量子力学讲义第八章
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子
Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。
1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验
2、自旋的提出
(1)、每个电子具有自旋角动量s
（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc
μ=-
，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=±
=± 2B e mc
μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量
（2） 2
z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc
μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。
§8.1 电子自旋态与自旋算符
一、自旋算符
通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数
????(,)F
F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s
它是角动量，满足同样的角动量对易关系???s s i s ?=
轨道角动量?l 自旋角动量s ???l l i l ?= ???s
s i s ?= ???[,]x y z
l l i l = ???[,]x y z s s i s = ???[,]y z x l l i l = ???[,]y z x
s s i s = ???[,]z x y l l i l = ???[,]z x y s s i s = 2??[,]0i l l = 2??[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以
(1)???,,x y z s
s s 三个算符的本征值都是有两个2 ±； (2)它们的平方就都是22
224
x y z s s s === ； (3)2?s 的本征值为：222223????4x y z s s s s =++= 依照22(1)l l l =+ ， ,2,1,0=l 2223(1)4
s s s =+= 2
1=?s s 称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，l 为角量子数，可取各种各样的值 1,2
z s s m =±= z l m = ， ,2,1,0±±=m 2
1±=?s m m s 自旋磁量子数±1/2 二、含自旋的状态波函数
电子的含自旋的波函数需写
(,)z r s ψψ=
由于 s z 只取 ±?/2 两个值， 所以上式可写为两个分量 12()(,)2()(,)2
r r r r ψψψψ?=????=-?? 写成列矩阵 (,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ?? ?= ? ?- ???
规定列矩阵第一行对应于s z = ? /2， 第二行对应于s z = - ? /2。
若已知电子处于s z = ? /2或s z = - ? /2的自旋态，则波函数可分别 12(,)20r ψφ?? ?= ??? 120(,)2r φψ-?? ?= ?-??
三、自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
1、s z 的矩阵形式
在s 2-s z 表象中，s z 的矩阵形式 10012z s ??= ?-??
s z 是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±? /2。
2、Pauli 算符
(1). Pauli 算符的引进
令??2
s σ= 分量形式 ??2??2??2x x y y z z s s s σ
σσ?=???=???=?? 对易关系：???s
s i s ?= ????2i σσσ?= 分量形式： z y x i σσσ
?2]?,?[=，x z y i σσσ?2]?,?[=，y x z i σσσ?2]?,?[= ????[,]2i αβαβγγσ
σεσ= 因为s x , s y , s z 的本征值都是±? /2， 所以σx , σy , σz 的本征值都是±1；σx 2, σy 2, σz 2的本征值都是1 。即：
2221x y z σσσ?===
(2). 反对易关系
基于σ的对易关系，可以证明σ各分量之间满足反对易关系:
0????=+x y y x σσσσ
反对易 0]?,?[=+y x σσ（证明） ????0y z z y σ
σσσ+= 反对易 ??[,]0y z σσ+=（证明） ????0z x x z σ
σσσ+= 反对易 ??[,]0z x σσ+=（证明） (3)、i z y x =σσσ
???（证明） (4). Pauli 算符的矩阵形式
根据定义
10??0122z z s σ??== ?-?? ? ???
? ??-=1001?z σ 其他两个分量，令
x a b c d σ??= ???
利用反对易关系????z x x z σ
σσσ=-，得 01011010a b a b c d c d ????????=- ??? ???????????
→a b a b c d c d -????= ? ?---????
?00
a d =??=? σx 简化为：00x
b
c σ??= ???
由力学量算符厄密性
x x σσ+=?**0000b c c b
+????= ? ????? 得：*b c =或*c b =
*00x c c σ??= ???
， **20000x c c c c σ????= ???????I =2200c c ?? ?= ??
??21c = 令：i c e α=（α为实），则
00i x i e e αασ-??= ??? 求σy 的矩阵形式。
由???y z x i σ
σσ=????y z x i σσσ=-出发 写成矩阵形式，得
010?100i y i e i e
αασ-????=- ? ?????()()00i i e e απαπ---??= ??? 这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为： ???? ??=0110?x σ，???? ??-=00?i i y σ，???
? ??-=1001?z σ 从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵
01102x s ??= ??? ，002y i s i -??= ??? ，10012z s ??= ?-??
四、含自旋波函数的归一化和几率密度
1、归一化
电子波函数表示成 (,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ?? ?= ? ?- ???
矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分 232(,)z z s r s d r ψ=±∑? **(,)2(,)(,)22(,)2r r r d r ψψψτψ?? ???=- ? ??? ?- ???
? 22
[(,)(,)]22
r r d ψψτ=+-? 1= 2、几率密度 (,)(,)(,)z z z r s r s r s ρψψ+= 22
(,)(,)22
r r ψψ=+- 12(,)(,)22r r ρρ=+- 表示电子位置在 r 处的几率密度(在 r 点附近 单位体积内找到电子的几率) 2
(,)2r ψ 表示电子自旋向上（s z = ?/2），位置在 r 处的几率密度；
2
(,)2
r ψ- 表示电子自旋向下（s z =- ?/2），位置在 r 处的几率密度； 在全空间找到s z = ? /2的电子的几率：23(,)2
r d r ψ? 在全空间找到s z =- ?/2的电子的几率：23(,)2
r d r ψ-? 五、自旋波函数
波函数 (,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ?? ?= ? ?- ???
在有些情况下，例如Hamilton 量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和），波函数可以分离变量，即 (,)()()z z r s r s ψφχ=
其中()z s χ是描述自旋态的波函数，其一般形式为
()z a s b χ??= ??? 式中2a 与2b 分别代表电子s z =±?/2的概率，所以归一化条件表示为 22a b χχ++=()**
a a
b b ??= ???1= 求：s z 的本征态()s m z s χ s z 的本征方程?()()2z z z s
s s χχ=± 令12()z s χ和12()z s χ-分别为本征值?/2和-?/2的自旋波函数， 即1122112
2?()()2?()()2z z z z z z s s s s s s χχχχ--?=????=-?? 12
1()0z s χ??= ??? 12
0()1z s χ-??= ?-?? 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交
02121212
1==+--+χχχ
χ 正交性 12()z s χ, 12
()z s χ-构成正交归一完全性。
α与β构成电子自旋态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以用它们来展开,即
任一单电子自旋波函数
()z a s b χ??= ???00a b ????=+ ? ????? 1100a b ????=+ ? ?????
a b αβ=+ 完全性 其中()z S χ为电子的任一自旋态波函数。
例1．设氢原子的状态是?????? ??-=),()(23),()(2110211121?θ?θψY r R Y r R ，求能量E 、角动量平方2l 、角动量z 分量l z 、自旋角动量平方2s 、自旋角动量z 分量s z 这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对换性
一、 全同粒子和全同性原理
1、全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。如所有的电子、所有的质
子。
2、经典粒子的可区分性
3、微观粒子的不可区分性
4、全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。
二、波函数的对称性质
~(,)i i i q r s 表示第i 个粒子的坐标和自旋
1、Hamilton 算符的对称性
N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
1?(,,,,,,)i j N H q q q q 221[(,)](,)2N N i i i j i i j
V q t W q q μ=<=-?++∑∑ 其中(,)~i V q t 表示第i 个粒子在外场中的能量（势能）， ),(j i q q W ~ 表示第i 个粒子和第j 个粒子之间的相互作用能量，
调换第i 和第j 粒子，体系Hamilton 量不变。即：
11??(,,,,,,)(,,,,,,)j i N i j N
H q q q q H q q q q = 表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。
2、对称和反对称波函数
考虑全同粒子体系的含时Shr?dinger 方程 111?(,,,,,,)(,,,,,,)(,,,,,,)i j N i j N i j N i q q q q H q q q q q q q q t
ψψ?=? 将方程中(q i , q j )调换，得： 111?(,,,,,,)(,,,,,,)(,,,,,,)j i j i j i N N N i q q H q q q q t
q q q q q q ψψ?=?
11?(,,,,,,)(,,,,,,)i N N
j j i q H q q q q q q q ψ= 由于 Hamilton 量对于(q i , q j )调换不变，表明：(q i , q j )调换调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。 根据全同性原理：
11(,,,,,,)(,,,,,,)
i j N j i N q q q q q q q q ψψ????? 描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。
11(,,,,,,)(,,,,,,)j i N N i j q q C q q q q q q ψψ=
P ij 表示第i 粒子与第j 粒子的全部坐标的交换，即
11(,,,,,,)(,,,,,,)i i j N N j i j q P q q q q q q q ψψ=
ij P C
ψψ= 用P ij 再运算一次，得
2ij ij P CP ψψ=2C ψ=
显然2
1ij P =，所以C 2=1 ? 1C =±
P ij 有（而且只有）两个本征值，即C =±1。即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一
ij P ψψ=
ij P ψψ=-
式中i ≠j =1,2,3,?,N 。凡满足ij P ψψ=的，称为对称波函数，记为ψS ；满足ij P ψψ=-
的，称为反对称波函数，记为ψA 。所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。
三、波函数对称性的不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。
结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。——波函数的特性。 例子：下列波函数中，哪些上完全对称的？哪些是完全反对称的？
1、)()()()(22112121z z S S r g r f χχ
2、)]()()()()[()(22
112122112121z z z z S S S S r f r f χχχχ---
3、)]()()()()][()()()([2211212211212121z z z z S S S S r f r g r g r f χχχχ----
4、)](exp[212
12r r r +-α
5、)](exp[21r r --α
四、Fermi （费密子）子和Bose （玻色）子
（1）Bose 子
凡自旋为?整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose 统计，故称为Bose 子。如光子（自旋为1），处于基态的氦原子（自旋为零）， α粒子（自旋为0）；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。
如：g 光子（s =1）；π介子 （s = 0）。
（2）Fermi 子
凡自旋为?半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。如电子、质子、中子 ~
2
；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。
例如：电子、质子、中子（s =1/2）等粒子。
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子
五、两个全同粒子组成的体系
两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成
(1)、两 个全同粒子（忽略它们的相互作用）Hamilton 量表示为
12()()H h q h q =+ h (q )表示单粒子的Hamilton 量。h (q 1)与h (q 2)形式上完全相同，只不过q 1? q 2互换而已。显然12
??[,]0P H = (2)、单粒子波函数
h (q )的本征方程为
()()()k k k h q q q ?ε?=
εk 为单粒子能量，?k (q ) 为相应的归一化单粒子波函数，k 代表一组完备的量子数。
(3)、交换简并
设两个粒子中有一个处于?k 1态，另一个处于?k 2态，则?k 1(q 1)?k 2(q 2)与?k 1(q 2)?k 2(q 1)对应的能量都是εk 1+εk 2。这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不一定具有交换对称性。
(4)、满足对称条件波函数的构成
对于Bose 子，要求波函数对于交换是对称的。这里要分两种情况：
(a )12k k ≠，归一化的对称波函数可如下构成：
121212121221(,)()()()()]S k k k k k k q q q q q q ψ????=+
是归一化因子。 (b )12k k k ==，归一化波函数为：
1212(,)()()S kk k k q q q q ψ??=
对于Fermi 子，要求波函数对于交换是反对称的。归一化的波函数可如下构成：
121212121221(,)()()()()]A k k k k k k q q q q q q ψ????=-
11221212
()()()()k k k k q q q q ??= 由上式可以看出，若12k k =，则0A ψ≡，即这样的状态是不存在的。这就是著名的Pauli 不相容原理。 * 注：两个函数的和差可以构成对称或反对称波函数。
讨论：
(1)、若两个Fermior 所处状态相同12k k =，则0A ψ≡，即这样的状态是不存在的。说明两个全同费米子不能处于同一状态，这就是著名的Pauli 不相容原理在两个费米子组成的体系中的表述，可以证明这一原理对于由多个全同费米子组成的体系也是成立的。它可以表述为：不允许有两个全同的Fermi 子处于同一个单粒子态。在全同费米子组成的体系内，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一状态。 (2)、?k 1(q 1)?k 2(q 2)与?k 1(q 2)?k 2(q 1)本来是属于二重简并能级εk 1+εk 2的两个态，但是，由于波函数的对称性的要求限制了只能用1212(,)S k k q q ψ或12
12(,)A k k q q ψ，因而消除了简并； * 注：由于对称性的要求，消除了交换简并。
六、N 个全同粒子组成的体系
1、N 个全同Bose 子组成的体系
Bose 子不受Pauli 原理限制，可以有任意数目的Bose 子处于相同的单粒子态。设有n i 个Bose 子处于k i 态上（i =1,2,?,N ），
1N i i n N ==∑，这些n i 中，有些可以为0，有些可以大于1。此时，对称的多粒子波函数可以表示成
11121212
121_1[()()()()]k k n k n k n n P n n P q q q q ????+?∑ 个个
注意：这里的P 是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，因为只有这样，上式求和中的各项才彼此正交。这样的置换共有 12!!!!
N N n n n 个。因此，归一化的对称波函数可表为
111[()()]N N S
n n k k N P P q q ψ?
?=
例：N =3玻色子体系，设三个单子态分别记为?1，?2，?3。
2、Fermi 子体系和波函数反对称化
两 个Fermi 子体系，其反对称化波函数是：
121212121221(,)()()()()]A k k k k k k q q q q q q ψ????=
-
11221212()()
()()k k k k q q q q ??=
行列式的性质保证了波函数反对称化。推广到N 个Fermi 子体系：
111
2221212121212()()()()()()(,,,)()()()
N N N N k k k N k k k N A
k k k N k k k N q q q q q q q q q q q q ????ψ??=
讨论：
(1) 行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而ψA 是本征方程?ψ=E ψ的解。
(2) 交换任何两粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波
函数。
(3) N 个单粒子态 12,,N k k k ??? 中有两个单粒子态相同，则行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表
示不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。这就是泡利不相容原理。
(4）无自旋—轨道相互作用情况
1(,,)N q q ψ 中每个q 都包含;i i i q r s →
111(,,)(,;;,)N N N q q r s r s ψψ=
在无自旋——轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：
1111(,;;,)(,,)(,,)N N N N r s r s r r s s ψφχ=
若是Fermi 子体系，则ψ应是反对称化的。
对2 粒子情况，反对称化可分别由ψA 的对称性保证。
A A S A S A ψφχψφχ?=??=??
§8.4 自旋单态与三重态 （两个电子的自旋函数）
下面我们来讨论两个电子的自旋函数，这种自旋函数在研究含有两个电子的体系（如氦原子、氢分子等）的态时都要用到。
一、总自旋算符?S
设两个电子的自旋记为1?s
与2?s ，令 12???S
s s =+ 表示两个电子的自旋之和。由于1?s
与2?s 分别属于两个电子，即涉及不同的自由度， 12??[,]0s
s αβ=，,,,x y z αβ= 由此不难证明，?S
的三个分量满足下列对易式 ???[,]x y z S S i S = ，???[,]y z x S S i S = ，???[,]y z x
S S i S = 2222????x y z
S S S S =++ 2??[,]0S S α
=，,,x y z α= 二、 总自旋2??,z
S S 算符的本征函数
两个电子组成体系的自旋自由度为2。既可以选(s 1z , s 2z )为自旋力学量完全集，也可以选(S 2,S z )的共同本征态。
令s 1z 本征态记为α(1)和β(1)，s 2z 本征态记为α(2)和β(2)，则(s 1z , s 2z )的共同本征态有4个，即
α(1)α(2)，β(1)β(2)，α(1)β(2)，β(1)α(2)
显然它们也是S z =s 1z +s 2z 的本征态，本征值分别为?，-?，0，0。试问：它们是否为S 2的本征态？
利用2212???()S s s =+ 221212????2()s s s s =++? 21212123??????2()2
x x y y z z s s s s s s =+?+?+? 011?1002x s α????= ??????? 012??= ??? 2β= 010?1012x s β????= ??????? 102??= ??? 2α= ?2y i s αβ= ，?2
y i s βα=- ?2z s αα= ，?2
z s ββ=- 式中没有标明第一个电子或第二个电子，它们对于每一个电子的算符作用在自己的自旋函数上时都成立。
2?(1)(2)S
αα22(1)(2)αα= 22?(1)(2)2(1)(2)S
ββββ= 即α(1)α(2)和β(1)β(2)是S 2的本征态，但α(1)β(2)，β(1)α(2)不是S 2的本征态。α(1)β(2)，β(1)α(2) 不满足对称性要求，α(1)β(2)，β(1)α(2)可构成2组具有一定对称性的二电子自旋波函数：
(1)(1)(2)S
χαα=
(2)(1)(2)S χββ=
(3)(1)(2)(1)(2)]S χαββα=+
(1)(2)(1)(2)]A χαββα=- 22(1)(1)(1)(1)
?2?S S S S z S S χχχχ?=??=?? 自旋平行，沿z 正向 22(2)(2)(2)(2)
?2?S S S S z S S χχχχ?=??=-?? 自旋平行，沿z 反向 2(3)2(3)(3)(3)?2?0S S z S S
S S χχχχ?=??=?? 自旋平行，与z 垂直 2?0?0A A A A z S S χχχχ
?=??=?? 自旋反平行 ?(1)(2)(3),,,S S S A χχχχ是z
S S ??及2的本征函数，存在一组构成完全系的共同本征函数 由上可知：在三个自旋对称态(1)(2)(3),,S S S χχχ中，2?S 的本征值都是22 ，z
S ?的本征值则依次为0,, -；这表明在(1)S χ态中两个电子的自旋平行，分量沿正z 方向，在(2)S χ态中两个电子的自旋z 分量都
与z 轴反方向，在(3)S χ态中两个电子自旋z 分量相互反平行，但垂直于z 轴的分量则相互平行。在反对称自
旋态A χ中，2
?S 和z S ?的本征值都是零，这表明在这个态中两电子的自旋反平行，因而总自旋为零。 ,0]?,?[2=αS S ∴z S S ??2与有共同的完全的本征函数系。由(2)可知，(1)(2)(3)
,,,S S S A χχχχ均为z S S ??2-的共同本征函数。由任意两个自旋量子数为
2
1的粒子形成的复合体系的任一自旋状态皆可以用它们的线性叠加来表示。
三、两个电子体系的自旋波函数的构成
当体系Hamilton 量不含二电子自旋相互作用项时，
(1,2)(1)(2)χαβ= (1)
(二电子自旋波函数)(单电子自旋波函数)
式中1，2依次是第一个电子和第二个电子的自旋变量。
可构成4种相互独立二电子自旋波函数：
(1)(1)(2)S χαα=
(2)(1)(2)S χββ=
(3)(1)(2)(1)(2)]S
χαββα=+ (1)(2)(1)(2)]
A χαββα=- 很明显，在交换两个电子时，(1)(2)(3),,S S S χχχ均不变号，A χ变号，即有三个自旋对称态，一个是自旋反对称态。因为(1)式型的自旋函数只有四个，所以由这四个自旋函数只能构成四个独立的有确定对称性的自旋函数，它们分别是(1)(2)(3),,,S S S A χχχχ
独态与三重态
独态：两电子自旋相互反平行的态是单一的。
三重态：两电子自旋相互平行的能级是三重简并的。
例1、有两个质量为μ，自旋为1/2的全同粒子，在宽度为a 的无限深势阱中，若略去两粒子间的相互作用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两能级的简并度。
例2、设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是222
1)(r r u μω=，如果电子之间的库仑能和)(r u 相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
物理化学-高盘良155-158第八章物质运动状态的量子力学描述
第8 章 物质运动状态的量子力学描述 主要公式 自由平动子：能级 22222 22 ,(1,2,3,) 28 t n h n q n ma ma π ===??? h 简并度1 t ω= 刚性转子：能级 2 (1) 2 r J J I ε +h （I为转动惯量） 简并度21 r J ω=+（J=0，1，2，3，…） 三维各向同性谐振子：能级 3 ( 2 r x y z n n n ε=+++hv 简并度 (1)(2) ,() 2 v x y z n n n n n n v ω ++ ==++ = （f为力常数） 分子能量: t r v e n εεεεεε =++++ 分子简并度: t r v e n ωωωωωω = 例题分析 例8.1双原子分子12C16O，其中原子摩尔质量为m(16O )=15.99491g·mol-1，m(12C )=12.00000g·mol-1。 （1）T=298 K ，在a=1.000m范围内平动，请计算n=1及n=2能级的平动能及两能级之间的能量差，各相当于k B T的多少倍。 （2）当发生转动能级跃迁J=0?1，12C16O微波吸收光谱为115271.20MH z，请计算核间距 co r、 转动惯量I几转动能级能量 ,r t ε及 r ε?。
（3）振动激发时，从低分辨的红外吸收光谱，测得，求振动运动的力常数，振动频率，基态和第一激发态的振动能，能级差。 解析：这是从实验数据及量子力学原理去了解粒子的微观运动状态，这也是统计力学的基础。 说明A 代替ε) （2）根据量子力学原理，B 为转动常数 22,,2(1),28e r r C h B I B J B I μγωωπ==+?=61281 1 115271.2(10/1)(1/1)(10/1)2.997925103.84503Z r z z Z MH H MH s H m cm m s cm ω----= ????= 1/2(0)/2 1.92252r r B cm ωω-=?=-= 161216 122-23-123-1 26()()()() (15.9949112.00000)g mol (10kg/g) (15.9949112.00000)g mol 6.02204510mol 1.13851810kg mol m O m C m O m C μ--?=+???=+???=?? 根据 28c h I B π= [ 46 12 2.799310],(/)(/) e cm kg r m μ--?= 461/2 102.799310( ) 1.130910/e r m kg μ--?==? 222 28,12 7,0(1)128.26510J 22242.00910(0,0)r J B r J J h h I I I k T J εεππε--??+?====?=? ???=?==h （3）1/2 1/2 -1212 -1V 10/N m 5.308810cm 2πc /kg f f ωμμ--???? ?= ≥=? ? ? ? ?? ?? 2 26-1-1122142.61 1.13851810N m 1854.5N m 5.308810f --?? =???=? ? ??? 1/2 25V,0 011 3.2371610J 222h f hv επμ-??===? ??? 25,1119.7115102 v hvo J ε-?? =+=? ?? ?
量子力学第五章习题
第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ???
原子物理讲义 第五章 多电子原子
第五章 多电子原子:泡利原理（YCS ） §5-1 氦光谱和能级 氦原子是1868年分析日全蚀光谱时发现的,30年后在地球矿物中找到.实验表明,氦及元素周期表第二族元素铍、镁、钙、锶、钡、镭、锌、镉、汞的光谱结构相仿.氦原子光谱的特点（详见P.213氦原子能级图）（氦能谱的以上4个特点分别包含着4个物理概念）: 1）明显地分成两套谱线系,左边一套为单层,右边一套多为三层;两套能级间无跃迁,各自内部的跃迁产生了两套独立的光谱.每一套都象碱金属原子光谱一样含有主线系,辅线系和伯格曼系等.但两套线系的构成截然不同. 2）存在几个亚稳态,表明某种选择规则限制了这些态以自发辐射的形式发生衰变; 3）基态01 S 1与第一激发态13 S 2 间能量相差很大,为eV .7719;电离能也是所有元素中最大的,为eV .5824; 4）在三层结构那套能级中没有来自2 (1S)的能级. §5-2 电子组态和原子态 1.电子组态:原子中各电子状态的组合 描述一个电子的状态可用s l m m l n 、、、四个量子数. 考虑电子的自旋－轨道相互作用,s l m m 、不再有确定值,则电子的状态用j j m l n 、、、描述. 氢原子只有一个电子,在不考虑原子核运动时,电子状态就表示原子状态. 对于碱金属原子,理论上可证明原子实的总角动量为0且不易被激发,被激发的只是价电子,可认为价电子的状态就表示碱金属原子状态. 多电子原子则必须考虑电子间的相互作用,原子的状态是价电子运动状态的耦合. 由于轨道运动的能量只取决于量子数l n 、,所以常用nl 来标记电子状态. 例如:氢原子处于基态时,电子处于01＝、＝ l n 的状态,记为s 1;氦原子处于基态时,两个电子都处于s 1态,则用两个电子状态的组合s 1s 1或21s 来表示;若一个原子有 3个电子,其中两个处在0,2==l n 的状态,另一个处在1,2==l n 的状态,则电子 组态为p s 222 . 在给定的电子组态中,各电子的轨道角动量大小是确定的,但其轨道角动量和自旋角动量的方向不确定.因此每一个电子组态 可耦合成若干原子态,由同一电子组态耦合成的不同原子态将且具有不同的能量,因为不同的角动量耦合产生的附加能量不同. 2.价电子间的相互作用 价电子间的相互作用除电子自身的轨道与自旋耦合外,电子间的轨道与轨道、自旋与自旋、轨道与自旋等角动量都要发生耦合作用.如两个价电子间可有6种耦合方式（如图示）:),(),(),(),(),(),(126215224113212211s l G s l G s l G s l G s s G l l G 、、、、、. 这6种耦合的强弱不等,一般情况下,65G G 、较弱可不考虑.下面考虑两种极端情况. 1）S L －耦合:21G G 、较43G G 、强得多,将两个轨道角动量和两个自旋角动量分别合 成总轨道角动量L 和总自旋角动量S ,再将L 和S 合成总角动量J .（S L -耦合对于较轻元素 的低激发态成立,适用性较广） 2）j j －耦合:43G G 、较21G G 、强得多,将各个电子的轨道与自旋耦合成各个电子的总 角动量1j 和2j ,再将其耦合成原子的总角动量J .（j j -耦合则较少见,只在较重元素的激发态中出现） 对于多电子耦合的情况可记为:? ??==-==-J j j j l s l s l s j j J L S l l l s s s S L )())()((:),(),,)(,,(:323322113213211 3.S L －耦合的原子态 21l l L +=.L 的大小为: 212121,,1,,)1(l l l l l l L L L L --++=+= 21s s S +=.S 的大小为:???=±=+=0 1,)1(21s s S S S S 原子的总角动量S L J +=,量子数S L S L S L J --++=,,1, 对于具有两个价电子的原子,当L 给定时,对应于0,1==S S 的两种情况,J 的取值分别 为: 1）0=S 时,L J =,表示原子只有一个可能的角动量状态,所以是单态. 2）1=S 时,1,,1-+=L L L J ,所以原子是三重态. 由以上分析知,具有两个价电子的原子都有单态和三重态的能级结构. 例:原子有两个价电子,其角动量状态分别为 2 1 ,2;21,12211= ===s l s l ,用
量子力学周世勋习题解答第五章范文
第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）
量子力学曾谨言第八章第九章习题详解
第八章：自旋 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ????=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=??? ??????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
量子力学曾谨言习题解答第五章
第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 22 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]?,?[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]?,?[1H A i 的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1 [ 1222 H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???= τ τψψ d A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡= τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)? (*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：
τψψτψψd A H i d H A i dt A d )? (*)?(1)?(?*1?????? -= ??? ???-= τψψ τψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2 。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r d t d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2 22z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21],??????[2 2 2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式 可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x ++++ + = μ μ μ （３）
量子力学导论第8章答案
第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4）
量子力学讲义第五章
第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 2??()2p H V r μ=+ 22 ()2V r μ =-?+ ， 与经典力学中一样，角动量 l r p =? 也是守恒量，即 ?0l t ?=? ??[,]0l H = 2 22221?()22l H r V r r r r r μμ????=-++ ????? 2,0z l l ??=???? ； 2?,0l H ??=???? ； ( ) 2?,,z H l l 构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：2 22 22 1()22l r V r E r r r r ψψμμ????????-++= ????????? 上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。 取ψ为 () 2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm r R r Y ψθ?θ?= (),lm Y θ?是() 2 ,z l l 共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222 2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+?? ++-= ??? 径向方程可写为：()()2222 2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+?? ++-=???? ，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：() ()l l r R r r χ= ； 径向方程简化为：()()2 222 2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+??+-=??? ? (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。 在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，
量子力学讲义第八章
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子 Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。 1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验 2、自旋的提出 (1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc μ=- ，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=± =± 2B e mc μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量 （2） 2 z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。 §8.1 电子自旋态与自旋算符 一、自旋算符 通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数 ????(,)F F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s 它是角动量，满足同样的角动量对易关系???s s i s ?= 轨道角动量?l 自旋角动量s ???l l i l ?= ???s s i s ?= ???[,]x y z l l i l = ???[,]x y z s s i s = ???[,]y z x l l i l = ???[,]y z x s s i s = ???[,]z x y l l i l = ???[,]z x y s s i s = 2??[,]0i l l = 2??[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? ]?,??[H p r =? =)],z y （２） ?[r ? x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
x V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得： }{)???(]?,??[222z V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p i ??+= μ 代入（１），证得题给公式： V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=?p r dt d 由前式 P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n 2,== （解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）： ∑=ijk k j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）
量子力学(周世勋)课后答案-第五章
量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为 00 ??()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即 2004ze U r r πε=-（） 在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为 ??()H T U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区 域， 2 00()()4Ze U r U r r πε=-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82203 020022 203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0???H H H '=+
得 ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以 认为(0)??H H '<<，视为一种微扰。 对于基态r a Z e a Z 02/1303) 0(1)(-=πψ，2422(0)12 22e s s m Z e Z e E a =-=-由?H '引起的一级修正为 ?∞ '=τψψd H E )0(1 * )0(1)1(1? ? -+--=0 00 2 2022203 023 3 4]4)3(8[r r a Z dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故10 2≈-r a Z e 。 ∴ ? ? +--=0 3 02 40 4 2 20 3 3002 4)1(1 )3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε 20 30024505 030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2 3002410r a e Z πε= 2 03 2452r a e Z s = 422222(1)(0)201 1 032 000 22//1525s s Z e Z e Z r E E r a a a == # 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε 中，如果电场较 小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取ε 的方向为Z 轴建立坐标系，则转子的能量包括转动动能和电偶极矩在电场中的势能，哈密顿算符为 θεεcos ?212??22D L I D I L H -=?-= 取θεcos ? ,?21?2)0(D H L I H -='=，则 H H H '+=???)0(
量子力学第五章习题
第五章 表象理论 5-1 试证明算符)?,?(?,?,?x x p x F p x （1）在x 表象中的表示为：x x =? ，x i p x ??-= ? ，),()?,?(?x i x F p x F x ??-= ； （2）在P 表象中的表示为：p i x ??= ? ，x x p p =? ，),()?,?(?x x p p i F p x F ??= 5-2 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 5-4 求连续性方程0),(=??+??j t x t ρ的矩阵表示。其中),(),(),(*t x t x t x ψψρ= ，)(2**ψψψψ?-?=m i j 5-5 设厄米算符B A ?,?满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求：（1）在A 表象中，算符B A ?,?的矩阵表示。（2）在B 表象中，算符B A ?,?的矩阵表示。（3）在A 表象中，算符B ?的本征值和本征函数。（4）在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数。（5）由A 表象到B 表象的么正 变换矩阵S 。 5-6 已知二阶矩阵A,B 满足下列关系：A A B A A AA A +==+=+ ++,1,02，试证明B B =2，并且在B 表象中求矩阵A ，B 。 5-7 证明：A AS S det )det(1=- )()(BA Tr AB Tr = )()()(B C A Tr CAB Tr ABC Tr ==，由此说明矩阵的det 及Tr 不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。 5-8 设矩阵A 的本征值为),2,1(' =i A i ，令A e B =，其本征值为)2,1(' =i B i ，证明' ' i A i e B =，由此证明TrA e B =det 。 5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。 5-10 证明若三个厄米矩阵A ，B 和C 有如下对易关系，AB=BA ，AC=CA ，BC ≠CB ， 则A 的本征值必有简并。
量 子 力 学 习 题 钱
量 子 力 学 习 题 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比，即 λm T=b (常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r . 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内（即向原点）传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场 a x a x x x U >≤≤?? ?>=, 0, 0)(0 中运动，求束缚态(0 第八章 量子力学基础 8.1 同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德 布罗意波长给出。试计算下列波长。（1 eV=1.6021771910-? J ，电子质量9.1093110-?kg ，中子质量1.6742710-?kg ） (1) 具有动能1eV ，100 eV 的电子； (2) 具有动能1eV 的中子； (3) 速度为640m/s 、质量为15g 的弹头。 解：德布罗意波长可以表示为：p h m v h == λ，那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得： （1）动能1eV 的电子的波长为 m m mE h p h k 9193134 10266.110602177.1110109.9210626.62----?=??????===λ 动能100eV 的电子 m m mE h p h k 10193134 10266.110602177.110010109.9210626.62----?=??????===λ （2）动能1eV 的中子的波长为 m m mE h p h k 11192734 10861.210602177.1110674.1210626.62----?=??????===λ （3）速度为640m/s 、质量为15g 的弹头的波长为 m m mv h 353 34 10902.6640 101510626.6---?=???==λ 8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解 产生影响？怎样影响？ 解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schr?dinger 方程为 ()()() ()()()()()2 22 2 2 2222d 2d d d '2d 2d x C x E x m x x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-?-= 边界条件不变，因此Schr?dinger 方程的解为 第八章 WKB 近似 WKB （Wenzel ，Kramers, Brillouin ）1方法是得到一维定态Schr?dinger 方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其他形式的微分方程和三维Schr?dinger 方程的径向部分）。此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。 它的基本思想如下：假设能量为E 的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。当E>V 时，则波函数的形式为 ()ikx x Ae ψ±=，其中 ()2k m E V ≡- 正号表示粒子向右运动，而负号表示它向左运动（当然，通解是两项的线性组合）。波函数为振荡函数，具有固定的波长（λ=2π/k ）和不变的振幅（A ）。现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多全波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。这样，除了波长和振幅随x 缓慢的变化外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。这就是隐藏在WKB 近似后面的核心思想。它将依赖x 的问题有效地分为两种不同层次：快速振荡和由振幅和波长逐渐变化的调制。 同理，当E 第八章自旋 8-1 设电子处于β状态，求S 与Z 轴的夹角。 8-2 证明[]),,(,0?,?2z y x S S ==αα 8-3 α和β组成正交归一完全系，试将x S ?的本征值分别为2/ =x S 和2/ -的本征函数用它们展开。 8-4 试证明α和β是2?x S 的本征函数，但不是x S ?的本征函数。 8-5 试证明i z y x =σσσ ??? 。 8-6在“自旋”向下态β中，求x S 和y S 的涨落x S ?，y S ?以及x S ?y S ? 。 8-7 求y S ?的本征值和本征函数（取z S 表象）。 8-8 （1）在x σ表象中求z y x σσσ??,?和 的归一化本征函数；（2）证明1?±=?=n n σ σ ，并求相应的本征函数；（3）在1=n σ态内，求1,11,1-==-==z z x x σσσσ及的几率。 8-9 设电子自旋Z 分量为2/ ，问沿着与Z 轴成θ角的'z 轴方向上，自旋取2/ 及2/ -的几率为多少？求此方向上自旋分量的平均值。 8-10 证明不存在和σ ? 的三个分量均反对易的非零二维矩阵。 8-11 测得一电子自旋Z 分量为2/ 。再测x S ，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？ 8-12 设λ为常数，证明λσ λσλsin ?cos ?z i i e z += 8-13 设B A ?,? 为和σ ? 对易的任何矢量算符，证明)??(???)??(B A i B A A ??+?=?σσ 8-14 化简z z i i e e σλασλσ???- ，y x ,=α ，λ为常数。 8-15 证明??? ? ??=--θθθσi i i e e e z 00 8-16 定域电子受到均匀磁场B 的作用，B 指向x 轴方向，磁作用势为x c eB H σμ?2? = ，设t=0 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 22 = - 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1,112 22 - = = = , [][]H H A A dt d ,, 2 22 = -∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态， 0=dt dA 证：束缚定态为:：()() t iE n n n e r t r -=ψψ,。 在束缚定态()t r n ,ψ ，有()()()t r E t r t i t r H n n n n ,,,ψψψ=??= 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,**** ψ ψψ =??-= 。 ??? ? ? =n n dt dA dt dA ψψ,()?? ? ?? -??? ??-=? ?n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ? ? -??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1,1,1 - + + ??= []()()n n HA AH i H A i ψ ψ-- = ,1,1 [][]()0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ? ?? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.360docs.net/doc/667619591.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ??-- =11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+=? (3) =?axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1 sin 2-=? (5) =?axdx x sin 2ax a x a ax a x cos )2(sin 2222-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1 cos 2+=? (7) ax a a x ax a x axdx x sin )2 (cos 2cos 3222-+=?)物理化学第八章课后题答案
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