2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学 解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．i 是虚数单位，复数734i

i

+=+

（ ）

（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）

17312525i + （D ）172577

i -+

2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-?≥--≤≥?

???

则目标函数2z x y =+的最小值为

（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）

5

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945

5．已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双

曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）

（A ）22

1520

x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）

22

33110025

x y -=

6．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC D的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点

B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD 平分CBF D；②2

FB FD FA =?；③AE CE

BE DE ??；④AF BD AB BF ??．

则所有正确结论的序号是 （ ）

7．设,a b R ?，则|“a b >”是“a a b b >”的 （ ）

（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要又不必要条件 【答案】C ．

【解析】

第Ⅱ卷

注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共12小题，共110分．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

【答案】60．

【解析】

试题分析：应从一年级抽取

4

60

4556

300?

+++

名．

考点：等概型抽样中的分层抽样方法．

10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．

俯视图

侧视图

正视图

【答案】203

p

． 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，

上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为2

2120142233

p

p p 鬃

+鬃=（3m ）． 考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．

11．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 【答案】12

-． 【解析】

试题分析：依题意得2

214S S S =，∴()()2

1112146a a a -=-，解得11

2a =-

页眉页脚换

．

考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式． 12．在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知1

4

b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 【答案】14

-． 【解析】

试题分析：∵3

2sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=

代入14

b c a -=得2a c =，由余

弦定理得

()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与

23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入

23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得

()2

34

0a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．

（方法二）显然1a 1，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则4

5a t t

=++．∵

(][),,444t t ???+

+，

∴(][)4

5,19,t t

?ゥ+++．

结合图象可得01a <<或9a >．

考点：方程的根与函数的零点．

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）

已知函数()2

cos sin 34

f x x x x π?

?

=?++ ?

?

?，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ??

-

????

上的最大值和最小值．

22

T p

p =

=． （Ⅱ）∵()f x 在区间,4

12

p

p

轾犏--

犏臌上是减函数，在区间,124

p p 轾犏-犏臌上是增函数，1

44

f p 骣÷?-=-÷?÷?桫，1

122

f p 骣÷?-=-÷?÷?桫，144f p 骣÷?=÷?÷?桫，∴函数()f x 在闭区间,44

p p 轾犏-犏臌上的最大

值为

14，最小值为1

2

-．

考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．

16．（本小题满分13分）

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．

()()346

3

10

0,1,2,3,k k C C P x k k C -×===\随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望()1236

210305

0E X ?

?=+??． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，

2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．

公式121211

cos ,n n n n n n ×=

×来求二面角F AB P --的余弦值．综合法：先利用三垂线定理

或其逆定理作出二面角F AB P --的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值． 试题解析：（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，

()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．

C

（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且1

2

EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形

ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．

∵PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，∵AM ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，∴BE CD ^．

（Ⅱ）连结BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．

又∵AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，∴PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ．∴直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM D为锐角，故EBM D

为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =，

而M 为PD 中点，

可得AM =，进而BE =

．故在直角三角形BEM

中，tan EM AB EBM

BE

BE ?==

，因此in s EMB ?，∴直线

BE 与平面PBD 所

C

18．（本小题满分13分）

设椭圆

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的左、右焦点为

12

,F F，右顶点为A，上顶点为B．已知

12

AB F

=．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．

标为4,33c c 骣÷

?-

÷?÷

?桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -

+==-，12323

c

c

y c +==，

进而圆的半径

r =

=

．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由

l r

，整理得2810k

k -+=，解得4k

=?l

的斜率为4+或4-．

考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 19．（本小题满分14分）

已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,

q M =-，集合

{}112,,1,2,

,n n i A x x x x q x q x M i

n -+?==++

．

（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A ?，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中

,,1,2,

,.i i a b M i

n ?证明：若n n a b <，则s t <．

20．（本小题满分14分） 已知函数()x

f x x ae

=-()a R ?，x R ?．已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且

12x x <．

（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明

2

1

x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大．

（2）0a >时，由()0f x ￠=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ￠，()f x 的变化情况如下表：

这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+￥．

∴()121ln 1

t t

x x t ++=

-． ①

令

()()1ln 1

x x

h x x +=

-，

()1,x ??，则

()()

2

1

2ln 1x x x

h x x -+-

￠=

-．令

()1

2ln u x x x x

=-+-，得()2

1x u x x 骣-÷?￠=÷?÷

?桫．当()1,x ??时，()0u x ￠>．因此，()

u x 在()1,+￥

上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ￠>，

故()h x 在()1,+￥

上单调递增，因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大，而由（Ⅱ）

，t 随着a 的减小而增大，∴12x x +随着a 的减小而增大．

考点：1．函数的零点；2．导数的运算；3.．利页眉页脚换用导数研究函数的性质

．