微分中值定理与导数的应用习题.docx
第四章微分中值定理与导数的应用习题
§ 微分中值定理
1．填空题
（１）函数 f ( x)arctan x 在 [ 0, 1] 上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4
．
（２）设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 5) ，则 f (x) 0 有3个实根，分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,5) 中．
2．选择题
（１）罗尔定理中的三个条件: f (x)在[ a,b]上连续，在(a, b)内可导，且f ( a) f (b) ，是 f (x)在 (a,b) 内至少存在一点，使 f () 0 成立的（B）．
A．必要条件B．充分条件C．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
（２）下列函数在[1,1] 上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
A. f ( x)e x
B. f ( x) | x |
C. f ( x) 1x2
D.
f ( x)x sin
1
, x0 0,
x
x0
（３）若 f ( x) 在 ( a,b) 内可导，且 x1、 x2是 ( a, b) 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B）．
A． f ( x2 ) B． f ( x1 )f ( x1 )(x1x2 ) f()(a,b)
f ( x2 )( x1x2 ) f ()在 x1 , x2之间
C． f ( x1 ) D．
f ( x2 )f ( x2 )(x2x1 ) f()x1x2 f ( x1 )(x2x1 ) f()x1x2
3．证明恒等式：arctanx arc cot x(x) ．
2
证明：令 f (x) arctan x arc cot x ，则 f
11
0，所以 f ( x) 为一常数．( x)
2
1 x2
1 x
设 f ( x) c ，又因为 f (1)，
2
故arctan x arc cot x
2
(x) ．
4．若函数f (x)在(a, b)内具有二阶导数，且 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ，其中 a x1x2
x3 b ，证明:在 ( x1 , x3 ) 内至少有一点，使得 f ( ) 0．
证明：由于 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上连续,在 (x1 , x2 ) 可导,且 f (x1 ) f ( x2 ) ，根据罗尔定理知，存
在1( x1 , x2 ) ，使 f ( 1 )0．同理存在2( x2 , x3 ) ，使 f ( 2 )
0 ．又 f ( x) 在 [1, 2]上
符合罗尔定理的条件，故有( x1 , x3 ) ，使得 f() 0．
5．证明方程1x x2x3
0 有且仅有一个实根．26
证明：设 f ( x)1
x2x3
则 f (0) 10, f (2)
1
0 ，根据零点存在定理至x，
3
26
少存在一个(2,0) ，使得 f () 0．另一方面，假设有x1 , x2(, ) ，且 x1x2，使
f ( x1 ) f (x2 )0 ，根据罗尔定理，存在(x1 , x2 ) 使 f (
12
0 ，这与) 0，即1
2
1
1 2
0 矛盾．故方程1
x2x3
0 只有一个实根．
2
x
6
2
6．设函数f ( x)的导函数f( x) 在 [ a,b] 上连续，且 f ( a) 0, f (c)0, f ( b) 0，其中 c 是介
于 a, b 之间的一个实数．证明：存在(a, b) ,使 f( )0成立.
证明：由于 f (x)在 [a,b]内可导，从而 f ( x) 在闭区间 [ a,b] 内连续，在开区间( a,b) 内可导．又因为 f (a)0, f (c)0 ，根据零点存在定理，必存在点1( a, c) ，使得 f ( 1 )0．同理，存在
点
2
( c, b)，使得 f ( 2 )0 ．因此 f (x)在 1 ,2上满足罗尔定理的条件，故存在( a, b)，使
f ( )0成立．
7.设函数 f ( x)在 [ 0,1]上连续 ,在 (0,1)内可导 .试证 : 至少存在一点(0,1) ,使
f () 2 [ f (1) f (0)].
证明：只需令g( x)x2，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式
（１）当
x
时， sin x
cos x ．
x
证明： 设 f (t ) sin t t cost ，函数 f (t ) 在区间 [0, x] 上满足拉格朗日中值定理的条件，且
f (t ) t sin t , 故 f (x) f (0) f ' ( )( x 0), 0 x , 即
sin x x cos x
x sin
0 ( 0
x
)
因此，当0
x
时， sin x cos x ．
x
（２）当
a
b 0 时，
a
b
ln
a
a b ．
a
b
b
证明：设 f ( x)
ln x ，则函数在区间 [b, a] 上满足拉格朗日中值定理得条件，有
f (a)
f (b)
f ' ( )(a b), b
a
因为 f '
( x)
1 ，所以 ln a 1
( a b) ，又因为 b
a ，所以 1
1 1 ，从而
x b
a
b
a b ln
a
a b ．
a
b
b
§ 洛毕达法则
1． 填空题
（１） lim cos5x
5
3 x
cos3x
2
1
)
ln(1
（２） lim
x
x
arctan x
（３） lim (
1
1 ) =
1
x 0
x
2
x tan x
3
（４） lim(sin x) x 1
x 0
２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）
lim ln n
lim 1
n
n
n
A ． lim
n
e
n
e
n
n
B ． lim x
sin x
lim
1 x
sin x
x 0
x 0 1
1
cos x
cos x
x 2 sin 1 2 x sin 1 cos 1 C ．
lim sin x x lim x x
不存在
x 0 x 0
cos x
D ．
x
1
1
lim
= lim
x 0
e
x
x
e
x
（２）
在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（
C ）
x 2
B ． lim ( 1
)
tan x
． lim
x sin x
D ． lim
x
n
A ． lim
C
x x
sin x
x 0
x
x
x
x
e
3． 求下列极限
（１） lim
x m a m ． x
a
x
n
a n
解： lim x m
a m = lim mx m 1
x a
x n
a
n
x a
nx
n 1
m a m n ．
n
（２） lim
2x
2 2 x 2 ．
x
x
解： lim
2x 2 2 x 2 = lim 2 x ln 2 2 x ln 2 = lim 2x (ln 2) 2
2 x (ln 2)2 = (ln 2) 2 ．
x 0
x x 0 2x x 0 2
（３） lim
sin x
x 3
tan x ．
x 0
sin x
tan x
tan x(cos x 1)
x ( 1 x 2 )
1
解： lim
2
＝
．
x 3
＝ lim
x 3
lim
x 3
2
x 0
x
x
（４） lim e x sin x 1 ．
x 0 (arcsin x) 2
解： lim
e x
sin x 1
＝ lim
e x
sin x 1 ＝ lim e x
cos x lim e x
sin x 1 ． x 0
(arcsin x) 2
x
x 2
x
2x
x 0
2 2
x
x x
（５） lim
．
x 1
1
x ln x
解： ( x x )
x x (1 ln x) ，
x x
x 1 x
x (1 ln x)
x x (1 ln x)2
x x 1
lim
＝ lim
x
＝ lim
1 1
x 1
1 x ln x
x 1
1
x 1
x
x
2
lim [ x x 2 (1 ln x) 2 x x 1 ] 2．
x
1
（６） lim (
1
1 ) ．
x 0
x
e x 1
解： lim (
1
x
1 x 2
1 ) lim
e
x 1 lim
2
1 x 0
xe x
1
x 0
x(e x
1)
x 0
x 2
2
（７）
lim ( 1
) tan x ．
x 0
x
1
sin 2
1
lim tan x ln x
ln x
lim x
x
tan x
lim
lim
解： lim ( ) e
x 0
e
x
0 cot x
e
x
0csc
2
x
e x
0x
1．
x x 0
（８） lim ln(1
2 x
) ln(1
3
) ．
x
x
3
) = lim
3
ln(1 ln(1 2x )
2x ln 2
解：
lim ln(1 2 x ) ln(1
2x ) 3 lim 3 lim 1 2x
x
x
x
x x x x
1
= 3ln 2 lim
2 x x =3ln 2 ．
1 2 x
（９）
lim n
n ．
n
lim 1
lim 1
解： 因为 lim x
ln x
x
x
e
x
x e
x x
1 ，所以 lim n
n =1．
n
§函数的单调性与曲线的凹凸性
1． 填空题
（１）
函数 y 4x
2
ln( x 2
) 的单调增加区间是 ( 1 ,0) ( 1
, ) ，单调减少区间
2 2
( ,1) (0, 1
) ．
2 2
（２）若函数 f (x) 二阶导数存在，且
f ( x) 0, f ( 0) 0 ，则 F ( x)
f ( x) 在 0 x 上
x
是单调
增加 ．
（３）函数 y
ax 2 1在 (0,
) 内单调增加，则 a 0 ．
（４）若点（ 1，3) 为曲线 y ax 3 bx 2
的拐点， 则 a
3
，b
9
，曲线的凹区间为 ( ,1) ，
2
2
凸区间为 (1, ) ．
2． 单项选择题
（１）下列函数中，（
A ）在指定区间内是单调减少的函数 .
A. y
2 x ( ,
)
B . y e x
(
, 0)
C. y
ln x
( 0,
)
D
.
y sin x ( 0, )
（２）设 f (x)
(x 1)(2 x 1) ，则在区间 ( 1
,1) 内（ B
）．
2
A. y
f (x) 单调增加，曲线 y f (x) 为凹的
B.y f (x)单调减少，曲线y f (x) 为凹的
C.y f ( x) 单调减少，曲线y f ( x) 为凸的
Ｄ． y f ( x) 单调增加，曲线y f ( x) 为凸的
（３） f ( x) 在 (,)内可导,且 x1 , x2,当 x1x2时, f (x1 ) f (x2 ) ,则( D ) A.任意 x, f ( x)0 B.任意 x, f ( x) 0
C. f (x) 单调增
D. f (x) 单调增
（４）设函数 f (x) 在 [0,1]上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（ B）
A.f(1)f(0) f (1) f (0)
B.f(1) f (1) f (0) f (0)
C. f (1) f (0)f(1)f(0)
D.f(1) f ( 0) f (1) f (0)
2．求下列函数的单调区间
（１）y e x x 1 ．
解： y e x1，当x 0时， y0 ,所以函数在区间[0,) 为单调增加；
当 x0 时，y0，所以函数在区间(,0] 为单调减少．
（２） y(2 x5) 3x2．
10 x1
解： y3 ( x1) ，
3
当，或
x0时， y0,所以函数在区间 (,0][1,) 为单调增加；
x 1
当 0x 1时，y0 ，所以函数在区间[ 0,1]为单调减少．
（３）解：
y ln( x1x2 )
1x
x21
y
1
0 ，故函数在(, ) 单调增加．
x 1x 2 1 x 2
3．证明下列不等式
（１）证明：对任意实数 a 和b,成立不等式| a b || a || b | ．
1 | a b | 1 | a | 1 | b |
证明：令 f ( x)x，则 f (x)10 ， f ( x) 在 [ 0 ,) 内单调增加.
1(1x)2
x
于是 ,由 | a b | | a || b |,就有 f ( | a b | ) f ( | a | | b |) ,即
| a b || a | | b || a || b || a || b |
1 | a b | 1 | a | | b | 1 | a | | b | 1 | a | | b | 1 | a | 1 | b |
（２）当 x1时,ln x 2(x1)
．x1
证明：设 f ( x)( x1) ln x2( x1) ， f ' ( x)ln x1 1 ，由于当x 1 时，
x
f ( x)11
0,因此 f ( x) 在 [1,) 单调递增,当 x 1 时,f(x)f(1)0 ,故 f ( x) x x2
在 [1,) 单调递增,当 x1时,有 f (x) f (1)0. 故当x1
时, f ( x) ( x 1) ln x2( x 1)0 ,因此 ln x
2( x1)
x ．
1
（３）当x0时， sin x
x3 x．
6
证明：设 f (x)sin x x x 3
,f(x)cos x
x2
0 ，当x0 ，f(x)x sin x 0 ，6
1
2
所以 f( x) 在 [ 0,) 单调递增,当 x0 时,f( x) f (0)0,故 f (x) 在 [0,) 单调递增,
从而当x 0 时,有 f ( x) f (0)0.因此当x0时， sin x x x3
．6
4．讨论方程x
2sin x k (其中k为常数)在 (0, ) 内有几个实根．
2
解：设( x)x sin x k,则( x) 在 [0,]连续,且 (0)k,()k ，222
由( x)1
2cos x0，得 x arccos
2
为 (0,) 内的唯一驻点．
2
(x)在 [0,arccos 2
] 上单调减少，在 [arccos
2
,] 上单调增加．
2
故 (arccos 2 ) arccos
2
2
4
2 k 为极小值，因此 (x) 在 [0, ] 的最大值是
k , 最
2
小值是 arccos
2
2
4 k ．
2
arccos
2
2
4 （１）
当 k
0, 或 k
2 时, 方程在 (0, ) 内无实根；
2
当 arccos
2
2
4
（２）
2
k
0 时 , 有两个实根；
arccos
2
2
4 （３）
当 k
2
时，有唯一实根．
5． 试确定曲线 y
ax 3 bx 2 cx d 中的 a 、b 、c 、d ，使得 x 2 处曲线有水平切线， (1, 10)
为拐点，且点 ( 2,44) 在曲线上．
解： y
3ax 2 2bx c , y
6ax 2b ，所以
3a( 2)2 2b( 2) c
6a 2b
a
b c d
10
a( 2)3 b( 2)2 c( 2) d
44
解得： a 1, b
3, c
24, d
16 ．
6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
（１） y x
x
1
x 2
解：
y
1
x 2 1 2 ,
y
2 x 3
6x
,
2
1)
( x 2
1)
3
( x
令 y 0 , 得 x
0 ，当 x 1 时 y 不存在．
当
1 x
0 或 x 1 时, y
0 , 当 x 1 或 0 x 1 时 , y 0 ．
故曲线 y x
x
在 ( , 1)
(0,1) 上是凸的 , 在区间和 ( 1,0) (1, ) 上是凹的，
1
x 2
曲线的拐点为 (0,0) ．
（２） y
(2x 5)3 x 2 拐点及凹或凸的区间
解： y
10 x 1 ， y 10 2x 1 ．
3
3
x
9 x 3 x
当 x
0 时， y , y 不存在；当 x
1
时， y 0 ．
2
故曲线在 (
, 1
)上是凸的 , 在( 1 , ) 上是凹的， (
1
, 33 2) 是曲线的拐点 ,
2
2
2
7．利用凹凸性证明 :
当 0 x
时 , x
x
sin
2
证明：令 f ( x) sin
x x
则 f ( x)
1 x 1 , f ( x)
1 x
2
, cos
sin
．
2
2
4
2
当 0 x
时 , f ( x) 0 ,
故函数 f (x)
x
x
) 上是凸的 , 从而曲线
sin
的图形在 (0,
2
y f (x) 在线段 AB （其中 A(0, f (0)), B(
, f ( ) ）的上方，又 f (0) f ( ) 0 , 因此 f ( x) 0 ,
x
x
即 sin ． 2
§ 函数的极值与最大值最小值
1． 填空题
（１）函数 y
x2x 取极小值的点是 x
1 ．
ln 2
2
1
（２）
函数 f ( x) x
3
(x
2
1) 3
在区间 [0,2] 上的最大值为 f ( 1
)
3
2 ，最小值为
2
2
f (0)1
．
2．选择题
（１）
设 f ( x)
在 (
,
)
内有二阶导数，
f ( x 0 )
0 ，问
f ( x)
还要满足以下哪个条件，则
f ( x 0 ) 必是 f ( x)
的最大值？（
C ）
A ．
x
x 0 是
f (x) 的唯一驻点
B
． x
x 0 是
f (x) 的极大值点
C ． f (x) 在 ( , ) 内恒为负
D ．
f ( x) 不为零
（２） 已知 f ( x) 对任意 y f ( x) 满足 xf ( x) 3x[ f ( x)]
2
1 e x
，若
f (x 0 )
0 ( x 0
0) ，则（ B ）
A. f ( x ) 为
f (x) 的极大值
B.
f ( x ) 为
f ( x) 的极小值
C. （ x 0 , f ( x 0 )) 为拐点
D.
f ( x 0 ) 不是极值点 , （ x 0 , f ( x 0 )) 不是拐点
（３）若 f ( x) 在 x 0 至少二阶可导 , 且 lim
f ( x) f ( x 0 )
1, 则函数 f ( x) 在 x 0 处 ( Ａ )
2
x x 0
( x x 0 )
A ． 取得极大值
B ． 取得极小值
C ．无极值
D ． 不一定有极值
3． 求下列函数的极值
（１） f x x
3 x 2 / 3 ． 2
1
解：由 f ( x)
1 x 3
0 ，得 x 1．
4
f ( x)
1
x
3
, f '' (1) 0 ，所以函数在
x
点取得极小值．
3
1
1
（２） f ( x)
x x ．
解：定义域为 (0,
) ， y
1 ln x
1
1 ln x) ，
e x , y
x x
x 2 (1
令 y
0 得驻点 x e ，当 x
(0, e) 时， y
0 ，当 x
(e, ) 时， y 0 ．
1
因此 y(e) e e 为极大值．
4． 求 y 2x 3 3x 2 12 x 14的在 [ 3,4] 上的最大值与最小值． 解： y(
3) 23, y(4)
132 ．
由 y 6x 2 6x 12 0 ，得 x 1, x 2 ．
而 y(1)
7, y( 2) 34 , 所以最大值为 132，最小值为 7．
5．在半径为R的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积 V 最大．解：设圆锥体的高为h ,底半径为,故圆锥体的体积为V1r 2 h ，
3
由于 (h R) 2r 2R 2，因此 V ( h)1h(2Rh h 2 )(0h2R) ，
3
由
124R22
V (h)(4Rh3) 0，得h，此时 r R ．3h33
由于内接锥体体积的最大值一定存在, 且在(0,2R)的内部取得 .现在 V (h) 0 在 (0,2R)内只有一
个根 , 故当h 4R
r
22
内接锥体体积的最大．3
,R 时,
3
6.工厂 C 与铁路线的垂直距离AC 为 20km , A 点到火车站 B 的距离为 100km .欲修一条
从工厂到铁路的公路CD ,已知铁路与公路每公里运费之比为3: 5，为了使火车站 B 与工厂 C 间的
运费最省 ,问 D 点应选在何处？
解 :设 AD x B 与 C 间的运费为 y ,则
y 5
k
400
x
2
3 (100
x
)（
0x100
），
k
其中 k 是某一正数．
由
5x
3)0 得x15 y k(
400x2
由于 y |x 0 400k y |x 15380k y |x 100 500 1
1
380k 为
2其中以y |x 15
5
最小因此当 AD x15 km时总运费为最省．
7．宽为b的运河垂直地流向宽为 a 的运河.设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去, 其长度最长为多少?
解：问题转化为求过点 C 的线段AB 的最大值.设木料的长度为l ,AC x, CB y ，木料与河岸的夹角为t ，则x y l，且
x
a
, y
b
, cost sin t
l
a
b
t (0, ) ．
cost
sin t
2 则
l
asin t b cost ，
cos 2
t
sin 2
t
3
b
2
2 3
由 l
0 得 tan t
, 此时 l
(a 3 b 3 ) 2 ，
a
2
2
3
故木料最长为 l (a 3
b 3 ) 2 ．
§ 函数图形的描绘
１．求 y
x 3
2 的渐近线 .
( x 1)
解：由 lim
x 3
，所以 x
1为曲线 y f ( x) 的铅直渐近线．
1
( x 1)2
x
因为 lim y
lim
x 2 2 1, lim ( y x) lim x 3 2 x 2
x
x
x
(x 1) x x ( x 1)
所以 y
x 2 为曲线 y
f (x) 的斜渐近线．
第四章 综合练习题
1．填空题
（１） lim x sin 1
ln(1 1
)
lim x
．
x 0
x x arctanx
（２）
函数 y x ln( x 1) 在区间 ( 1,0) 内单调减少，在区间 (0, ) 内单调增加．
（３） 曲线 y
1 ln(1 e x ) 的渐近线是 x 0和 y 0 ．
x
（４） lim (tan x)
cos x
1
．
x
2
2． 求下列极限
（１） lim 1 tan x 1 sin x
x ln(1 x)
x 2
x 0
解：
lim
1 tan x
1 sin x ＝ lim tan x sin x
1
x ln(1 x) x 2
x[ln( 1 x) x]
x 0
x 0 1 tan x
1 sin x
＝ 1
lim 1 cos x
x lim tan x ＝
1
lim
1 cos x ＝ 1
lim sin x
2 x 0 ln(1 x) x 0
x
2 x
ln(1 x) x 2 x 0
1
1
1 x
＝
1 lim sin x (1 x) 1 ．
2 x 0 x
2
( sin 1 1
cos 1 ) cos 1
（２） lim x
x x x
1
x
a e a )
2 sin
1
(e x
x
( sin 1 1 1
) cos 1
( sin 1 1 cos 1 1
cos
x
= lim
) cos
解： lim
x
x
x
x
x x
x =lim
x
1 a e a
) 2
sin
1
x
1
1) 2
sin
1
x
(e
x
e 2 a ( e x
x
x
1
1
1
1
1 1
1
2 cos
2
cos
3 sin
1
lim x
x
x
x
x
x
=
2a
3
2a ．
e
x
3e
x 4
3． 求证当 x
0时， x 1 x 2
ln(1 x) ．
2
证明： 令 f ( x)
ln(1 x) x
1 x
2 , 则
2
f ( x)
1
1 x
x 2 ,
1
x
1 x
1 1 1
sin cos x x x
e 2a ( 1 ) 2 1
x x
当 x 0 时 ,
f (x) 0 ，故 f (x) 在 [ 0, ) 单调增． 当 x
0 时，有 f (x)
f (0)
0 ，即
x
1 x
2 ln(1 x) ．
2
4． 设 f ( x) 在 [ a, b] 上可导且 b a 4 ，证明：存在点 x 0
( a,b) 使 f ( x 0 )
1 f
2 (x 0 ) .
证明： 设 F ( x) arctan f ( x) , 则
f ( x)
，且 | F ( x) |
．
F (x)
f 2 ( x)
1
2
F (b) F ( a)
F (x 0 ) ,
即
由拉格朗日中值定理知 , 存在 x 0 (a, b) ，使
a
b
f ( x 0 )
F (b) F (a)
| F (b) | | F ( a) |
2
2 1 ．
1 f
2 ( x 0 )
b a
b a
4
4
5． 设函数 f ( x), g( x) 在 [ a,b] 上连续 , 在 (a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值
, 且
f (a) g(a) , f (b)
g (b) ,
证明： 存在
(a,b) , 使得 f ( ) g ( ) ．
证明： 设 f ( x), g( x) 分别在 x 1 , x 2 (a,b) 取得最大值 M ， 则 f (x 1) g( x 2 )
M , 且
f (x 1)
g ( x 2 ) 0 ． 令 F ( x)
f ( x) g( x) ．
当 x 1 x 2 时 , F ( a) F (b) F ( x 1 ) 0, 由罗尔定理知 ,
存在 1
( a, x 1 ),
2
( x 1 ,b) , 使
F (
1 )
F(2)
0 , 进一步由罗尔定理知 , 存在
( x 1 ,x 2 ) ，使 F ( ) 0 ，即 f ( )
g ( )
当 x 1
x 2 时 , F ( x 1 ) M g( x 1 ) 0 , F ( x 2 )
f (x 2 )
M
0 ，由零点存在定理可知，存
在 1
[ x 1 , x 2 ] ，使 F ( 1 ) 0 ． 由于 F (a)
F (b)
0 ，由前面证明知 , 存在
(a, b) ，使
F ( )
0 ，即 f ( ) g ( ) ．
6． 设 k
0, 证明方程 kx
1
1 有且仅有一个正的实根．
x 2
证明：设 f ( x)
1 1 ． 当 k
0 1
1只有一个正的实根．下考虑 k 0时的
kx
，显然
x 2
x
2
情况．
先证存在性：
因为 f (x) 在 (0,
) 内连续，且 lim f ( x)
， lim f (x)
，由零点存在定
x 0
x
理知，至少存在一个
(0,
) ，使 f ( ) 0 ，即 kx
1 1 至少有一个正的实根． x
2
再证唯一性：假设有x1 , x2 0 ，且 x1x2，使 f ( x1 ) f ( x2 )0 ，根据罗尔定理，存在
( x1 , x2 ) (0,) ，使 f ( ) 0 ，即 k 2
0 ，从而 k
2
0 ，这与k
0矛盾．故
方
33
1
1只有一个正的实根．
程 kx
2
x
7．对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8 时开始工作，
在 t 小时之后，生产出 Q (t )t 39t 212t
个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？
解：因为()
Q () 3 21812
, x (t) Q (t)6t 18,令 x (t )0 ,得t 3 ．又
x t t t t
当 t 3 时，x (t )0 ．函数 x(t) 在 [0,3] 上单调增加；当t 3 时，x (t)0 ，函数 x(t ) 在 [3,) 上单调减少．故当 t3时，x(t)达到最大,即上午 11 时这个工人的工作效率最高．
第3章 微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便 于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是
最新微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数 的应用
第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；
微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
(完整版)利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理证明不等式 微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()f x ',()g x '不同时为零； （4）()()g a g b ≠； 则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
微分中值定理例题
理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理
()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
微分中值定理及其应用
分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月
目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0
根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条
微分中值定理及其在不等式的应用
安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期
微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点
中值定理与导数的应用(包括题)
第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<
(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；
微分中值定理的证明题(题目)
微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ， 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。 第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x 2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ； (C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( ) 3[1]1微分中值定理 及其应用 3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. https://www.360docs.net/doc/a013310062.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.360docs.net/doc/a013310062.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>微分中值定理与导数应用
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
最新数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)