全国百校名师联盟2018-2019学年高二月考领航卷数学(理)试题Word版含答案

全国百校名师联盟2018-2019学年高二月考领航卷

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知函数()()

22x f x x x e =-，则这个函数的导函数为（ ） A ．()()

'221x f x x x e =-+ B ．()()

'221x f x x x e =-+ C ．()()

'22x f x x e =- D ．()()

'21x f x x x e =+-

2.函数()f x =

1到a 的平均变化率为1

4

，则实数a 的值为（ ）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7 3.函数()2

13ln 42

f x x x x =-+

的递增区间为（ ） A ．()0,1，()3,+∞ B ．()1,3 C ．(),1-∞，()3,+∞ D ．()3,+∞ 4.已知函数()sin 23f x x π??

=-

??

?

，则'

3f π??

???

等于（ ）

A C.1

2

D ．1 5.曲线1

y x =

与直线230x y +-=所围成图形的面积为（ ） A ．12ln 24-- B ．1ln 24- C.1ln 22+ D ．3

ln 24

-

6.若点P 为曲线()32

1213

f x x x x =-+-上任意一点，且曲线()f x 在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的

取值范围为（ ） A ．04

π

θ<≤ B ．

4

2

π

π

θ≤<

C.

4

πθπ≤< D ．

34

4

π

πθ≤≤

7.已知()'

f

x 的图象如图所示，其中()'f x 是()f x 的导函数，则下列关于函数()f x 说法正确的是（ ）

A ．仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点

B ．因为()'0f x =有四个根，故函数()f x 有四个极值点 C.有2个极大值点，3个极小值点 D ．没有极值

8.若函数()2

ln x f x x

=在区间()0,m 上递减，则m 的取值范围为（ ）

A ．m e ≥

B ．0m e <≤ C.m ≥

D ．0m <≤9.已知直线2y kx =+与曲线ln y x =相切，则k 的值为（ ） A ．

31e B ．1e

C.1 D ．e 10.若0x ?>，2

3

32a ax x ≥-恒成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．02a <≤ B ．1

02

a <≤

C.01a <≤ D ．1a ≥ 11.定义在R 上的函数()f x 满足()'f x x <，且()11f =，则不等式()

2

1

4

20f x x

+-<的解集为（ ）

A ．(),1-∞

B ．()1,+∞ C.(),0-∞ D ．()0,+∞

12.在直角ABC ?中，AC BC ⊥，3BC =，5AB =，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且//DE BC ，沿着DE 将ADE ?折起到'A DE ?的位置，使得平面'

A DE ?与平面BCDE 所成二面角的平面角为60（其

中点'

A 为点A 翻折后对应的点），则四棱锥'

A BCDE -的体积的最大值为（ ）

A ．

3 B ．83 C.4

3

D ．3 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()()'

2

12x

f x f e ex x =+-，则()'

1f = ．

14.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.若在第h x 时，原油的

温度（单位：o

C ）为()()2

51306f x x x x =-+≤≤，则在第2h 时，原油温度的瞬时变化率为

o

C /h ．

15.已知函数()()21

,x

ax bx f x a b R e

-+=∈在区间()1,1-上是减函数，则22a b +的最小值是 ． 16.若函数()()32231210f x x x x a a R =--+-∈在()2,4-上有2个零点，则a 的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数()()()

2111f x x x =-++. （1）求函数()f x 的导函数()'f x ；

（2）求过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程.

18. 已知函数()()2

4ln ,f x ax bx x a b R =+-∈在1x =处有极值3a ，求实数a 、b 的值.

19. 已知函数()(),ax

f x xe c a c R =+∈，且1x =-为函数()y f x =的极值点.

（1）求实数a 的值；

（2）若当[]2,0x ∈-时，存在实数x 使得不等式()2

6f x c +>成立，求实数c 的取值范围.

20. 已知函数()()()3

2

2

23161f x ax a a x a x R =-+++∈.

（1）讨论函数()y f x =的单调性；

（2）当0a <时，求函数()y f x =在区间[]1,1-的最值.

21. 如图所示，有A 、B 、C 三座城市，A 城在C 城的正西方向，且两座城市之间的距离为100km ；B 城在C 城的正北方向，且两座城市之间的距离为100km .由A 城到B 城只有一条公路AC ，甲有急事要从A 城赶到B 城，现甲先从A 城沿公路AC 步行到点P （不包括A 、B 两点）处，然后从点P 处开始沿山路BP 赶往B 城.若甲在公路上步行速度为每小时6km ，在山路上步行速度为每小时3km ，设BPC θ∠=（单位：弧度），甲从A 城赶往B 城所花的时间为()f

θ（单位：km /h ）.

（1）求函数()y f

θ=的表达式，并求函数的定义域；

（2）当点P 在公路AC 上何处时，甲从A 城到达B 城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值. 22. 已知函数()()32ln f x x x ax a R =--∈.

（1）若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与圆()2

2

21x y -+=相切，求a 的值；

（2）若函数()f x 在()1,2上存在极值，求a 的取值范围； （3）若函数()y f x =有两个零点，求a 的取值范围.

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数学（理）试题参考答案

一、选择题

1-5:CBADD 6-10: BADAC 11、12：BB 二、填空题

13.2- 14.1- 15. 1

13

16.[){}14,303

三、解答题

17.解：（1）()()

()'22121321f x x x x x x =++-=-+. （2）由()3

2

f x x x x =-+，设切点的坐标为()00,x y

则所求切线方程为：()()

()322000000321y x x x x x x x --+=-+-

将点()1,1的坐标代入上述方程可得：(

)()

()32200000013211x x x x x x --+=-+-， 整理为：32

00020x x x -+=，解得：00x =，或01x =

将00x =或01x =代入切线方程，可求得切线方程为：y x =和21y x =-. 18.解：由()'

42f

x ax b x

=+-

，有()'

1240f a b =+-=，可得24a b += 由()13f a b a =+=，联立上述两方程消去b 得：34a a +=，当0a ≥时可得：1a =，此时2b =； 当0a <时可得2a =-，此时8b =

①当12a b =??=?

时，()224ln f x x x x =+-，()()()()2'

22212422x x x x f x x x x x +--+=+-==

， 故当1x =时函数()y f x =有极小值.

②当28a b =-??=?

时，()2

284ln f x x x x =-+-，()()()22

'421414480x x x f x x x x x -+-=-+-==-≤，

故函数()y f x =单调递减，没有极值.

由上知12a b =??=?

.

19.解：（1）()()'

1ax ax ax f

x e axe ax e =+=+，

由()'10f -=得()10a a e --=，解得：1a =， （2）由（1）知()()'1x

f x x e =+，令()'0f x >可得1x >-，故当1x >-时函数()f x 单调递增；当1

x <-时函数()f x 单调递减. 由()0f c =，()2

2

2f c e -=-

+，故有()()02f f >-，则()()max 0f x f c ==. 由存在实数20x -≤≤使得不等式成立，可得：2

6c c +>，解得：23c -<<.

20.解：（1）令()()()()()'222

66166161f x ax a a x a a x a x a a x a x ??=-++=-++=--??，

①当0a =时，()1f x =，()f x 为常数函数，则()f x 在R 上没有单调性. ②当1a =时，()()

2

'

610f

x x =-≥，故函数()f x 在R 上单调递增.

③当01a <<时，令()'

0f x >可得：1x >或x a <，则()f x 在(),1a 上递减，在(),a -∞，()1,+∞上递

增.

④当1a >时，令()'

0f x >可得：x a >或1x <，则()f x 在()1,a 上递减，在(),1-∞，(),a +∞上递增.

⑤当0a <时，令()'

0f

x >可得：1a x <<，故()f x 在(),1a 上递增，在(),a -∞，()1,+∞上递减.

（2）①当1a ≤-时，由（1）知函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递增，故

()()()22max 12316131f x f a a a a a a ==-+++=-+，()()()22min 123161951f x f a a a a a a =-=--+-+=--+.

②当10a -<<时，由（1）知函数()y f x =区间[]1,a -上单调递减，在区间(],1a 上单调递增；故

()()()43343min 2316131f x f a a a a a a a ==-+++=-++，

由()()()()

()2

2

2

1131951124431f f a a a a a a a a --=-+---+=+=+，

故当113

a -<≤-时，()()2

max 131f x f a a ==-+； 当1

03

a -

<<时，()()2max 1951f x f a a =-=--+； 21.解：（1）在Rt PBC ?中，100sin sin BC BP θθ==，100

tan tan BC CP θθ

==， 故()1100

1100502

150502cos 50

100636tan 3sin 3sin tan 3

3sin 3AP BP f θθθθθθθ-????=

+=-+?=-+

=?+ ?

?????.

由图知4

BAC π

∠=

，2

BCA π

∠=

，故函数()y f

θ=的定义域为,42

ππ

?? ??

?

（2）令()2cos sin 42g θππθθθ

-??=

<< ???

则()()2'

22

sin 2cos cos 12cos sin sin g θθθθ

θθθ

---==. 令()'0g θ>，可得1cos 2θ<

，由42ππθ<<可解得32

ππ

θ<<. 故函数()y g θ=的增区间为,32ππ??

???，减区间为,43ππ??

???

故当3

π

θ=

时，函数(

)min 1

23g g πθ-

??

===

???

故点P

所在的位置为PC =

处，甲所花最短时间为)

5013

.

22.解：（1）∵()'

22

3f

x x a x

=-

-，由()11f a =-，()'11f a =-，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()()111y a a x --=--，整理为：()1y a x =- 由切线与圆()2

2

21x y -+=

1

=，解得：1a =±

（2）∵()'

22

3f

x x a x

=-

-为()0,+∞上的增函数， ∴()()''10,20,f f ???即10,110,a a -?

解得：111a <<.

（3）由()3'

2

2323x ax f x x a x x --=--=，当0x >时由函数3

23y x a x

=--为增函数，

则函数()y f x =若存在零点，有且仅有一个，令()3

32g x x ax =--.

①当1a =时，()3'

32

x x f x x

--=，

令()()3

320h x x x x =-->，由()'

2

910h x x =->有13

x >

故当13x >

时函数()h x 单调递增，当1

03

x <<单调递减， 又由()10h =，()02h =-，111

20393

h ??

=

--< ???

可知当01x <<时()'0f x <，此时函数()f x 单调递减；当1x >时()'0f x >，此时函数()f x 单调递增， 故()()min 10f x f ==，此时函数()y f x =有且只有一个零点.

②当1a <时，由()110g a =->，()02g =-，故方程()0g x =在区间()0,1上有解.

③当1a >时，由()02g =-，()()()()

()323323232212110g a a a a a a a a a =--=-+-=-+->， 故方程()0g x =在区间()0,a 上有解

由上知当1a ≠时函数()y f x =有唯一的极小值点，记为0x x =，有300320x ax --=，可得3

0032ax x =-

要使得函数()y f x =有两个零点，至少需要

()()3333

0000000002ln 2ln 3222ln 20f x x x ax x x x x x =--=---=--+<，可得30

0ln 1x x +> 由函数()3ln l x x x =+单调递增，且()11l =，可得：01x >，由2

00

2

3a x x =-

，可得1a > 由上知当1a >时，()()00f x f x =<极小值，且01x >，

而()3

022222

000000000212132x a x x x x x x x x x -??=-=+-=+>> ??

?， 由常用不等式1x e x ≥+，可知a

e a >，故

()()()()()33222221210a a a a a a a a a a

f e e a ae e e ae e a e a a e a e ??=-->--=-+≥+-+=->??????

， 又1

01a

e a

-<<

<， 故()()()3332322121210a

a

a a a a a a a

f e

e

a a e e a e a e e ae e ------??=+-?=+?-?=+->??，

故此时函数()y f x =有且仅有两个零点. 由上知a 的取值范围为1a >.