二次函数的几种变换

解析二次函数的一般式的三种变换

二次函数的一般式的用途非常广泛，其中与函数图像的对称变换相结合是一个亮点，经常在高考题中出现，考察了同学们的灵活应用能力。为此，就常见几种形式归类如下：

一. 2()||f x ax bx c =++ 1、变换过程：

|

|2x x x 2c bx ax y c bx ax y ++=????????????→?++=轴上方

轴为对称轴翻折到轴下方的图像以把2、草图：以△>0为例,如图一。 3、性质：

定义域为R ；值域:[0,+∞); 对称性：以a

b

x 2-

=为对称轴; 单调性：减区间（-∞,1x ）和（2,2x a

b

-

）； 增区间（1x ，a

b

2-）和（2x ,+∞）。

奇偶性：若0=b ，函数为偶函数； 若0≠b ，函数为非奇非偶函数；

例一.（08浙江卷）已知t 为常数，函数x x y --=22

t=__ _

解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为1,x =下方图像翻到x 轴上方.由区间[0，

3]上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15,t =或检验5t =时,

(0)52f =>不符,而1t =时满足题意.

点评：

二. 2()||f x ax b x c =++ 1、变换过程：

c

x b x a y c bx ax y ++=?????????????→?++=||||2y 2轴为对称的图形

侧图像关于保留右侧图像，再作右2、草图：以△>03. 性质：

定义域为R ；值域:[a b ac 442-,+∞);

对称性：以a

b

x 2-=为对称轴;

单调性：减区间（-∞, a b 2）和（0，-增区间（a b 2，0）和（a

b

2-,+奇偶性：函数为偶函数；

例二．关于x 的方程()01122

2=+---k x x ，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【解析】据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为2

0t t k -+=②，作出函数21

y x =-的图像如图2，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0

程②有两个不等正根时，即1

04

k <<此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程2

1x t -=的

解有8个，即原方程的解有8个；当1

4

k =时，方程②有两个相等正根t ＝

12

，相应的原方程的解有4个。 例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．

解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数； 当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++， ∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-

此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．

三. 2

()||f x ax bx c =++ 1.变换过程：

222||||ax bx x ax bx c ax bx c ++++把轴下方的图像翻着上去图像向上平移个单位

2.草图：以△>0，c>0为例，如图四；

3.性质：定义域为R ；值域:[c,+∞);

对称性：以a

b

x 2-=为对称轴;

单调性：减区间（-∞,0）和（a

b

2-，2x ）；

增区间（0，a

b

2-

）和（2x ,+∞）。 奇偶性：若0=b ，函数为偶函数；

若0≠b ，函数为非奇非偶函数；

例三．已知函数2()|2|f x x x c =-+下面几个命题正确的是 (1).若c=0，函数为偶函数；（2）存在常数c 使得方程()0f x =有4个根； （3）函数的对称轴为1=x ；（4）函数()f x 的最小值为0。 解析：函数()f x 为非奇非偶函数，与C 的值无关，（1）错；

由函数图像可知，若)0,1(-∈c 满足()0f x =有4个根，（2）对；（3）正确； 函数()f x 的最小值为c ，当c=0时，最小值才为0，（4）错误。