21.2.1直接开平方法解一元二次方程练习题1

21.2.1 直接开平方法解一元二次方程

要点感知1 对于方程x 2=p.(1)当p>0时，方程有_______的实数根，_______；(2)当p=0时，方程有_______的实数根，_______0；(3)当p<0，方程_______.

预习练习1-1 下列方程可用直接开平方法求解的是( )

A.9x 2=25

B.4x 2-4x-3=0

C.x 2-3x=0

D.x 2-2x-1=9

1-2若x 2-9=0，则x=_______.

要点感知2 解形如(mx+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程，先根据_______的意义，把一元二次方程“_______”转化为两个_______元_______次方程，再求解.

预习练习2-1 方程(x-2)2=9的解是( )

A.x 1=5，x 2=-1

B.x 1=-5，x 2=1

C.x 1=11，x 2=-7

D.x 1=-11，x 2=7

知识点用直接开平方法解一元二次方程

1.下列方程能用直接开平方法求解的是( )

A.5x 2+2=0

B.4x 2-2x+1=0

C.(x-2)2=4

D.3x 2+4=2

2.方程100x 2-1=0的解为( )

A.x 1=101，x 2=101-

B.x 1=10，x 2=-10

C.x 1=x 2=101

D.x 1=x 2=10

1- 3.(丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( )

A.x-6=4

B.x-6=-4

C.x+6=4

D.x+6=-4

4.(鞍山中考)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x-1)2=b 的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.有两个实数根

5.关于x 的一元二次方程2x 2-3x-a 2+1=0的一个根为2，则a 的值为( )

A.1

B.3

C.-3

D.±3

6.一元二次方程ax 2-b=0(a ≠0)有解，则必须满足( ) A.a 、b 同号 B.b 是a 的整数倍 C.b=0

D.a 、b 同号或b=0 7.对形如(x+m)2=n 的方程，下列说法正确的是( )

A.用直接开平方得x=-m ±n

B.用直接开平方得x=-n ±m

C.当n ≥0时，直接开平方得x=-m ±n

D.当n ≥0时，直接开平方得x=-n ±m 8.若代数式(2x-1)2的值是25，则x 的值为_______

9.完成下面的解题过程：

(1)解方程：2x 2-8=0； (2)解方程：3(x-1)2-6=0.

解：原方程化成_______，解：原方程化成_______，

开平方，得_______，开平方，得_______，

则x 1=_______，x 2=_______ .则x 1=_______，x 2=_______.

10.用直接开平方法解下列方程：

(1)x 2-25=0； (2)4x 2=1； (3)3(x+1)2=31

； (4)(3x+2)2=25.

11.方程2x 2+8=0的根为( )

A.2

B.-2

C.±2

D.没有实数根

12.若a 为方程(x-17)2=100的一根，b 为方程(y-4)2=17的一根，且a ，b 都是正数，则a-b 的值为( )

A.5

B.6

C.83

D.10-17

13.(枣庄中考)x 1，x 2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( )

A.x 1小于-1，x 2大于3

B.x 1小于-2，x 2大于3

C.x 1，x 2在-1和3之间

D.x 1，x 2都小于3

14.(内江中考)若关于x 的方程m(x+h)2+k=0(m 、h 、k 均为常数，m ≠0)的解是x 1=-3，x 2=2，则方程m(x+h-3)2+k=0的解是

( )

A.x 1=-6，x 2=-1

B.x 1=0，x 2=5

C.x 1=-3，x 2=5

D.x 1=-6，x 2=2

15.(济宁中考)若一元二次方程ax 2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4，则

a b =_______. 16.已知方程(x-1)2=k 2+2的一个根是x=3，求k 的值和另一个根.

17.用直接开平方法解方程：

(1)4(x-2)2-36=0； (2)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0.

18.若2(x 2+3)的值与3(1-x 2)的值互为相反数，求2

3x x 的值.

19.在实数的范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a 2-b 2，根据这个规则求方程(x+2)*5=0的解.

20.自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h=4.9t 2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？

挑战自我

21.如图所示，在长和宽分别是m 、n 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形.

(1)用m ，n ，x 表示纸片剩余部分的面积；

(2)当m=12，n=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.

参考答案

要点感知1 两个不相等， ;,21p x p x =

-=两个相等，021==x x ，无实数根

预习练习1-1 A 1-2.±3

要点感知2 平方根开平方一一

预习练习2-1 A

1.C.

2.A.

3.D.

4.C.

5.D.

6.D.

7.C.

8.3或-2

9.（1）42=x ，2±=x ，2，-2 （2）2)1(2=-x ，21±=-x ，21-，21+ 10.（1）5,521-==x x ，（2）21,2121-==x x ，（3）34,3221-=-=x x ，（4）3

7,121-==x x

11.D. 12.B. 13. A. 14. B.

15.4 16.2±=k ，另一个根为-1

17.(1)移项，得4(x-2)2=36，

∴(x-2)2=9.

∴x-2=±3.

∴x 1=5，x 2=-1.

(2)移项，得4(3x-1)2=9(3x+1)2，

即2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)=-3(3x+1).

∴3x+5=0或15x+1=0.

∴15

1,35

21-=-=x x . 18.由题意可得2(x 2+3)+3(1-x 2)=0，

∴x 2=9.∴x 1=3，x 2=-3.

∴23x x +的值为3

2或0. 19.由题意可得(x+2)2-52=0，

∴x 1=-7，x 2=3.

20.当h=19.6时，4.9t 2=19.6.

∴t 1=2，t 2=-2(不合题意，舍去).

∴t=2.

答：到达地面需要2秒.

挑战自我

21.(1)mn-4x 2；

(2)根据题意得mn-4x 2=4x 2，

将m=12，n=4代入上式，得x 2=6.

解得x 1=6,x 2=6-(舍去).

答：正方形的边长为6.

九年级上直接开平方法教案

九年级上直接开平方法教案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次── 转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 B C A Q https://www.360docs.net/doc/6818884182.html, P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2 p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12 x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)(入门简单))

解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2(1)9x -=；（2）2(21)3x +=；（3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；（3）26(2)1x +=；（4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ．

6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02x x ---+= 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（3）23(1)12x +=；（4）2 410y y ++=；（5）2884x x -=；（6）2310y y ++=．

第21章一元二次方程

第二十一章一元二次方程巩固练习题姓名：__________ 一．选择题（共10小题） 1．方程(m ﹣1)x 2+2x +3=0是关于x 的一元二次方程，则（） A ．m ≠一1 B ．m ≠1 C ．m ≠2 D ．m ≠3 2．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5 3．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ． 12 4．方程：x 2﹣25=0的解是（） A ．x =5 B ．x =﹣5 C ．x 1=﹣5，x 2=5 D ．x =±25 5．一元二次方程x 2+6x ﹣5=0配方后变形正确的是（） A ．(x ﹣3)2=14 B ．(x +3)2=4 C ．21(6)2 x += D ．（x +3）2=14 6．用公式法解方程4x 2﹣12x =3所得的解正确的是（） A ．32x -±= B ．32x ±= C ．32x -±= D ．32x ±= 7．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（） A ．x 1=1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1=﹣1，x 2=2 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣2 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 9．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．m ＜﹣1 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞﹣1且m ≠0 10．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a %，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（） A ．188(1+a %)2=118 B ．188(1﹣a %)2=118 C ．188(1﹣2a %)=118 D ．188(1﹣a 2%)=118 二．填空题（共10小题） 11．已知关于x 的方程mx |m ﹣2|+2（m +1）x ﹣3=0是一元二次方程，则m = ． 12．把一元二次方程3x （x ﹣2）=4化为一般形式是． 13．方程（x ﹣1）2=1的解为．

人教版初中数学第1课时直接开平方法2教案

21.2.1 配方法第1课时直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

B C A Q https://www.360docs.net/doc/6818884182.html, P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2 p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=± 即x 1 ，x 2 可以验证，和都是方程 12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=± ，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=± 即，方程的两根为t 1 -12，t 2 -12 例1：解方程：x 2+4x+4=1

因式分解法、直接开平方法(2)

第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2）主备人备课时间集体修订时间课型新授课授课人许大精授课时间教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。知识与能力：通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生观察、类比、转化的思维能力．情感态度价值观：通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。教学难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学课时：1课时教学方法：自主、合作、探究教学媒体：多媒体教学过程：（一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，

若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ；若x2=2，则x= 。答案：平方根，±，±2，±。（二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。（四）讲解例题展示课本P．7例1，例2。按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析一、单项选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x ﹣3）2=4+9 2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1 3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k 的取值范畴是（） A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤ 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分不为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（） A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，打算在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则能够列出关于x的方程是（） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 7．下列方程有两个相等的实数根的是（） A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0 8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务进展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛进展，2014年增速位居全国第一．若

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。二、重难点：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。四、教学过程：（一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。（1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0）（3）x2= 25 （二）探索问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程，整理，得

对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？（老师）解出完整的过程。小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。练习：解方程下列方程。（1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程（1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程（1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习六、课外作业：P16复习巩固第1题

一元二次方程的解法(直接开平方法)

用直接开平法解一元二次方程学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。重点：用用直接开平方法解一元二次方程；难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解；教学过程：一、检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。（1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。（2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。三、新课讲解例1：解下列方程（1）x 2＝4；（2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程（1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程：（1）12y 2－25＝0；（2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习

1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程（1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言）六、小测解下列方程（1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。

一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题

一元二次方程的解法（直接开平方法）一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（） A. 2 30x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程2 32640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 2 43b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2 - C.2 ± D.2 ± 5. 若2 (1) 10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 22(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 3.一元二次方程2 2(21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程 ()412=-x 的解是______________。三、用直接开平方法解下列一元二次方程（1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）22((1x = （4）2 269(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2) 9x +=的两个根，求αβ +的值。

人教版 21章一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；

（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为()n m x =+2的形式。（4）若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式；（4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

2221直接开平方法解一元一次方程

22.2.1 直接开平方法解一元一次方程学习目标 1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x－1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2－9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x－1)2－9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．

归纳：如果方程能化成的形式，那么可得活动2 知识运用课堂训练例1用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2－24n+16=11 练习：（1）2x2－8=0 （2）9x2－5=3 （3）(x+6)2－9=0 （4）3(x－1)2－6=0 （5）x2－4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2－1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活动3 归纳内化应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)

? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；【（3）26(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2 ．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；

2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（ 12. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；

九年级上第21章《一元二次方程》基础练习含答案(5套)

基础知识反馈卡·21.1 时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) ) (的一元二次方程，则x 是关于0＝c ＋bx ＋2x 1)－a (．若1 A ．a ≠0 B．a ≠1 C ．a ＝1 D ．a ≠－1 化成一般形式后二次项的系数 1)－x (x ＝1＋x 1)＋m (－2x 2．一元二次方程2为1，一次项的系数为－1，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 二、填空题(每小题4分，共12分) ＝ m 的一元二次方程，则x 是关于0＝1＋mx 3＋|m |x 2)＋m (．方程3_______________. ．______的值是m ，则2有一个解为0＝5＋x 1)－m (＋2mx 的方程x ．若关于4 ，二次项 ________________化为一般形式为5＝23)－x (．把一元二次方程5为________，一次项系数为__________，常数项为________. 三、解答题(共7分) ，求 1＝－x 有一根是0＝5＋mx 3＋2x 1)－m (2的一元二次方程x ．已知关于6m 的值．

时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) ) (，正确的配方为0＝1－x 23 －2 x ．用配方法解方程1 109＝ 2? ????x －13D. 0 ＝109＋2? ????x －13C. 59＝2? ????x －23B. 89＝2? ????x －13A. ) (的根的情况是0＝14 ＋x ＋2 x ．一元二次方程2 A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分) ________. ＝2x ，________＝1x 的解0＝12－x 4－2x ．方程3 ．____________配方后的方程为0＝5－x 2＋2x ．4 ________. ＝x ，得到3＝x 12－2x 4．用公式法解方程5 三、解答题(共7分) 0. ＝2－mx －2x 的一元二次方程x ．已知关于6 (1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．

直接开平方法练习题

22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____= （x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2p ）2 2p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12 x ·2x=8 x 2=8

根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22 可以验证，22和-22都是方程1 2 x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以22秒后△PBQ的面积等于8c m2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为t1=2-1 2 ，t2=-2- 1 2 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思

直接开平方法和因式分解法教案设计

直接开平方法和因式分解法【教学目标】 1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。 3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。【教学重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。【教学过程】一、提问导入怎样解方程(x+1)2=256的？让学生说出作业中的解法，教师板书。解：1．直接开平方，得x+1=±16；所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17。 2．原方程可变形为： (x+1)2-256=0；方程左边分解因式，得： (x+1+16)(x+1－16)=0；即可(x+17)(x－15)=0；所以x＋17=0，x－15=0；原方程的解：x1＝15，x2＝－17。二、例题讲解与练习巩固 1．例1：解下列方程：（1）(x＋1)2－4＝0；（2）12(2－x)2－9＝0。分析：两个方程都可以转化为a(x-k)2=b （a≠0，ab≥0）的形式，从而用直接开平方法求解。

解（1）原方程可以变形为： (x＋1)2＝4，直接开平方，得： x＋1＝±2。所以原方程的解是：x1＝1，x2＝－3。原方程可以变形为________________________，有________________________。所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________。 2．说明：（1）这时，只要把(x+1)看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。 3．练习一解下列方程：（1）(x＋2)2－16＝0；（2）(x＋2)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0。三、读一读四、讨论、探索：解下列方程（1）(x+2)2=3(x+2)；（2）2y(y-3)=9-3y；（3）( x-2)2— x+2 =0；（4）(2x+1)2=(x-1)2；（5）x2-2x+1=49。五、本课小结 1．对于形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程，只要把(x-k)看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式，用直接开平方法解。 2．当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

一元二次方程及其解法直接开平方法

一元二次方程及其解法直接开平方法【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点进阶：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点进阶： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：

第21章一元二次方程测试题

第21章一元二次方程测试题一．选择题（共14小题,42分） 1．若方程（a+1）x2+ax﹣1=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a≠0C．a≠1D．a≠﹣1 2．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．1 3．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣4 4．若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（） A．正数B．非负数C．一切实数D．零 5．一元二次方程x2﹣3x=1的两个实数根为α，β，则α+β值为（）A．3B．﹣1C．﹣3D．1 6．将一元二次方程x（x﹣9）=﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（） A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3 7．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（） A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0 D．x（x﹣1）=x2． 8．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=0 9．某区2016年应届初中毕业生为5万人，2017年、2018年两届毕业生一共为12万人，设2016年到2018年平均每年学生人数增长的百分率为x，则方程可列为（）A．5（1+x）2=12B．5+5（1+x）2=12 C．5+5（1+x）+5（1+x）2=12D．5（1+x）+5（1+x）2=12 10．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

一元二次方程的解法直接开平方法教案

第二课：一元二次方程的解法-----直接开平方法教学目的：掌握解一元二次方程的直接开平方法；重点、难点：直接开平方法解一元二次方程教学过程：一、探索：请你和同学一起来探讨如何解下列方程：（1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 归纳什么是直接开平方法；二、新课：例1解下列方程：（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解：（1）移项：(2) 直接开平方： ∴原方程的解是 2、练习：解下列方程：（1）x2＝169；（2）x2－7=0 （3）45－x2＝0；(4) 12y2－25＝0 (5)16x2－49=0 (6)2x2－32=0 例2解下列方程（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0. 分析：两个方程都可以转化为（）2=a的形式，从而用直接开平方法求解. 解：（1）（2）

4、练习：解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）(1－3x )2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）（2x －3）2=5 (6)(x+1)2－12=0 (7) (x －5)2－36=0 (8) (6x －1)2=25 三、堂上练习： 1、用直接开平方法解下列方程；（1）012=-x （2）0162=-x （3）01212=-y （4）12822=x （5）021 22=-x （6）3432=y （7）x x x x +=-225 （8）15272-=-x

（9）1652=+)(x （10）49172=+)(x （11）41732=-)(y （12）010062=-+)(y 四、成果检测： 1、解下列方程（1）0642=-x （2）762=+y （3）3632=x （4）042=-)(x （5）16542=-)(y （6）24362=+)(y （7）8321 2=-)(x （8）0101012=-x （9）01622=-x （ 10）041212=-+)(x

21.2解一元二次方程——直接开平方法的教学设计

教学设计案例 21.2 解一元二次方程第1课时直接开平方法一、内容和内容解析（1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程（2）内容解析：一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。二、目标和目标解析 1.目标： (1)理解一元二次方程降次的转化思想 (2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程． 2.目标解析达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。三、教学问题诊断分析在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。