东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案

工程矩阵理论试卷

一、假如n n

A C

?∈。

1、记}

{

()n n

V A X C

AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。

2、若A 是单位矩阵，求()V A 。

3、若2n =，0011A ??

=

?-??

。求这里V （A ）的一组基及其维数。

4、假如}

{

22

()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？

说明理由。 解：

1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈，

()()A x y Ax Ay xA yA x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()()A kx kAx kxA kx A ===， ()kx V A ∈∴

∴()V A 是n n C ?的子空间。

2、若A 是单位矩阵，则}

{

()n n

V A X C

IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故，

()n n V A C ?=。

3、若2n =，0011A ??=

?-??，设a b X c d ??

= ???

，有AX XA =，即，

00001111000a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ????????

= ??? ???--????????

-????= ? ?---????=??

-=??-=-?

，→ 有0b a c d =??-=?，故0a

X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-????

故X 的一组基为00101101,????

? ?-????

，维数为2。

4、}

{

22

()W A X C

AX O ?===，即()()W A K A =，其基为10011001,????

? ?????

。

下面计算

dim(()())?V A W A ，若dim(()())0?=V A W A ，则是直和。

dim(()())dim ()dim ()dim(()())?=+-+V A W A V A W A V A W A 。

dim(()())+V A W A =（()V A 、()W A 基的极大线性无关组）

， 0

1101

0101

01000010

0010

11010100

1100

001110111010000??????

?

?

?

? ? ?

→

→

? ? ?

?

?

?

--??????

001001110101,,??????

? ? ?-??????

为极大线性无关组

（可以不求，从上式即可看出dim(()())3+=V A W A ）， dim(()())dim ()dim ()dim(()())

22310

?=+-+=+-=≠V A W A V A W A V A W A

()W A ∴+()V A 不是直和。

二、假如1100A -??=

???，1010B ??= ???

，在22

C ?上定义变换如下：22(),f X AXB X C ?=?∈。

1、证明：f 是22

C ?上的线性变换。

2、求f 在22

C

?的基111000E ??=

???120100E ??= ???210010E ??= ???220001E ??

= ???

下的矩阵M 。

3、试求M 的jordan 标准形，并写出f 的最小多项式。

4、问：能否找到22

C ?的基，使得f 的矩阵为对角阵？为什么？

解： 1、22

X C

??∈ 有：()f X AXB =

22

,X Y C ??∈，有()()()()f X Y A X Y B AXB AYB f X f Y +=+=+=+←加法封闭

k C ?∈，有()()()f kX A kX B kAXB kf X ===←数乘封闭 ∴f 是22

C

?上的线性变换。

2、111110101000001000()f E -????????==

????? ????????? 12

1101101000001000()f E -????????

== ????? ?????????

211100101000101000()f E --????????== ????? ????????? 22

1100101000011000()f E --????????

== ????? ?????????

11122122111221221

1110

00000000000()()f E E E E E E E E --??

?

?

= ? ?

??

1111000000000

000M --??

?

?

= ?

?

??

∴

3、3111100

01000000

()I M λλ

λλλλ

λ--?? ?

?

-==- ?

???

∴ M 的若当标准形为10000

00000000

000J ??

?

?

= ? ?

??

，f 的最小多项式为1()()m λλλ=- 4、0λ=，111100

00000000000I M --??

?

?-= ?

???，基础解系为1100-?? ? ? ? ???，1010?? ? ? ? ???，10

01??

? ? ? ???

1λ=，01110100001000

01I M -??

? ?-=

?

???∴，基础解系为1111-??

? ? ? ???

这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到22

C

?的基，使得f 的矩阵为对角阵。

三、设3

R 的子空间{}

20(,,)V x y z x y z =--=，()112,,η=，求0V η∈，使得0min V

ξηηηξ∈-=-。

解：

思路：求V 的基12,αα→0η由该基生成01122k k ηαα=+；

0min V

ξηηηξ∈-=-的含义是指在V 中找一向量0η，使得

0ηη-的距离最短，即寻找η在

V 中的正投影。作图如右侧。

由{}20(,,)V x y z x y z =--=，得V 的基为1210α?? ?= ? ???，

α

则0V η∈，01122k k ηαα=+，

01122

k k ηηηαα-=-+

010200

,,ηηαηηα<->=??

<->=? 或0()V ηη⊥

-∈ 11220111122101112202112

2220200

00,,,,,,,,k k k k k k k k ααηαααααηαααηαααααηα<+->=<>+<>-<>=??→?

?<+->=<>+<>-<>=?? 112101122202523223

,,,,,,ααααηαααααηα<>=<>=<>=<>=<>=<>=

112011221223233223221052300100223001k k k k k k k k ηαα??

???? ?=?+-=?? ? ? ?

→→=+=?+=?? ? ?+-== ??? ? ?? ?

?????? 四、设308316205A ?? ?= ? ?--??

，求10050

2A A -及矩阵函数At e 。

解：23

08

3

8

3

1

61112

5

20

5

()

()()I A λλλλλλλλλ-----=---=-=-+++ 1211λλ==-（2重根）

21λ=-时，2()r I A --=，故A 的jordan 标准形为100011001J ??

?

=- ? ?-??，A 的最小多项式为

211()()()m λλλ=-+。

令100

502()f x x

x =-， 2()()()f x m x q x a bx cx =+++

100501121111()()()f m q a b c a b c =-?=-=+++=++

100501121111()()()()()f m q a b c a b c -=--?-=-=--+-+=-+

0η

9949110050100505022'()'()()()'()f x x m x q x m x q x b cx b c -=?-=-+=-=+++=-

26025a b c =-==

10050222625()()()f x x x m x q x x =-=-+ 22625()()()f A m A q A I A =-+ （计算略）

令

()xt p x e = ，2()g x a bx cx =++

11()()t p e g a b c ===++ 11()()t p e g a b c --==-=-+

112'()'()t p te g b c --==-=-

a b c === (太麻烦了，不算啦！)

2()At p A e aI bA cA ==++

五、已知矩阵A 的特征多项式()A C λ及最小多项式()m λ都等于2

23()()λλ-+，并且矩阵

200130123B ?? ?=- ? ?-??

。

1、分别给出A 和B 的jordan 标准形；

2、问：A 与B 是否相似？为什么？ 解：

A 的特征多项式()A C λ及最小多项式()m λ都等于2

23()()λλ-+，故A 的jordan 标准形为：

200031003A J ?? ?=- ? ?-??

，

22

001

3

231

2

3

()()I B λλλλλλ--=-+=-+--+

200031003B J ?? ?=- ? ?-??

A 和

B 有相同的jordan 标准形，故A 、B 相似。

六、已知矩阵45

110002

20000000000023A ???

?

?

= ?

?

??，求A 的广义逆矩阵A +。

解：对A 进行分块：

11000220000

000000

0023M

A N ??

?? ?

? ?==

? ?

? ?

?

?

?? 0

M A N +++??

?

=

? ??

?

对1122M ??=

???进行满秩分解，()1112M ??=? ???

()111111211121211212110()(())()M +--????????== ? ? ? ?????????

对23()N =进行满秩分解，2323()()N I ==?

11132222

323333()(())N I I +-??????=?=??= ? ? ?

??????

54

3132131

15101151000000

00

0000000A +

??? ? ? ? ?= ? ? ? ??

?

七、证明题：

1、假如ω是欧几里德空间V 中单位向量，V 上的线性变换f 如下：对任意x V ∈，2(),f x x x ωω=-<>（镜像变换）。证明：f 是V 上的正交变换。

证明：要证f 是V 上的正交变换，只要证明f 下的矩阵是一个正交矩阵即可。

将ω扩充V 上的一组标准正交基23,,,,n ωωωω??????，

22(),f ωωωωωωωω=-<>=-=-

22222(),f ωωωωωω=-<>= ?????? 2(),n n n n f ωωωωωω=-<>=

∴

221000100001(,,)(,,)n n f ωωωωωω-????? ???? ????=??? ???? ???

可看出，f 下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故f 是V 上的正交变换。 2、设H 阵A ，B 均是正定的，并且AB=BA ，证明：AB 是正定矩阵。 证明：

A ，

B 均是正定的H 阵，故H

A A =，H

B

B =，且?酉矩阵P 、Q ，st.,H H A P P B Q Q ==,

要证明AB 是正定矩阵，首先要证AB 是H 阵。 ()

H

H H AB B A BA == ∴AB 是H 阵。

1

1

1

()()()()H

H

H

H

H

H

H H

H

AB P PQ Q Q QP PQ Q Q QP PQ Q Q PQ PQ Q ---====

即AB ∽()()H H

H

PQ PQ ，()()H

H

H

PQ PQ 是正定矩阵，故H

PQ 的特征值均大于0，所认AB 特征值也大于0，故AB 正定。