2016高考三角函数题型归纳

2016高考三角函数题型归纳

知识点梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1y=sinx

-3π2

-5π2

-7π2

7π2

5π

2

3π2

π2

-π2

-4π-3π

-2π4π

3π

2ππ

-π

o

y x

1-1y=cosx

-3π

2

-5π2

-7π

2

7π2

5π2

3π2

π2

-π2

-4π-3π-2π4π

3π

2π

π

-π

o

y

x

y=tanx

3π2

π

π2

-

3π2

-π

-

π2

o

y

x

y=cotx

3π2

π

π2

2π

-π

-

π2

o

y

x

2、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?????

?

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是

?????

?

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

x y tan =的递增区间是??? ??

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3、三角函数的诱导公式

sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα

cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα

tan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα

sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα

cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα

tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα

sin 2(α)+cos 2(α)=1

4、两角和差公式

5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα

sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α)

cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

=； 2

cos 12cos α

α+±=； α

αααααα

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan

-=+=+-±

=

7、函数B

x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ；其图象的对称轴是直线

)(

2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心

8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现

无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”

起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左

(?＞0)或向右(?＜0＝平移ω

?|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

9、对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

10、求三角函数的单调区间：

一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单

调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 11、求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

12、经常使用的公式 ①升（降）幂公式：

21c o s 2s i n 2αα-=

、 21cos 2cos 2αα+=、 1

sin cos sin 22ααα

=；

②辅助角公式：

22

sin cos sin()a b a b ααα?+=++（?由,a b 具体的值确定）；

二、典型例题

弦切互化

例1．已知2tan =θ，求（1）

θ

θθ

θsin cos sin cos -+；

解：（1）2232

121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+

=

-+θθθ

θθθ

θθθθ； 练习：θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2

2222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3

2

4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222

-=

++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 函数的定义域问题

例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。

解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期??

?

???-23,2ππ上符合①

的角为??????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为??????

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=a a x f y a

的函数，则其定义域由

()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义

同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域

一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例3、求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。

解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （

2

）

()[].

0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 说明：

练习：求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos 2sin()[22]4

π

t x x x =+=+∈-，，

则原函数可化为2213

1()24

y t t t =++=++，

因为[22]t ∈-，，所以当2t =时，max 32y =+，当1

2

t =-时，min 34y =，

所以，函数的值域为3

[32]4

y ∈+，。 （2）函数的最大值与最小值。

求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是： （1）sinx,cosx 的有界性； （2）tanx 的值可取一切实数；

（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。 例4、求下列函数的最大值与最小值

（1）x y sin 2

1

1-= （2）4sin 5cos 22-+=x x y （3）

??

?

???∈+-=32,31cos 4cos 32ππx x x y

分析：（1）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。 解：(1)

221sin ;261sin 1sin 11sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴?????≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

[]2

22592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ?

?=+-=-+-=--+∈- ??

?

x

y

O 12

π

6

5π2

2

-

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-

+∈）时，y 有最小值9-；

当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=+∈），y 有最大值1。

（

3）

4

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=??

?

???-∈??????∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ

函数的周期性

例、求下列函数的周期

()x x f 2

c o s )(1= ())6

2s i n (2)(2π

-=x x f 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当

π2+u u 增加到且必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而

),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，

函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2）??? ??-=+-62sin 2)262sin(2πππx x 即())62sin(26421

sin 2πππ-=??????-+x x

)6

2s i n (2)(π

-=∴x x f 的周期是π4。

说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。

一般地，函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y （其中?ω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ω

π

2=

T 。

例6利用图像求函数的周期

右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数周期

解:353

46124T πππ=-

=,T π∴=

例2下列函数中，图象的一部分如右图所示,求函数)sin(?ω+=x A y 的周期.

解:)6

(1241π

π--=T ,π=T

例6、已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- 2s i n 22c o s 2

22s i n (2

)

4

π

x x x =-

=- 所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈， 所以，当2242ππx k π-

=+，即38

πx k π=+时，()f x 最大值为22；

函数的单调性

例8、下列函数，在??

?

???ππ,2上是增函数的是（ ）

x y A sin .= x y B c o s = x y C 2s i n = x y D 2c o s =

分析：判断。在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤

解：sin y x = 与cos y x =在2ππ??

????

，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤ ，

22

,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。

例9、已知函数2

3

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的递增区间. 解：（Ⅰ）2

3

5cos 35cos sin 5)(2+

-=x x x x f )3

sin 2cos 3cos 2(sin 52cos 352sin 25

23522cos 1352sin 25π

π

x x x x x x -=-=++-=

)3

2sin(5π

-

=x

∴最小正周期T=

ππ

=2

2 （Ⅱ）由题意，解不等式ππ

π

ππ

k x k 22

3

222

+≤

-

≤+-

得 )(12

512

Z k k x k ∈+≤

≤+-

ππ

ππ

)(x f ∴的递增区间是)](12

5,

12[Z k k k ∈++-

ππ

ππ

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ω?ω?ωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=

<>>+ω?ω

三、练习 1. 函数x

y sin 1

=

的定义域为（ ） {}

[)(]

{}0.

1,00,1.

,.

.

≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R

A π

2. 函数)6cos(π

+

=x y ，???

???∈2,0πx 的值域是( ) ??

??????

?

?????

????-??

? ??-

1,211,2323,2121,23.D

C

B

A

3. 函数)0)(4

sin(>+

=ωπ

ωx y 的周期为

3

2π

，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）

1sin sin sin 2sin .+==-==x y D

x

y C x y B x y A

5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）

（1）x x y sin 2=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =

43

2

.

1.

D

C

B

A

6. 在区间???

??2,0π上，下列函数为增函数的是（ ）

x y D

x

y C

x

y B

x

y A cos sin cos 1sin 1.

-=-=-

==

7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）

[]

()

Z k k k D k k C

k k B k k A ∈?

????

?

+-++?

????

?

++??

????++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ

8. 如果4

π

≤

x ，则函数x x y sin cos 2+=的最小值是——————

9. 函数)2

434

(

tan π

ππ

≠≤=x x

x y 且的值域为（ ） []

(][)

(]

[)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1D

C

B

A

10、求函数)6

cos(

sin sin 2x x x y -+=π

的周期和单调增区间．

解 )s i n 6

s i n c o s 6(c o s s i n s i n

2

x x x x y ππ++= x x x cos sin 23sin 232+=x x 2sin 4

3)2cos 1(43+-= )2cos 4

3

2sin 43(43x x -+=)32sin(2343π++

=x ． ∴ 函数的周期 ππ

==2

2T ．

当 2

2π

π-

k ≤3

2π

+

x ≤2

2π

π+

k ，即 125ππ-

k ≤x ≤12

π

π+k (k ∈Z ) 时函数单调增加，即函数的增区间是 [125ππ-k ，12

π

π+k ] (k ∈Z )．

答案：B B 3 C C D B

2

2

1- B