，有

z b B C b Y B ===-1

'ω (2.20）

由(2。20)式看出,当原问题为最优解时，这时对偶问题为可行解，且两者具有相同的目

标函数值.根据下一节讲述的对偶问题的基本性质,将看到这时对偶问题的解也为最优解。

下面通过例子说明两个问题的变量及解之间的对应关系,见例3。

例3 本章例1中列出了两个互为对偶的线性规划问题，两者分别加上松弛和剩余变量后为：

543210002m ax x x x x x z ++++=

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥-≤''+'-'+-≤++=++=+')5,,1(04

4

24261553

32152142132 j x x x x x x x x x x x x x j

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=-++=-+++++=)5,,1(0125260052415min 53214325

4321 i y y y y y y y y x x y y y i

ω

用单纯形法和两阶段法求得两个问题的最终单纯形表分别见表2—5和表2—6。

从表2-5和表2-6，可以清楚看出两个问题变量之间的对应关系。

此处分析解的对应关系，并指出:只需求解其中一个问题，从最优解的单纯形表中能得到另一个问题的最优解。

二、对偶问题的基本性质

1.弱对偶性。如果)

,,1(n j x j =是原问题的可行解，

)

,,1(m i y j =是其对偶问题

的可行解,则恒有

∑∑==≤n

j m

i i

i j j

y b x c

11

证明：由目标和约束不等式易得. 由弱对偶性，可得出以下推论:

（1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。

(2）如原问题有可行解且目标函数值无界(具有无界解)，则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题无可行解（注意:本点性质的逆不成立，当对偶问题无可行解时，其原问题或具有无界解或无可行解，反之亦然）。 （3)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解,则对偶问题的目标函数值无界。

2.最优性。如果),,1(ˆn j x

j =是原问题的可行解，

),,1(ˆm i y i =是其对偶问题的

可行解，且有

∑∑===n

j m

i i i j j

y b x

c

1

1

ˆˆ

则

),,1(ˆn j x j =是原问题的最优解，),,1(ˆm i y

i =是对偶问题的最优解。

3.强对偶性(或称对偶定理）.若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。

证 由于两者均有可行解，根据弱对偶性的推论(1),对原问题的目标函数值具有上界，对偶问题的目标函数值具有下界；因此两者均具有最优解.又由本节的公式（2.19）和(2。20)知，当原问题为最优解时，其对偶问题的解为可行解，且有ω=z ，由最优性知，这时两者的解均为最优解。 4.互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式;反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零.也即

若 0ˆ≥i y ， 则有∑==n

j i j ij b x

a 1

ˆ, 即

0ˆ=si x

若

∑=

j j j

b x

c

1

ˆ ,即

0ˆ>si x ，则有0ˆ=i y

因此一定有0ˆˆ=⋅i si y x

证 由弱对偶性知

∑∑∑∑===-≤≤n

j m

i i i m i n j i j ij j j

y b y x a x

c

1

1

11

ˆˆˆˆ （2.21)

又根据最优性∑∑===n

j m

i i i j j

y b x

c

1

1

ˆˆ，故（2。21）式中应全为等式。由（2。21)式右端等式得

0ˆ]ˆ[1

1

=-∑∑==n

j i i j ij

m

i y b x

a

（2.22）

因 0ˆ≥i y 0ˆ1

≤-∑=n

j i j ij b x

a ，（2.22)对所有m i ,,1 =有

0ˆ]ˆ[1

=-∑=n

j i i j ij y b x

a 由此当

0ˆ>i y 时,必有

0ˆ1

=-∑=n

j i j ij

b x

a

当0ˆ1<-∑=n

j i j ij

b x

a

时，必有0ˆ=i y

将互补松弛性质应用于其对偶问题时可以这样叙述：

如果有

0ˆ>j x

，则

j n

j j ij

c y

a

=∑=1

ˆ

如果有，j n

j j ij

c y

a

>∑=1ˆ， 则0ˆ=j x

其证明方法同上述.

上述针对对称形式证明的对偶问题的性质,同样适用于非对称形式。如本章例2中，又

T

X )2,0,2(0

=是原问题的可行解，T

Y )829

,0,81(0=是其对偶问题可行解，由弱对偶性一

定有4/598'

00=<=b Y CX .因两者均具有可行解，因而原问题和对偶问题均存在最优解。

又在该例中T X )4,0,0(1=，T Y )3,0,0(1=分别是两个问题的可行解,且b Y CX '1112==，故1X ，1Y 分别是两个问题的最优解.又将

)4,0,0(1=X 代入例2原问题的约束条件，因约束（2.7a)（2。7b)取严格不等式,故根据互补松弛性有,0,021==y y ，将其代入对偶问题

3

3=y T

Y )3,0,0(1= 第三节 影子价格

从上节对偶问题的基本性质看出,当线性规划原问题求得最优解*j

x （j=1，…，n)时,

其对偶问题也得到最优解y i ＊

(i=1，…，m ），且代入各自的目标函数后有

,

11**

*

∑∑====n j m

i i i j

j y b x c z （2。23) 式中b i ，是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表第i 种资源的拥有量,对偶变量y i ＊

的意义代表在资源最优利用条件下对单位第i 种资源的估价.这种估价不是资源的市场价格,而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价,为区别起见，称为影子价格（shadow price ）。

1。资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变.

2.影子价格是一种边际价格,在(2.23)式中对z 求b i 的偏导数得**

i i y b z =∂∂.这说明，

*

i y 的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下,b i 每增加一个单位时目标函数z 的增量。

图2—1

图2—1为例1用图解法求解时的情形，图中阴影线部分标出了问题的可行域，点(7/2，

3/2）是最优解,代入目标函数得

21

8

=z 。如果例1中的第②个约束条件右端项增加l,变为6x 1+2x 2≤25,可行域边界线②将移至②'

，代入目标函数得

438=z ,说明第2种资源的边际价格为l ／4.又如第③个约束条件右端项增加1，可行域的边界线③将移至③’,代入目标函数

得z=9，说明第3种资源的边际价格为1/2。

3。资源的影子价格实际上又是一种机会成本.在纯市场经济条件下,当第2种资源的市场价格低于1／4时，可以买进这种资源;相反当市场价格高于影子价格时，就会卖出这种资源。随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。

4.在上一节对偶问题的互补松弛性质中有

∑=

j i j ij

b x

a

1

ˆ时，

0ˆ=i y ；当0ˆ>i y 时,有

∑==n

j i j ij

b x

a

1

ˆ，这表明生产过程中如果某种资源b i 未得到充分利用时，该种资源的影子价

格为零；又当资源的影子价格不为零时,表明该种资源在生产中已耗费完毕。 5。从影子价格的含义上再来考察单纯形表的计算。因为由表2—4知

∑=--=-=m

i i

ij j j B j j y a c P B C c 1

1

σ （2。24）

(2.24)式中c j 代表第j 种产品的产值，∑=m

i i

ij

y a

1是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的隐含成本。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该项产品有利，可在计划中安排，否则用这些资源来生产别的产品更为有利，就不在生产计划中安排。这就是单纯形表中各个检验数的经济意义.

6.一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直接涉及到资源的最有效利用,如在一个大公司内部，可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。又如在社会上可对一些最紧缺的资源，借助影子价格规定使用这种资源一单位时必须上交的利润额,以控制一些经济效益低的企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大的经济效益。

第四节 对偶单纯形

一、对偶单纯形法的基本思路

求解线性规划的单纯形法的思路是：对原问题的一个基可行解，判别是否所有检验数

)

,,1(0n j z c j j =≤-。若是，又基变量中无非零人工变量，即找到了问题最优解;若为

否，再找出相邻的目标函数值更大的基可行解，并继续判别，只要最优解存在,就一直循环进行到找出最优解为止。

根据对偶问题的性质,因为

j

B j j j P B

C c z c 1--=-，当

)

,,1(0n j z c j j =≤-，即有

∑==≥≥m

i j i ij j j n j c y a c P Y 1

'

)

,,1( 或，也即其对偶问题的解为可行解,由此原问题和对偶

问题均为最优解。反之,如果存在一个对偶问题的可行基B ，即对n j ,,1 =，有 j

j B c P B C ≥-1或

≤-j j z c ，这时只要有

01

≥=-B C X B B ,即原问题的解也为可行解，即两者均为最优解。否则保持对偶问题为可行解，找出原问题的相邻基本解，判别是否有

0≥B X ,循环进行,一直使原问题也为可行解，从而两者均为最优解。

对偶单纯形法的基本思路：先找出一个对偶问题的可行基，并保持对偶问题为可行解条件下，如不存在0≥B X ，通过变换到一个相邻的目标函数值较小的基本解（因对偶问题是求目标函数极小化)，并循环进行，一直到原问题也为可行解（即0≥B X )，这时对偶问题

与原问题均为可行解。

二、对偶单纯形法的计算步骤 设某标准形式的线性规划问题

⎩

⎨

⎧≥==0max X b AX CX

z (2.25)

存在一个对偶问题的可行基B ，不妨设B ＝（P 1，P 2,…，P m ），列出单纯形表（见表2-7）.

表2—7中必须有

)

,,1(),,,1(0m i b n j z c i j j ==≤-的值不要求为正.当对i ＝

1,…,m,有0

≥i b 时,即表中原问题和对偶问题均为最优解。否则,通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻基本解。

1。确定换出基的变量

因为总存在〈0的

i b ，令}min{i r b b =,其对应变量r x 为换出基的变量。

2.确定换入基的变量

(1）为了使下一个表中第r 行基变量为正值，因而只有对应)

,,1(0n m j a rj +=<的

非基变量才可以考虑作为换入基的变量.

（2）为了使下一个表中对偶问题的解仍为可行解，令

rs s

s rj rj

j j j

a z c a a z c -=

<-=}0|{

min θ （2，26）

称

rs a 为主元素，s x 为换入基的变量。

设下一个表中的检验数为

'

)(j j z c -，由式(1.31）

'

)(j j z c -=(j j z

c -）—rs rj

a a (s s

z

c -）=]

[

rs s

s rj

j j rj a z c a z c a --

-

（2.27）

分两种情况说明满足（2。26）式来选取主元素时,式(2.27）中

（a)对

≥rj a ，因

≤-j j z c 故

≤-rj

j

j a z c ，又因主元素

0

≥-rs

s

s a z c ，由此式（2.27)方括弧内的值≤0，故有)('-j j z c ≤0.

(b ）对0---rs s s rj j j a z c a z c ，故有0)('

≤-j j z c .

3。用换入变量替换换出变量，得到一个新的基。对新的基再检查是否所有

0),,1(≥=m i b i …，m)≥0。如是，找到了两者的最优解，如为否，回到第l 步再循环进

行。

因为由对偶问题的基本性质知，当对偶问题有可行解时，原问题可能有可行解,也可能

无可行解。对出现后一种情况的判断准则是：对0

≥rj a 。因为这种情况，若把表中第r 行的约束方程列出有

r n rn m m r r b x a x a x =+++++...11, (2。28) 因)

,,1(0n m j a rj +=≥，又0

,,1(0n j x j =≥的解.故原问题无

可行解，这时对偶问题的目标函数值无界。 下面举例说明对偶单纯形法的计算步骤。 例4 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥++≥+++=0

,,1252652415min 3

21321323

21y y y y y y y y y y y ω

解 先将问题改写为：

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=+----=+--++---=)

5,,1(0125260052415max 53214325

4321' i y y y y y y y y y y y y y i

ω

列出单纯形表，并用上述对偶单纯形表求解步骤进行计算，其过程见表2-8。

引进人工变量,使计算简化。但在初始单纯形表中其对偶问题应是基可行解这点,对多数 线性规划问题很难实现。因此对偶单纯形法一般不单独使用，而主要应用于灵敏度分析及

第五节 灵敏度分析

假定问题中的a ij ,b i ,c j 是变化的，就会提出以下问题：当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化,或者这些参数在一个多大范围内变化时，问题的最优解不变。这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。

当然，当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有无变化,但这样做既麻烦又没有必要.因为前面已经讲到，单纯形法的迭代计算是从一组基向量变换为另一组基向量，表中每步迭代得到的数字只随基向量的不同选择而改变，因此有可能把个别参数的变化直接在计算得到最优解的最终单纯形表上反映出来。这样就不需要从头计算，而直接对计算得到最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后,是否仍满足最优解的条件，如果不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解。

灵敏度分析的步骤可归纳如下：

1。将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来：

具体计算方法是,按下列公式计算出由参数a i j ，b i ,c j 的变化而引起的最终单纯形表上有关数字的变化。由式（2。12）,（2.13)，（2.17)可得出下列各式:

b B b ∆=∆-1

' (2。30)

j

j P B P ∆=∆-1' (2。31）

∑=-=-m

i i ij j j j y a c z c 1

*

'

)( (2.32）

2.检查原问题是否仍为可行解；

3。检查对偶问题是否仍为可行解；

4。检查（表2—9)所列情况得出结论和决定继续计算的步骤.

一、分析

j

c 的变化

线性规划目标函数中变量系数

j

c 的变化仅仅影响到检验数

)

(j j z c -的变化。所以将

j

c 的变化直接反映到最终单纯形表中,只可能出现如表2—9中的前两种情况。 下面举例说明.

例5 在第一章例一的美佳公司例子中，（1）若加电Ⅰ的利润降至1。5元/件,而家电Ⅱ的利润增至2元/件时，美佳公司最优生产计划有何变化;（2)若加电Ⅰ的利润不变，则加电Ⅱ的利润在什么范围内变化时，则该公司的最优生产计划将不发生变化。

解 （1）将加电Ⅰ,Ⅱ的利润变化直接反映到最终单纯形表（表1—9)中得表2—10.

因变量4的检验数大于零,故需继续用单纯形法迭代计算得表2—11.

（2）设家电Ⅱ的利润为（1+λ）元，反映到最终单纯形表中,得表2-12。

04141≤+-

λ ，0

2321≤--λ

解得 1

31

≤≤-λ 即加电Ⅱ的利润2c 的变化范围应满足

2

32

2≤≤c

二、分析i b 的变化

右端项

i b 的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变化。由式(2.30）看出i b 变化反

映到最终单纯形表上将引起b 列数字的变化，在表2-9中可能出现第一或第三的两种情况.出现第一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b 列值为最优解。出现第三种情况时，用

对偶单纯形法迭代继续找出最优解。

例6 在上述美佳公司的例子中：（1）若设备A 和调试工序的每天能力不变，而设备B 每天的能力增加到32小时,分析公司最优计划的变化；(2）若设备A 和B 每天可用能力不变,则调试工序能力在什么范围内变化时，问题的最优基不变。

解 （1）因有

,080⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∆b 由式（2。19）有

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∆=∆-22100802/34/102/14/102/154/511'b B b 将其反映到最终单纯形表中得2-13

因表2—13中原问题为非可行解，故用对偶单纯形法继续计算得表2—14。

（2）设调试工序每天可用能力为）（λ+5小时，因有

⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∆=∆-λλλλ2321215002/34/102/14/102/154/511'b B b

将其反映到最终单纯形表中,其b 列数字为

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=λλλ23232127215215b

当b ≥0时问题的最优基不变，解得11≤≤-λ.由此调试工序的能力应在4小时～6小时之间。

三、增加一个变量x j 的分析

增加一个变量在实际问题中反映为增加一种新的产品.其分析步骤为：

1.计算∑=-=-=m

i i ij j j j j

y a c z c 1

*

'

σ

2.计算

j

j P B P 1'-=

3.若0'≤j σ，原最优解不变，只需将计算得到的'j P 和'j σ直接写入最终单纯形表中;

若0'

>j σ，则按单纯形法继续迭代计算找出最优。

例7 在美佳公司例子中，设该公司又计划推出新型号的家电Ⅲ，生产一件所需设备

A 、

B 及调试工序的时间分别为3小时、4小时、2小时，该产品的预期盈利为3元／件,

试分析该种产品是否值得投产；如投产，对该公司的最优生产计划有何变化。

解 设该公司生产家电Ⅲx 6件，有c 6＝3，P 6＝（3，4，2）T

.

1

243)21,41,0(3'

3=⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=σ

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2072432/34/102/14/102/154/51'

6p 将其反映到最终单纯形表（表1—9）中得表2-15.

表2-15

因 6

,故用单纯形表继续迭代计算得表2-16。

由表2—16,美佳公司新的最优生产计划应为每天生产2件家电I ，4

件家电Ⅲ。

四、分析参数a ij 的变化

a ij 的变化使线性规划的约束系数矩阵A 发生变化。若变量j x

在最终单纯形表中为非基变量，其约束条件中系数a ij 的变化分析步骤可参照本节之三,若变量x j 在最终单纯形表中为

基变量，则a ij 的变化将使相应的B 和B —1

发生变化，因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况。出现这种情况时，需引进人工变量将原问题的解转化为可行解,再用单纯形法求解,下面举例说明。

例8 在美佳公司的例子中，若家电Ⅱ每件需设备，A ,B 和调试工时变为8小时、4小时、1小时，该产品的利润变为3元／件，试重新确定该公司最优生产计划。

解 先将生产工时变化后的新家电Ⅱ看作是一种新产品，生产量为'

2x ，仿本节三的步骤

直接计算'2σ和'

2P 并反映到最终单纯形表中。其中:

2/3148)2/1,4/1,0(3'

2=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=σ

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2/12/12/111482/34/102/14/102/154/51'

2p 将其反映到最终单纯形表（表1—9）中得表2-17.

因2x 已变换为2x ，

故用单纯形法将2x 替换出基变量中的2x ，并在下一个表中不再保留2x ,

得表2—18。

表2-18第1行的约束可写为

9244543-=-+x x x

（2.33）

式(2.33)两端乘以(—1）,再加上人工变量

6x 得

9244543=+--x x x (2.34)

将式（2.34）替换表2-18的第l 行得表2—19。

由表2—20知，美佳公司的最优生产计划为每天生产11／4件家电Ⅰ，15／8件新家电Ⅱ.

五、增加一个约束条件的分析

增加一个约束条件在实际问题中相当增添一道工序。分析的方法是先将原问题最优解的变量值代入新增的约束条件，如满足，说明新增的约束未起到限制作用，原最优解不变.否则,将新增的约束直接反映到最终单纯形表中再进一步分析。

例9仍以美佳公司为例,设家电Ⅰ，Ⅱ经调试后,还需经过一道环境试验工序。家电Ⅰ每件须环境试验3小时，家电Ⅱ每件2小时,又环境试验工序每天生产能力为12小时.试分析增加该工序后的美佳公司最优生产计划。

解先将原问题的最优解x1=7/2，x2=3/2代入环境试验工序的约束条件3x1+2x2≤12。

因

12

2

27

2

3

2

2

7

3>

=

⨯

+

⨯

，故原问题最优解不是本例的最优解。在试验工序的约束条件中加松弛变量得

3x1+2x2+x6=12 （2.35）

以x6为基变量，将式（2.35）反映到最终单纯形表(表1—9）中得表2-2l。

①

②

③

④

12表2-22中第①’，②’，③'

行同原表第①②③行，表中第④’行由以下初等变换得到④’=④－3×②－2×③。

①’

②'

③’

④'

4件家电Ⅰ.

第六节参数线性规划

灵敏度分析中研究c j、b i等参数改变到某一值时对问题最优解的影响，若令c j或b i沿某一方向连续变动，则目标函数值z将随c j或b i的变动而呈线性变动,z是这个变动参数的线性函数，因而称为参数线性规划。

当目标函数中c j值连续变化时，其参数线性规划的形式为：

⎩

⎨

⎧≥=+=0)()(max *X b AX X

b C z λλ （2.36）

式（2.36)中C 为原线性规划问题的价值向量，C *

为变动向量，λ为参数.

当约束条件右端项连续变化时,其参数线性规划的形式为:

⎩⎨

⎧≥+==0

)(max *X b b AX CX

z λλ (2.37）

式（2。37）中b 为原线性规划问题的资源向量，b *

扩为变动向量,λ为参数. 参数线性规划问题的分析步骤是：

（1)令λ=0求解得最终单纯形表；

(2）将*

C λ或*

b λ项反映到最终单纯形表中去；

（3）随λ值的增大或减小，观察原问题或对偶问题，一是确定表中现有解（基）允许且值的变动范围，二是当且值的变动超出这个范围时，用单纯形法或对偶单纯形法求取新的解；

(4）重复第（3）步,一直到λ又值继续增大或减小时,表中的解（基）不再出现变化时为 止.

下面通过例子具体说明.

例10 分析λ值变化时，下述参数线性规划问题最优解的变化。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+≤+≤+++=0

,5242615

5)21()2()(max 21212122

1x x x x x x x x x z λλλ

解 先令0=λ求得最优解，并将*

C λ反映到最终单纯形表中，得表2-24。

表2—24中，当15≤≤-

λ,表中解为早优，且

λ

22+=z .当1>λ时，变量4x 的检验数〉0，用单纯形迭代计算得表2—25。