实变函数练习及答案

实变函数练习及答案

一、选择题

1、以下集合，（ ）是不可数集合。

.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；

.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E

A 是（ ）

.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

3、下列说法正确的是（ ）

.A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积；

.C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积

4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1

(

)lim n n n n m E mE ∞

→∞

=>； .B 1

(

)lim n n n n m E mE ∞

→∞

==；

.C 1

(

)lim n n n n m E mE ∞

→∞

==； .D 以上都不对。

5、

()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）

.A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。

6、设E 是闭区间

[]0,1中的无理点集，则（ ）

.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。

7、设mE <+∞，

(){}n

f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，

则

(){}n

f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）

.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。

8、设

()f x 是E 上的可测函数，则（ ）

.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数； .C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。c

二、填空题： 1、设n E R ?，0n x R ∈，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 点，则称0x 是E 的聚点。 2、设n E R ?，若E 是有界 点集，则E 至少有一个聚点。

3、设

()f x 是E 上的可测函数，0mA =，则()f x 是E

A 上的 函数。

4、设在E 上，

(){}n

f x 依测度收敛于()f x ，则存在(){}n

f x 的子列(){}k

n f x ，使得在E 上，

(){}k

n f x 敛于()f x 。

5、设设

1

[1,2],(1,2,...)n A n n

=+=,则lim n n A →∞=________________。

6设P 是Cantor 集，[0,1]\G P =，则mG =___________。

7、写出一个(0,1)与(,)-∞+∞之间一一对应关系式___________________ 。

8.设()2,,x

e x

f x x x -??=???是有理数

是无理数

，则()[]01()L f x dx =?， 。 9、设E 是[0,1][0,1]?中有理数全体，则E 的闭包E 为_____________。

10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。 三、判断题。

1、2

R 与3

R 的势是不等的。……………………( )

2、设mE <+∞，{()}n f x 为E 上一列.a e 有限的可测函数，若在E 上{()}n f x .a e 收敛于.a e

有限的可测函数()f x ，则{()}n f x 在E 上依测度收敛于()f x 。…………( ) 3、若{()},1,lim ()(),P p

n n n f x L p f x f x L →∞

?≥=∈则lim 0n p

n f f

→∞

-=。……………( )

4、设()f x 在(0,)+∞上R 可积,则()f x 在(0,)+∞上必L 可积。………………( )

5、若P 不是E 的聚点，则P 是E 的孤立点。……………………………………( )

6、设0mE =，则对E 上的任何实值函数()f x 都有

()0E

f x dx =?

。………………( )

7、设f 在q E R ?上可测，则由f 在E 上可积可以推出f 在E 上可积，但反之不

对。…( )

8、若{}n f 为E 上非负单调可测函数列，且lim ()()n n f x f x →∞

=，则

lim ()()n E

E

n f x dx f x dx →∞=??。…( )

四、计算题与证明题 1、证明：若A B ?，B B C ，则A A C 。

2、设()f x 是1R 上的实值连续函数，a 是任意给定的实数，证明(){}G x f x a

=>是开集。

3、设1E ，2E 都是可测集，试证：()()121212mE mE m E E m E E +=+。

4、设在可测集E 上，

()()n f x f x μ

??→，且()()1.n n f x f x a e +≤于()1,2,

E n =，试证明：

()()lim ..n n f x f x a e →∞

=于E .

5、设

()()n f x f x μ??→,()()n f x g x μ

??→,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.

6、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.

7、计算2

20

1lim (1)

n

n nx dx x ∞

→∞++?

。

8、若111

,,0,,r p q r p q

>=+且有关函数的积分存在，证明：r p

q fg f g ≤。

答案

一．选择题

1．B 2．C 3．A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D 二．填空题

1.无穷多个

2.无穷

3.可测

4.几乎处处收敛

5. [1,2]

6.1

7.y ctg x π=

8.1

3 9.[0,1][0,1]? 10.有限个或可列个构成区间 三、判断题

1．× 2. √ 3. × 4. × 5. ×

6.√ 7、× 8.× 四、证明与计算

1.证明：根据集合的性质有：

()()\A A B C A

B

C =??????

?? ()()\A C A B C B C =????

并且集合

()\A B C 与()A B

C ，()\A B C 与B C 是不相交的。 由于B A ?，因此()B A

B

C B C ??????，由题设B

B C 可知()

A

B C B C ，

于是A A C 。

2、设/0x A ∈，则存在A 中的互异点列{}n x ，使得0n x x →，因()f x 连续，所以()()0lim n n f x f x →∞

=，

而

(),1,2,

n f x a n ≤=，由极限的保号性，

()0f x a ≤，因此0x A ∈，故A 是闭集。

由于G

A =，故G 是开集。

3、证明：由于1E ，2E 都是可测集，根据可测集的性质，12E E 和12E E 都是可测集。

如果1mE 和2mE 中至少有一个为+∞，则结论显然成立。 设1

mE <+∞，2mE <+∞。根据集合的性质可知

()()()1

211221212\\E E E E E E E E E E =????????

而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有

()

()()()()()()

()

121122121211

221

21

2121

2\\m E E m E E E m E E E m E E mE m E E mE m E E m E E mE mE m E E =++????????=-+-+=+-

所以()()121212mE mE m E E m E E +=+成立。

4、证明：因

()()n f x f x ?，则由黎斯定理，存在子列(){}k

n f x ，使得()()lim ...k

n k f x f x a e →∞

=于E 。

令()()()011k n n n n E E f x f x E f x ∞+=??

=>→????????

()f x ????，则00mE =。对任意00\x E E ∈，有

()()010n n f x f x +≤，且()()00lim n k f x f x →∞

=。

由于

(){}0

n

f x 是增加数列，故()()()0

lim lim k

n

n n k f x f x f x →∞

→∞

==，因此在0

\E E 上恒有

()()lim n n f x f x →∞

=成立，故()()lim ..n n f x f x a e →∞

=于E .

5、.证明: 由于

)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,

故对任何自然数n ,

}1|:|{n g f E x ≥-∈?}21|:|{n f f E x k ≥-∈ }21|:|{n

g f E x k ≥-∈,

从而})1|:|

({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({n

g f E x m k ≥-∈+

令∞→k

,即得 })1

|:|({n g f E x m ≥-∈0=.

但是

}:{g f E x ≠∈}1

|:|{1n

g f E x n ≥-∈=∞

=

故0}):({=≠∈g f E x m , 即)()(x g x f = a.e.于E.

6．叙述：设()f x 是E 上a.e.有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在

F δ上连续，且(),m E F δδ-<证明：()f x 是E 上的可测函数。

证明：,n N ?∈?闭集,n F E ?1

(),()2

n n m E F f x -<在n F 连续。令1,n k n k F F ∞∞===则

,()n n k

x F k x F f x ∞=?∈??∈

?在x 连续()f x ?在F 连续，又对

,()((

))(

())n n n k

n k

k m E F m E F m E F ∞∞==?-≤-=-1()2

n k n k

m E F ∞

=≤∑-<

， 故()0m E F -=，()f x 在F E ?连续，又()0m E F -=，所以()f x 是

E F -上的可测函数，从而是E 上的可测函数。

7．解：令2

21()(1)

n n

nx f x x +=+，易见 若01x <≤，则

2

2

1()11n nx f x n x +≤

≤+ 若1x >，则

222122

4

().(1)(1)(1)n n n n nx n n f x x x n x x -+≤

=≤≤++- 令21

01()41x g x x

x -≤≤?=?

<<∞

?

则在[)0∞，上()()n f x g x ≤，由

1

()g x dx <∞?

与1

()g x dx ∞

<∞?知

()g x 在R +是可积函数，

于是由控制收敛定理得：

0lim ()lim ()0n n n n f x dx f x dx ∞∞

→∞→∞

==??。

8．证明：若111,,0,

,r p q r p q >=+则1r r

p q

=+，于是由Holder 不等式

()()p r

q r

r p r E

E

E

f g

dx f dx g dx ''''

=?

??

令,r r

f f

g g ''==，则得到

()()p q r

r p r E

E

E

f g

dx f dx g dx ''''

=?

??