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第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 中值定理（2课时）
要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件
（1）在闭区间],[b a 上连续；
（2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =．
则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等
于零，即0)(='ξf ．
几何解释
设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，
AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个
端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．
例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．
)2
(2
4
2
)
(-
=
-
=
'x
x
x
f
且0
)3(
)1(=
=f
f
函数)
(x
f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得
)2
(2
)
(=
-
=
'ξ
ξ
f，
于是)3,1(
2∈
=
ξ．
故确实在区间)3,1(内至少存在一点2
=
ξ使得0
)2(=
'f，结论成立．
二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）
几何分析
拉格朗日中值定理设函数)
(x
f满足条件
（1）在闭区间]
,
[b
a上连续；
（2）在开区间)
,
(b
a内可导．
则在区间)
,
(b
a内至少存在一点)
(b
a<
<ξ
ξ，使得等式
)
)(
(
)
(
)
(a
b
f
a
f
b
f-
'
=
-ξ成立．
推论1如果函数)
(x
f在区间I上的导数恒为零，那么函数)
(x
f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．
例2．试证
2
cot
arctan
π
=
+x
arc
x)
(+∞
<
<
-∞x．
证明构造函数x
arc
x
x
f cot
arctan
)
(+
=，
因为函数)
(x
f在)
,
(+∞
-∞上可导，且
1
1
1
1
)
(
2
2
=
+
-
+
=
'
x
x
x
f
（2）在开区间)
,
(b
a内可导，且0
)
(≠
'x
F，)
,
(b
a
x∈
则在区间)
,
(b
a内至少有一点ξ，使等式
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ξ
ξ
F
f
a
F
b
F
a
f
b
f
'
'
=
-
-
成立．
说明
（1）公式
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ξ
ξ
F
f
a
F
b
F
a
f
b
f
'
'
=
-
-
中的ξ是同一值，即（
ξ
ξ
ξ
=
'
'
=
'
'
x
x
F
x
f
F
f
)
)
(
)
(
(
)
(
)
(
）；（2）当x
x
F=
)
(时，1
)
(
,
)
(
)
(=
'
-
=
-x
F
a
b
a
F
b
F，正是拉氏中值公式；
三个定理联系，罗尔定理
?
?
??
←
??→
?
=
特例
推广
)(
)
(b
f
a
f拉氏定理
?
?
??
←
?
?→
?
=
特例
（
推广
x
X
F)
柯西定理．作业129
P习题4.1
（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，导数)(0x f '恒为正或恒为负，那么函数)(x f 在点0x 处没有极值．
例1．求函数593)(23+--=x x x x f 的极值． 解 （1）函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞，导数为
)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，
（2）令0)(='x f ，得3,1=-=x x ，
（3）列表如下
x
)1,(--∞
1- )3,1(-
3 ),3(+∞ )
(x f '符
号
+ 0
—
+
)(x f
↗
极大值 10
↘
极小值 22-
↗
应用定理2判别极值的步骤如下，
（1）求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；
（2）求出函数)(x f 的全部驻点（即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根）；
（3）用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间，考查在各点两侧导数的符号，根据定理2判别该点是否有极值点，是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得)(x f 的全部极值． 例2．求函数32)1(x x y -=的极值．
解 （1）函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为
3
1
325x
x y -=
'，
（2）令0='y ，得
解 由导数0)1(222=-=-='x x y ，得1=x ．
因为02>=''y ，所以1=x 为函数的极小值点，即有极小值2|1-==x y ． 又因为函数在开区间),(+∞-∞内只有一个极小值，故为最小值2|1-==x y ．
二．最优化问题
建立模型：建立拉格朗日函数()y f x =及相应的区间；利用求最值的方法求出函数的最值．
例3．铁路线上AB 段的距离为km 100，工厂距离A 处为km 20，AC 垂直于AB ，为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3，为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？
解 1）建立模型
总费用与D 的选择有关，
设x AD =，总费用y 与x 有关， 因为 2220,100x CD x BD +=-=，
由于铁路运费与公路运费之比为5
3
，因此不妨设铁路运费为k 3，公路运
费为k 5（k 为某整数），则从点B 到点C 需总运费
DB k CD k y ?+?=35=)100(340052x k x k -++（1000≤≤x ）， 2）现在问题归结为x 在闭区间]100,0[上取何值时目标函数y 的值最小，因为
)34005(
2
-+='x
x k y ，
令0='y ，解方程得)(15km x =．
又由于k y x 400|0==，k y x 380|15==，21005
1
1500|+
==k y x ． 经过比较可得，k y x 380|15==为最小值，因此当)(15km x AD ==时，总费用最省．
说明
在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数)(x f 确有最值，而且一定在区间内部取得，若0)(='x f 只有一个根，那么不必讨论)(0x f 是否
最新微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数 的应用
第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
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第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ）
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是
微分中值定理例题
理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理
()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
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第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
微分中值定理及其应用习题解析2
第六节 定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解 当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。 解 由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2） （1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0
根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条
微分中值定理及其应用
分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月
目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)
微分中值定理的证明题(题目)
微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ， 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 第三 微分中值定理习题课 教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识． 教学重点 对知识的归纳总结． 教学难点 典型题的剖析． 教学过程 一、知识要点回顾 1．费马引理． 2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理． 3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ． 4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立． 如，函数 (){ 2 ,01,0 , 1 x x f x x ≤<== 在[]1,0上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数 (){ 2 1,11,1, 1 x x f x x --≤<= = 在[]1,1-上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的． 5．泰勒中值定理和麦克劳林公式． 6．常用函数x e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +、α )1(x +的麦克劳林公式． 7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系． 8．00、∞∞ 、∞?0、∞-∞、00、∞1、0 ∞型未定式． 9．洛必达法则． 10．∞?0、00、∞1、0 ∞型未定式向00或∞∞ 型未定式的转化． 二、练习 1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？ 由于()x f 、()x F 在[]b a ,上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点()b a ,∈ξ，使得 ()()()()a b f a f b f -=-ξ', ()1 ()()()()a b F a F b F -'=-ξ. ()2 又对任一 (),,()0 x a b F x '∈≠，所以上述两式相除即得 ()()()()()()ξξF f a F b F a f b f ''= --. 答 上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数()x f 和()x F ，拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同．也就是说在()b a ,内不一定存在同一个ξ，使得()1式和()2式同时成立． 例如，对于()2 x x f =，在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的 21 = ξ；对()3 x x F =， 在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的 33 = ξ，两者不等． 2. 设函数()x f y =在区间[]1,0上存在二阶导数，且 ()()()()x f x x F f f 2 ,010===.试证明在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ．还至少存在一点η,使()0F η''= 分析 单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知， ()()010==F F ，且()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的前两个条件，故在()1,0内至少存在一 点ξ，使()0='ξF ．至于后一问，首先得求出()x F '，然后再考虑问题． ()()()x f x x xf x F '+='22，且()00='F ．这样根据题设，我们只要在[]ξ,0上对函数 ()x F '再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论． 证 由于()y f x =在[]1,0上存在二阶导数，且()()10F F =，()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的条件，故在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ． 由于 ()()()x f x x xf x F '+='2 2， 且()00='F ，()x F '在[]ξ,0上满足罗尔定理的条件，故在 ()ξ,0内至少存在一点η，使 第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x 2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ； (C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( ) 3[1]1微分中值定理 及其应用 3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. https://www.360docs.net/doc/6a17422680.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.中值定理与导数的应用(包括题)
微分中值定理习题课
微分中值定理与导数应用
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总