2014年高考理科数学 全国一卷 真题

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国Ⅰ卷）

6月7日15：00-17：00

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） （A ）[－2，－1] （B ）[－1，2） （C ）[－1，1]

（D ）[1，2）

（2）(1＋i )3

(1－i )2

＝（ ）

（A ）1＋i （B ）1－i （C ）－1＋i

（D ）－1－i

（3）设函数f (x )、g (x )的定义域都为R ，且f (x )时奇函数，g (x )是偶函数，则下列

结论正确的是（ ） （A ）f (x )g (x )是偶函数

（B ）|f (x )|g (x )是奇函数 （C ）f (x )|g (x )|是奇函数

（D ）|f (x )g (x )|是奇函数

（4）已知F 是双曲线C ：x 2－my 2＝3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐

近线的距离为（ ） （A ） 3

（B ）3

（C ）3m

（D ）3m

姓名______________________ 准考证号__________________________________

（5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有

同学参加公益活动的概率（ ） （A ）18

（B ）38

（C ）58

（D ）78

（6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线

OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为（ ） （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（7）执行下图的程序框图，若输入的a 、b 、k 分别为1、2、3，则输出的M ＝

（ ） （A ） 203

（B ） 165 （C ） 72

（D ） 158

（8）设α∈（0，π2），β∈（0，π

2），且tan α＝1＋sin βcos β，则（ ） （A ）3α－β＝π

2 （B ）2α－β＝π

2

O P

A

M x

（C ）3α＋β＝π

2 （D ）2α＋β＝π

2

（9）不等式组1

24x y x y +≥??

-≤?

的解集记为D ．有下面四个命题：

p 1：?（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：?（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：?（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：?（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≤－1，

其中的真命题是（ ） （A ）p 2，p 3

（B ）p 1，p 4

（C ）p 1，p 2

（D ）p 1，p 3

（10）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C

的一个焦点，若FP ＝4FQ ，则|QF |＝

（A ） 7

2

（B ） 52

（C ）3

（D ）2

（11）已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为（ ） （A ）（2，＋∞） （B ）（－∞，－2） （C ）（1，＋∞）

（D ）（－∞，－1）

（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则

该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （A ）6 2 （B ）4 2 （C ）6 （D ）4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题至第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题至第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为 ．（用数字填写答案） （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一个城市．

由此可判断乙去过的城市为．

（15）已知A、B、C是圆O上的三点，若AO＝1

2(AB＋AC)，则AB与AC的夹角

为．

（16）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A －sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：a n

＋2

－a n＝λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．

（18）（本小题满分12分）

从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差S2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差S2．

（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．

附：150≈12.2．

若Z～N（μ，σ2）则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝

0.9544．

（19）（本小题满分12分）

如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC ＝AB 1；

（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值．

A

A 1

B

B

C

C 1

（20）（本小题满分12分）

已知点A （0，－2），椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为3

2， F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23

3，O 为坐标原点．

（Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．

（21）（本小题满分12分）

设函数f (x )＝ae x

ln x ＋be x -1

x ，曲线y ＝f (x )在点（1，f (1)）处的切线为y ＝e (x －1)

＋2．

（Ⅰ）求a 、b ； （Ⅱ）证明：f (x )＞1．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE．

（Ⅰ）证明：∠D＝∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C：x2

4＋

y2

9＝1，直线l：

2

22

x t

y t

=+

?

?

=-

?

（t为参数）．

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若a＞0，b＞0，且1

a＋

1

b＝ab．

（Ⅰ）求a3＋b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a、b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

2014年普通高等学校招生全国统一考试

（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案

一、选择题

ADCAD CDCBB CB 二、填空题

13. 20- 14. A 15. π

2

三、解答题

17.（1）证明：由题意得11211

1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-??=-?

所以1211n n n n n a a a a a λ++++-= 又因为0n a ≠ 所以10n a +≠ 所以2n n a a λ+-=

（2）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列.

由（1）知121311

a a a a a λλ=-??-=?

因为11a =

所以2311a a λλ=-??=+?

因为1322a a a += 所以()221λλ+=- 所以4λ= 故24,n n a a +-=

所以{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143;n a n -=-

{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，24 1.n a n =-

所以121, 2.n n n a n a a +=--=

因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列.

18.解：

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数

1700.021800.091900.222000.33x =?+?+?+? 2100.242200.082300.02+?+?+? 200=

()()()2

2

2

2300.02200.09100.22s =-?+-?+-? 22200.33100.24200.08300.02+?+?+?+? 150=

（2）（1）由（1）知，()~200,150Z ，从而

()()187.8212.220012.220012.20.6826P Z P Z <<=-<<+=

（2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826 依题意知()~100,0.6826X B ，所以1000.682668.26EX =?= 19.解：

（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO .因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且

O 为1B C 与1BC 的中点. 又1B O CO =，故1AC AB =

（2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO = 又因为AB BC =，所以BOA BOC ?

故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直.

以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.

因为160CBB ∠=，所以1CBB 为等边三角形.又AB BC =，则

A ? ??，()1,0,0B

，1B ??

? ???

，0,C ??

? ???

1AB ?= ??

，111,0,A B AB ?== ??，

111,B C BC ??

==- ? ??

? 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向

量，

11100n AB n A B ??=??

?=??

即00

3y x z =??-=??

所以可取(1,3,n =

设m 是平面111A B C 的法向量，则111100

m B C m A B ??=???=??

同理可取(1,m = 则1

cos ,7

n m n m n m

?=

= 所以二面角111A A B C --的余弦值为1

7

.

20.解：

（1）设(),0F

c ，由条件知，2

c =c =又

c a =，所以2a =，222b

a c =-1= 故E 的方程为2

214

x y +=.

（2）依题意设直线l ：2y kx =-

将2y kx =-代入2

214

x y +=得

()2

2

1416120k x

kx +-+=

当()2

16430k ?=->，即2

3

4k >

时，1,22

841k x k ±=+

从而12241PQ x k =-=+

又点O 到直线PQ

的距离d =，所以OPQ 的面积

21241

OPQ

S

d PQ k =?=+

t =，则0t >，2

44

44OPQ

t S

t t t

=

=++ 因为4

4t t

+

≥，当且仅当2t =

，即k =时等号成立，且满足0?> 所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为

2y x =-.

21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112ln x x x x a b b

f x ae x e e e x x x

--'=+-+,

由题意可得()12f =,()1f e '= 故1, 2.a b ==

（2）由（1）知，()12ln x x f x e x e x -=+从而()1f x >等价于2

ln x x x xe e

->-.

设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+.

所以当10,x e ??∈ ???时，()0g x '<;当1,x e ??

∈+∞ ???时, ()0g x '>.

故()g x 在10,e ?? ???单调递减，在1,e ??

+∞ ???单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为

11g e e ??

=- ???

.

设函数()2

x h x xe e

-=-，则()()1x h x e x -'=-.

所以当()0,1x ∈时，()0h x '>;当()1,x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在()0,1单调递增，在

()1,+∞单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为()11h e

=-

. 综上，当0x >时，()()g x h x >,即()1f x >.

22.（1）由题设得，,,,A B C D 四点共面，所以D CBE ∠=∠ 由已知得，CBE E ∠=∠ ,所以D E ∠=∠

（2）设BC N 中点为，连接MN ,则由MB MC =,知MN BC ⊥

所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM AD ⊥ 即MN AD ⊥所以AD //BC ,故A CBE ∠=∠. 又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠由（1）知D E ∠=∠ 所以ADE △为等边三角形。

23.（1）曲线C 的参数方程为2cos ()3sin x y θ

θθ

=??

=?为参数 直线l 的普通方程为260x y +-=

（2）在曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为d 3sin 6θθ=+-

则0

)6sin 30d PA θα=

=+-其中α为锐角。且4tan 3θ=

当sin()θα+1=-时，5

PA 取得最大值

当sin()θα+1=5

PA 取得最小值

24.（111

a b =

+≥得2ab ≥，当且仅当a b ==

故33a b +≥≥a b ==时等号成立。

由于6>，从而不存在,236a b a b +=使得。