基于构造函数的放缩法证数列型不等式问题的教学设计

基于构造函数的放缩法证数列型不等式问题的教学设计

教学内容分析

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其内在的函数规律进行恰当地放缩. 一、 学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，已经掌握了基本的数列求解问题的技巧，对于构造函数这方法，知道大致思路，但是不明确如何有效合理的构造能帮助解题，计算能力不是太过硬. 二、

设计思想

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。具体流程如下：

创设情景（课前准备、引入实例）→授新设疑→质疑问难、论争辩难（进一步加深理解→突破难点）→沟通发展（反馈练习→归纳小结）→布置作业 四、教学目标

理解构造函数的功能，通过模仿、操作、探索，学习构造函数达到放缩的目的，以此来解决问题，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力；能运用构造函数的放缩法解决数列型不等式问题，增强学生的创新能力和应用数学的意识. 五、教学重点与难点

重点：理解构造函数的目的，厘清构造函数与问题所需放缩的方向，最终完成合理构造 难点：如何构造出符合题情的函数，如何放缩 六、教学过程设计

第一部分——问题引入

求证：)(6

6533

3ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln *N n n n n

n

∈+-<++++Λ.

【师生互动】：师生一起观察本例，试图确定本题所考查的知识点(数列、不等式、函数等)，所考查的数学思想方法（化归与转化的思想、函数的思想、特殊与一般的思想等），所考查的具体解题方法（放缩法等）；还有引导学生能不能把问题简化，或者换一种方式方法来表

达，我以为理解题目不应只局限于“未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？”，而应体现在学生是否能用自己的语言复述题目，或者能用一幅图、一条线段图、一些符号来表示对题意的理解。

【设计意图】：高三学生已经具有相当的数列和函数知识，因此选择这个中档问题为例，以期能唤起学生解答题目的欲望，应该有助于学生对本节知识的发生发展的理解，以期揭示此类问题的解法本质.

第二部分——回顾放缩法

【师生互动】：根据此前师生一起探讨出来的此题可能要用到的放缩法，教师让学生按分组自行探讨回忆，竟可能的梳理出平时有涉及到的放缩的一些结论，或者方法技巧，或者相关的典型例题等，经过师生努力后得到如下常用结论或者是已证过的例子： （1）

2221441

124412121n n n n n ??=<=- ?--+??

； （2）

<

<； （3

2)n <≥；

（4） 1

2122

22(31)233(21)2213213

n n

n n

n

n

n

n

n +=?=-?>?->?->?<-；

（5）1

1115(1)112132(1)2

n

n n n +<+++++

=-n

k k 121

42的值; （2）求证:3

511

2

<∑=n

k k

.

附：解:（1）因为

22211

41

(21)(21)2121n n n n n =

=---+-+,

所以

2

1

2

12141

2121

n

k n

k

n n ==-

=-++∑ （2）因为

22

211411214121214

n n n n n ??<==- ?--+??-, 所以

2

1

1

11

112512135

212133n

k k

n n =??<+-++-<+= ?

-+??∑L

【设计意图】：通过对放缩法的回顾与整理，让学生尽量找到解题的“题感”，数学题的“数

感”，尽量引导学生把已有的知识，解题思路跟现在所需求解的问题挂钩，由已知想未知，由未知想需知，为突破本节教学重难点埋下伏笔.

第三部分——回顾如何建模——构造函数

【师生互动】：根据上述回顾，观察到不等式左侧结构齐整，联想到某个函数的模型，因此，老师引导学生回顾如何构造函数，如何构造跟不等式有关的函数模型，经过师生努力后得到如下常用结论： （1）1x e x ≥+；

（2）ln(1)x x ≥+或其变形ln 1x x ≥+ ； （3）当02

x π

<<

时，sin tan x x x <<等.

【设计意图】：通过对放缩法进一步整理，让学生找到跟函数有关的放缩方向，尽量引导学生努力地把握此题的方向，向最后的解题方案拟定而努力.

第四部分——拟定方案 【师生互动】：

（1）由需证不等式左侧有

ln x

x

得结构，再结合第三部分所回顾的常用结论，故可先构造函数有ln 1

ln 111x x x x x x x

≥+?≤-?≤-,

（2）根据以上构造的函数以及所证问题的左边，可得：

ln 2ln 3ln 4ln 3111

31()2343233

n n n n ++++<--+++L L （3）寻找11131()233n n --+

++L 与右边式子56

36

n n +-

的关系，故只需证出 11152336

n n

+++>

L 即可. （4）结合第二部分所回顾的常见结论及例子联想可知需将左侧式子分解，然后求和，然后

继续放缩：

111111111111

1123323456789221

3n n n n ??????+++=++++++++++++ ? ? ?+??????L L L 1115339933566918272336n n n n n ---??????>+++++++= ? ? ????????

L 【设计意图】：方案的核心就是构造了函数模型ln 1x x ≥+，突破了本节的重难点，从理解题目到构思解题方案是一个漫长而曲折的过程.因为对于本题，学生即使做到了理解，但仍

会感到无从下手.波利亚启发我们说“好的思路大多来源于过去的经验和以前获得的知识.”因此我们不妨引导学生思考“你知道一道与它有关的题目吗？”我想，这个有关，并不一定就是一个曾经求解过的与当前题目紧密相关的题，而更可能是通过变化、转换或修改叙述方式，找到与某个题目的联系点，从而“重新叙述这道题目”拟定一个有可能解决问题的方案.

第五部分——执行方案

【师生互动】：教师根据第四部分的分析，按照所你定的方案边讲解边板书呈现出完整的解题过程：

解:先构造函数有ln 1

ln 111x x x x x x x

≥+?≤-?

≤-,从而将2,3,4…3n 代入、相加可得：ln 2ln 3ln 4ln 3111

31()2343233

n n n n ++++<--+++L L 由于

111111111111

1123323456789221

3n n n n ??????+++=++++++++++++ ? ? ?+??????L L L 11153399335669182723

36n n n n n ---??????>+++++++= ? ? ????????L 所以ln 2ln 3ln 4ln 3556

313234366

n n n n n n +++++<--=-L . 【设计意图】：?假如这个方案是学生主动获得的，则不容易遗忘，反之，学生则很容易找不到来时的路了.因此，教师必须坚持让学生检查每一个步骤，以使学生真正确信每一步的正确性,而且通过教师的板书示范，使学生能更好的模仿训练，以至巩固.

第六部分——回顾、反思

【师生互动】：教师根据第五部分的解答，提醒学生再次回顾之前所拟定的方案，检查是否都按既定的方案彻底的执行了，或者在执行的过程中是否有需要进一步做合理调整的，或者有没需要验证的；最后反思整理，一起努力总结出本题的解题思路、策略：理解题意——回顾相关知识点或者方法——拟定方案——执行方案——回顾、反思.

【设计意图】：让学生养成自我检查、反思的好习惯，达到对问题的举一反三,提高学生的分析问题，解决问题的能力.

第七部分——巩固、整理

【师生互动】：教师给出以下例子，让学生分组限时练习（考虑到时间关系，一组一题），答案在学生解题过程用投影仪呈现出来后板书出，或者时间不够，就借用PPT 呈现，然后点评

学生的作业的优缺点. 练习1.证明:

ln 2ln 3ln 4ln (1)

(*,1)34514

n n n n N n n -++++<∈>+L 证明:构造函数()ln(1)(1)1(1)f x x x x =---+>,求导,可以得到: '12()111

x f x x x -=

-=

--,令'()0f x >有12x <<,令'

()0f x <有2x >, 所以()(2)0f x f ≤=,所以ln(1)2x x -≤-,令21x n =+有, 22ln 1n n ≤-

所以ln 112n n n -≤+,所以ln 2ln 3ln 4ln (1)

(*,1)34514

n n n n N n n -++++<∈>+L

练习2.已知11211

1,(1).2

n n n a a a n n +==+++证明2n a e <.

证明: 11111(1)(1)(1)2(1)2

n n n n n a a a n n n n +=+

+<++++,

然后两边取自然对数,可以得到111

ln ln(1)ln (1)2

n n n a a n n +<++++

然后运用ln(1)x x +<和裂项可以得到答案： 放缩思路：1211(1)2n n n a a n n +≤+

+?+ 1211

ln ln(1)ln 2n n n

a a n n +≤+++?+ 1211ln ln 2n n n a a n n +≤+++于是1211

ln ln 2

n n n a a n n +-≤++，

111

11211

11()111112(ln ln )()ln ln 12 2.12212

n n n i i n i

n i i a a a a i i n n ---+==--≤+?-≤-+=--<+-∑∑ 即2

1ln ln 2.n n a a a e -

练习3.求证:

11111ln(1)12312n n n

+++<+<++++L L 证明:提示: 121ln(1)ln ln ln ln 2111

n n n n

n n n n n +++=???=+++--L L

函数构造形式: 1

ln ,ln 1x x x x

<>-

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数1()f x x

=

, 首先: 1n

ABCF

n i S x -

ln |ln ln()n

n n i n i

i x n n i n x --?<==--?

取1i =有,

1

ln ln(1)n n n <--, 所以有1ln 22<, 1ln 3ln 23<-,…, 1ln ln(1)n n n <--, 1

ln(1)ln 1n n n <+-+,相加

后可以得到: 111

ln(1)231

n n +++<++L

另一方面1n ABDE n i S x ->?,从而有11

ln |ln ln()n

n n i n i

i x n n i n i x --?>==---?

取1i =有,

1

ln ln(1)1n n n >---, 所以有11ln(1)12n n +<+++L ,所以综上有11111

ln(1)12312n n n

+++<+<++++L L

练习4.已知函数()ln .f x x x =若0,0,:()()ln 2()().a b f a a b f a b f b >>++≥+-证明 证明:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->

()ln ,()ln ()ln(),

0.()ln 1ln()1ln

,2()0,10.2

f x x x

g x x x k x k x x

x k g x x k x k x

x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--Q Q 令则有

∴函数()[,2

k g x k 在）上单调递增，在(0,]2

k

上单调递减.∴()g x 的最小值为()2

k g ，即总有()().2k g x g ≥而()()()ln (ln ln 2)()ln 2,2222

k k k k

g f f k k k k f k k =+-==-=-

()()ln 2,g x f k k ∴≥-即()()()ln 2.f x f k x f k k +-≥-

令,,x a k x b =-=则.k a b =+ ()()()()ln 2.

f a f b f a b a b ∴+≥+-+

()()ln 2()().f a a b f a b f b ∴++≥+-

【设计意图】：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习,点评时的师生互动，增强了师生感情，一起构造了和谐、智慧的课堂. 七、教学反思

《怎样解题》是美国着名数学家波利亚所着的一本关于数学解题方法的书籍，虽然这本书编写的年代距今已很久远了,但书中所讲述的数学思维的新方法却具有极强的现实意义.

首先看他对教师教学目的的解读.他认为教师最重要的任务之一是帮助学生，以使学生获得尽可能多的独立工作的经验.如今课改所提倡的动手实践、自主探究的学习方式不正暗合了这一思想吗？但是波利亚也提出了有关帮助的度的问题，即不能少，学生完全没有方向，就根本不会有提高;也不宜多，学生没有思考的空间，同样不会有进步.最好的办法是教师把自己放在学生的位置上，根据学生的情况，努力去理解学生的想法，然后提出一个问题或指

出一个步骤.看到这里，我不禁想起了课标对于数学活动的诠释---教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.

其次，进一步理解了怎样解题的四个阶段（1、理解题目;2、拟定方案;、执行方案; 4、回顾. ）波利亚所概括的这四个阶段，在以往的教学中本人虽或多或少的都有所体现，但相对于波利亚论述中所要达到的层次，还是有许多欠缺的.