高三不等式专题复习题

不等式复习题

一、单选题

1．设x y R +∈、且()1xy x y -+=，则（） A

．1)x y +≥ B

．1xy ≤

．21)x y +≤

．1)xy ≥

2．已知,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y +-≥??

--≤??-≤?

则1z x y =+-的最小值为（）

A ．2

．

D ．1

3．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．(,0]-∞

B ．5[0,)7

C ．5(,)7

-∞

D ．5(,0)(0,)7

-∞?

4．若a b R ∈、，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（） A ．222a b ab +>； B

．a b +>； C ．

2b a

a b +≥； D ．1

2ab ab

>. 5．设x ，y 满足约束条件10210x y x z x y y +≥??

≥=+-??≥?

，则的最小值是（）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

6．若ln 2ln 3ln 5

,,235

a b c =

==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<

D ．b a c <<

7．已知变量x 、y 满足220

110

x y x x y -+≥??

≤??+-≥?

，则42x y x +++的取值范围是（）

A ．3,32??????

B ．55,32??????

C ．23,32??????

D ．1,22??????

8．设,x y 满足约束条件2103230360x y x y x y -+≤??

-+≥??+-≤?

，则z =的最小值为（）

A ．1 B

．

．13 D

9．已知x ，y 满足10,

0,3,x y x y x --≥??

+≥??≤?

则22(1)(2)x y -+-的取值范围是（）

A ．[]5,25

B ．[]1,25

C ．[]2,29

D ．5,292??????

10．已知集合1|,0A y y x x x ??

==+≠????

，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ?=，则集合P 的子集个数为（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

11．在平面直角坐标系中，不等式组0,

10,0x y x y y -≥??

+-≤??≥?

表示的平面区域的面积是( )

A ．1

B ．

C ．

D ．

12．设a b c ≥≥，且1是一元二次方程2 0ax bx c ++=的一个实根，则

的取值范围为 A ．[20]-，

B ．1,02

??-????

C ．12,2

??--???

D ．11,2

??--???

二、填空题

13．已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则

a b

+的最小值是______. 14．已知函数2

()f x ax bx =+，且1(1)22(2)4f f ≤≤≤-≤，

.向量(,)m a b =，(0,2)n =，则m n -的取值范围为__________； 15．若0m >，0n >，1m n +=且

()1

0t t m n

+>的最小值为9，则t =______.

16．由不等式组0

020

x y y x ≤??

≥??--≤?

确定的平面区域记为1Ω，由不等式组12x y x y +≤??+≥-? 确定的

平面区域记为2Ω，若在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为________.

三、解答题

17．已知()()2

366f x x a a =-+-+.

(1)解关于a 的不等式()10f >；

(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值．

18．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .

⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360

360p t Q t

-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，

该线路每分钟的净收益最大？

19.（1）解关于x 的不等式：2

(1)(1)2()a a x a x a a R +->++-∈．（2）如果24x a =-在上述表达式的解集中，求实数a 的取值范围． 20．已知0x > ， 0y > ，280x y xy +-= . （1）求xy 的最小值；（2）求x y + 的最小值.

21．汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、

3d ，当车速为v （米/秒），且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随

地面湿滑成都等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）.

（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ，并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？

22．如图为一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20AB =米，10BC =米，120ABC ?∠=，拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB x =，EF y =（单位：米）.

（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置；

（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短.

参考答案

1．A 【详解】

∵x ，y ∈R +且xy ﹣（x +y ）＝1，

则xy ＝1+（x +y ）

化为：

﹣1≥0，

，即xy (2

1≥+,

xy ＝1+（x +y ）(

x y +≤,即()()2

440x y x y +-+-≥

解得)

21x y +≥

故选：A ． 2．D 【解析】

不等式组对应的可行域如图所示，

因为z =所以z 表示可行域内一点到直线x+y-1=0倍，由可行域

可知点A （2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.z =故选D. 3．C 【详解】

由题意，f （x ）＜﹣m +4，可得m （x 2﹣x +1）＜5． ∵当x ∈[1，3]时，x 2﹣x +1∈[1，7]， ∴不等式f （x ）＜﹣m +4等价于m ＜

x x -+．

∵当x ＝3时，251

x x -+的最小值为5

7，

∴若要不等式m ＜25

1x x -+恒成立，

则必须m ＜5

，

因此，实数m 的取值范围为（﹣∞，5

），

故选C ． 4．C 【详解】

解：A ．取0a b =≠时，不成立；

B ．取0a b =≠时，不成立；

C ．0ab >，∴

22b a b a a b a b

+?=，当且仅当0a b =≠时取等号，可知正确． D ．取1ab =时不成立．

故选：C ． 5．B 【详解】

结合不等式，还原可行域，如图：

将21z x y =+-转化成11

z y x +=-

+，该目标函数从虚线位置平移，当移到A 点的时候，z 取到最小值，而A 的坐标为()1,0，代入目标函数，计算出z=0.

6．B 【解析】试题分析：因为

ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3

0,23623

--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5

0,251025

--=>>，故选B. 7．B 【详解】

作出不等式组220

110x y x x y -+≥??

≤??+-≥?

所表示的可行域如下图所示：

()()2242

1222

x y x y y x x x ++++++==+

+++，代数式22y x ++的几何意义为可行域中的点(),P x y 与点()2,2A --连线的斜率，

由图象可知，当点P 与可行域的顶点()0,1B 重合时，直线PA 的斜率最大，此时

x y x +++取得最大值

. 当点P 与可行域的顶点()1,0D 重合时，直线PA 的斜率最小，此时

42x y x +++取得最小值5

因此，

42x

y x +++的取值范围是55,32??

????

故选：B. 8．D 【详解】

由图知z 的最小值为原点(0,0)到直线210x y -+=

的距离，则最小距离为

=.故选D.

9．C 【解析】

作出不等式组表示的平面区域，

表示点(),x y 与点()1,2P 的

距离，

的最小值就是点()1,2P 到直线10x y --=的距离，

=B 与点P 的距离，由

0x x y =??

+=?

，可得()3,3B -

，

PB ∴=

()()2

21229x y ≤

≤∴≤-+-≤，

()()2

12x y ∴-+-的取值范围是

[

]2,29，故选C. 10．B 【详解】

当0x >

时，12y x x =+

≥=；当0x <时，()()

112y x x x x ??

=+=--+≤-=-??-?

?. 所以，集合{}

22A y y y =≤-≥或.

集合{

}{

}

4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}2,2P A

B ∴==-，

集合P 有两个元素，因此，集合P 的子集个数为224=，故选：B. 11．C 【详解】

作可行域，为如图所示等腰直角三角形OAB ，由010x y x y -=??+-=?，得12

12x y ?

=???

?=??

. 所以其面积为

111

1224

??=，选C.

12．C 【详解】

又因为1是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实根，所以有0a b c ++=，且a b c ≥≥，所以0,0a c ><，所以

<，所以排除A 、B 两项，

当0b >时，()c a b =-+，所以2a c a <≤，此时21c

-≤<-，当0b =时，c a =-，此时

=-，当0b <时，()c a b =-+，所以12a c a ≤<，此时1

c a -<≤-，

所以

12,2c a ??

∈--????

，故选C. 13

．43

【详解】

44430ab a b --+= ()()1114

a b ∴--=

设1,1a x b y -=-=，则11,44xy x y

==，

∵01a <<，01b <<，

01,01x y <<<<∴

∴1212124212

1111141141114y a b x y y y y y y y

+=+=+=+=++

-------- 又

()()41441218181411414441443y y y y y y y y ??

-+-????+=+?=+??? ? ?------??????

()()()8411181444144183414434144y y y y y y y y ?

?-??-?????

?=+-+-=+

++?? ? ? ???----???????

? 当

()841444144y y y y --=-

时，()()212

0,1,0,11444

y x y =∈==，在题目要求范围内，

()8411214411893411341443y y y y y y ?-??-???∴??+=+++≥+=+?? ? ?----????????

即12121134411a b y y ?+=++≥++=+ --??

故答案为：4+

14．【详解】

解：函数2

()f x ax bx =+，且()112f ，2(2)4f -．

∴122424a b a b +??-?，即12122a b a b +??-?

，

如图所示，表示的可行域为四边形BACD 及其内部的点，可得(1,0)A ，42,33B ??

???

，(1,1)C ，

21,33D ?? ???

．向量(,)m a b =，(0,2)n =，(,2)m n a b -=-，设点(0,2)P ，

||PC =||3PB =

，||PA =||PD ．

则2,m n a PC PA -=+?=??，

故答案为：．

15．4 【详解】

由基本不等式得

()11111t t tn m m n t t t m n m n m n ??+=++=+++≥++=++ ???

)219

==，0

t >，解得4

t=，当且仅当

n m

m n

?+=

，即当

时，等号成立. 故答案为：4.

16．

【详解】

如图，平面区域1

Ω就是三角形区域OAB，

222

OAB

=??=，

平面区域2

Ω与平面区域

Ω的重叠部分就是区域OACD，.BCD

?是等腰直角三角形

111

224

BCD

=??=，

OACD

∴=-=

由几何概型的概率公式，所求概率

OACD

OAB

===

四边形.

故答案为：

17．（1

）{|33

a a

-<<+；（2

）

?=±

【解析】

试题解析：

(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，

∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，

∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－

a<3＋

∴原不等式的解集为{a|3－

a<3＋

}…….5分

(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，

等价于()61+3=3613=3a a b

?--???-?-?-??

解得33a b ?=±??

=-??分 18．（1）1040；（2）120 【详解】

（1）由题意知()()2

120010,210

1200,1020k t t p t t ?--≤

，N t ∈，（k 为常数），

∵()()2

21200102120064560p k k =--=-=， ∴10k =，

∴()()22

10200200,210

12001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ??-++≤<--≤

，

∴()()2

61200101061040p =-?-=，

故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人．…….6分（2）由()63360

360p t Q t

-，可得

()

236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ??-++-??

-+≤

，

①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ?

=-+≤-?= ???

，当且仅当6t =时等号成立；

②当1020t ≤≤时，72003360

36038436024Q t

-≤-=，当10t =时等号成立，

∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．…….12分答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 19．（1）φ；（2）(2,1)(3,)a ∈-+∞

【解析】

试题解析：（1）原不等式2

(1)2a x a a ->+-，当1a >时，解集为2x a >+；当1a <时，

解集为2x a <+；当1a =时，解集为φ．…….6分

（2）由题意，2

a a a >??

+<-?或2

a a a

+>-?，得(2,1)

(3,)a ∈-+∞（或将24

x a =-代入原不等式求解）…….12分 20．(1) 64 ,(2) x+y 的最小值为18. 【解析】

试题解析：(1)由280x y xy +-= ，得

1x y

+= ,又0x > ，0y >

，故821x y =

+≥=故64xy ≥，当且仅当82

1,82x y x y

?+=??

??=??即164x y =??=?时等号成立，∴()min 64xy = …….6分

(2)由2280x y xy +-=,得

821x y +=,则()82x y x y x y ??

+=+?+ ???

28=101018x y y x ++≥+=.当且仅当82

1,28x y x y y

x ?+=????=??即12

6x y =??=?时等号成立.∴

()min 18x y += …….6分

21．（1）2

2020v d v k

=++，最短时间3.1秒（2）汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72

千米/小时【详解】

（1）由题意：报警距离2

01232020=+++=++v d d d d d v k ，

当0.9k =时，2

2018

=++v d v ，

则汽车撞上固定障碍物的最短时间为：20111 3.118==++≥=≈d v t v v 秒；…….6分

（2）由题意可得：2

208020v d v k

=++<，因为[0.5,0.9]k ∈，

所以当0.5k =时，报警距离最大，

因此，只需：2

208010

秒，合72千米/小时. …….12分

22．（1）点E 是AB 的中点；（2

）10x y ?≤<=，当点E 距B 点2.5米，点F 距C 点7.5米时，EF 最短. 【详解】

（1）当点F 与点C 重合时，14

BEC ABCD S S ?=

，即

EB h AB h =，其中h 为平行四边形AB 边上的高，得1

EB AB =，即点E 是AB 的中点．……4分（2）

点E 在线段AB 上，

020x ∴，

当1020x 时，由（1）知，点F 在线段BC 上，

20AB m =，10BC m =，120ABC ∠=

?，

2010ABCD

AB BC sin ABC ∴=??∠=?

= 由1sin1202EBF S x BF ?=

?=100BF x

=， ∴由余弦定理得，

cos120y EF x x ==?=

当010x <时，点F 在线段CD 上，由()1

10602

EBCF S x CF sin =

+???=四边形得10CF x =-，……8分

当BE CF

时，EF =，当BE CF <

时，EF =

化简均为y EF ==

综上所述，1020x y x ?<=；当010x <

时，y =，当52x =时，y

有最小值min y =此时152

CF =；当1020x

时，100103y =

> 故当点E 距点B ，2.5m ，点

F 距点C ，7.5m 时，EF 最短，其长度为…….12分

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2．已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3．若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4．若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5．已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7．不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)，当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ；当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ；综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1；当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，

广东省高考数学复习专题汇编不等式(试题)

不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

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双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲

2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式 53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞ 2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则 (am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 【答案】2 3 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 【答案】[]0,4 4 ．（2013年高考湖北卷（理））设 ,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=,则x y z ++=_______. 【答案】二、解答题 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 【答案】 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.

(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集; (II)已知关于x 的不等式()(){} 222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 【答案】 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式 *2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12 A ?. (1)求a 的值; (2)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ?,所以322a -<,且122 a -≥ 解得1322 a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = [来源:12999数学网] (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--= 当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3 8 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5: 不定式选讲]本小题满分10分. 已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥- [必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a () )(22222b a b b a a ---

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意,a b 范围为正数。二定：指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题：例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥，即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知：在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。（2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题）雪慕冰一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x