(完整版)多元统计分析模拟试题(卷)
多元统计分析期末复习试题
第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章：
二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . )' ,...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )' )((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ) ,(~∑μP N X μ ∑ p X X X ,,,21
特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 μ ) ,(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ) () 1(,,n X X X )' ,,,(21p X X X )' )(() () (1 X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μ X ) 1 , (~∑n N X P μ) ,1(∑-n W p X X
多元统计分析期末试题
一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p 且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布 为 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,(' 21n i X X X X ip i i i ，总体),(~ p N X ，对样品进行分类常用的距离 2 ()ij d M )()(1j i j i x x x x ，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是： x y 10，多元回归的数学模型是： p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3 N X ，其中 200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21 X X 和3X 是否独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21 X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵 22211211，),(21 X X 的协差矩阵为11 因为12321),),cov(( X X X ，而012 ，所以),(21 X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互
多元统计分析试题(2012)
近几年，中国房地产业得到了长足的发展，但房地产价格的上涨一直饱受争议，甚至有逃离“北、上、广”的言论，这也从侧面反映了房地产价格的区域性特征，下表为2008年中国31个省、市、自治区房地产业的相关统计数据，试根据这些数据进行聚类分析。 表1中指标说明如下： X1：房屋平均销售价格； X2：住宅平均销售价格； X3：别墅、高档公寓平均销售价格； X4：经济适用房平均销售价格； X5：办公楼平均销售价格； X6：商业营业用房平均销售价格 X7：其他平均销售价格； X8：商品房销售面积； X9：住宅销售面积 表1
为研究某地区人口死亡状况，已按某种方法将15个已知样品分为3类，指标及原始数据见表2，试建立判别函数，并判定另外4个待判样品属于哪类？ 表2 X1：0岁组死亡概率X4：55岁组死亡概率 X2：1岁组死亡概率X5：80岁组死亡概率 X3：10岁组死亡概率X6：平均预期寿命 题3 利用主成分分析综合评价全国重点水泥企业的经济效益。原始数据见表3。 表3
题4 反映城镇居民消费支出状况的指标主要有食品、衣着、居住、家庭设备用品及服务、医疗保健、交通和通信以及教育文化娱乐服务等八项消费支出指标，数据如下表4所示。以2008年为例进行说明。选取反映我国各省、市、自治区的城镇居民人均消费支出8个指标作为原始变量，运用SPSS软件，对全国31个中心城市的人均消费水平水平作因子分析。
题5、在研究国家财政收入时,我们把财政收入按收入形式分为:各项税收收入、企业收入、债务收入、国家能源交通重点建设基金收入、基本建设贷款归还收入、国家预算调节基金收入、其他收入等。为了建立国家财政收入回归模型,我们以财政收入y(亿元)为因变量。自变量如下:x 1 ——农业增 加值(亿元),x 2——工业增加值(亿元),x 3 ——建筑业增加值(亿元),x 4 ——人口数(万人),x 5 ——社会 消费总额(亿元),x 6 ——受灾面积(万公顷)。据《中国统计年鉴》获得1979—1998共20个年分的统计数据,见表5。由定性分析知,所选自变量都与变量y有较强的相关性,试做出一个较为理想的回归方程。 表5
多元统计分析期末试卷
一、（本大题共2小题，每题5分，共10分） 1、设),(~3∑μN X ，其中???? ? ?????=∑-==221231111,)'1,3,2(,)',,(321μX X X X ，试求32123X X X +-的分布。 2、设三个总体321,G G G 和的分布分别为：)1,3()2,0(),5.0,2(222N N N 和。试按马氏距离判别准则判别x =2.5应判归哪一类？ 二、（本题10分）设'1233(,,)~(,)X X X X N μ=∑，其中 )10(11 1 ,)',,(321<
三、（本题10分）已知5个样品的观测值为：1，4，5，7，11.试用按类平均法对5个样品进行分类。 四、（本题10分）设有两个正态总体21G G 和，已知(m=2) ? ? ? ???=∑=∑??????=??????=32121218,2520,151021)1()1(μμ ，先验概率21q q =，而,10)12(=L 75)21(=L 。试问按贝叶斯判别准则样品?? ? ???=??????=2015,2020)2() 1(X X 各应判归哪一类？
五、（本题10分）假定人体尺寸有这样的一般规律：身高（1X ），胸围（2X ）和上半臂围（3X ）的平均尺寸比例是6：4：1。假定),,1()(n X =αα为来自总体)',,(321X X X X =的随机样本，并设),(~3∑μN X 。试利用下表中数据来检验其身高、胸围和上半臂围这三个尺寸是否符合这一规律。（94.6)4,2(,05.005.0==F α）
多元统计分析模拟试题教学提纲
多元统计分析模拟试 题
多元统计分析模拟试题（两套：每套含填空、判断各二十道） A卷 1)判别分析常用的判别方法有距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法、逐 步判别法。 2)Q型聚类分析是对样品的分类，R型聚类分析是对变量_的分类。 3)主成分分析中可以利用协方差矩阵和相关矩阵求解主成分。 4)因子分析中对于因子载荷的求解最常用的方法是主成分法、主轴因子法、 极大似然法 5)聚类分析包括系统聚类法、模糊聚类分析、K-均值聚类分析 6)分组数据的Logistic回归存在异方差性，需要采用加权最小二乘估计 7)误差项的路径系数可由多元回归的决定系数算出，他们之间的关系为 = 8)最短距离法适用于条形的类，最长距离法适用于椭圆形的类。 9)主成分分析是利用降维的思想，在损失很少的信息前提下，把多个指标转 化为几个综合指标的多元统计方法。 10)在进行主成分分析时，我们认为所取的m（m 22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? 一、判断题 （ 对 ）112(,,,)p X X X X '=L 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 ）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （ 对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。 （ 错）5),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，,X S 分别是样本均值和样本离差阵，则, S X n 分别是,μ∑的无偏估计。 （ 对）6),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，X 作为样本均值μ的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错）7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对）8因子载荷阵()ij A a =中的ij a 表示第i 个变量在第j 个公因子上的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher 判别与距离判别等 价。 （对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher 判别法对总体的分布无特定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵． 2、设∑是总体1(,,)m X X X =L 的协方差阵，∑的特征根(1,,)i i m λ=L 与相应的单 位正交化特征向量 12(,,,)i i i im a a a α=L ，则第一主成分的表达式是 11111221m m y a X a X a X =+++L ，方差为 1λ。 3设∑是总体1234(,,,)X X X X X =的协方差阵，∑的特征根和标准正交特征向量分别 为：' 112.920(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)U λ==--- ' 221.024(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)U λ==- '330.049(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)U λ==-- 一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα∑ :=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B 的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0 ΣΣ 第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 、判断题 （对）1X （兀公2丄，X p）的协差阵一定是对称的半正定阵 （对）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （对）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。（错）5X （X-X2，,X p） ~ N p（ , ），X,S分别是样本均值和样本离 S 差阵，则X,—分别是，的无偏估计。 n （对）6X （X「X2， ,X p） ~ N p（ , ），X作为样本均值的估计，是无偏的、有效的、一致的。 （错）7因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （对）8因子载荷阵A （a j）中的a ij表示第i个变量在第j个公因子上的相对重要性。 （对）9判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher判别与距离判别等价。（对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵. 2、设是总体X （X」,X m）的协方差阵，的特征根i（i 1,L ,m）与相应的单 位正交化特征向量i （盼无丄,a m），则第一主成分的表达式是 y1 Q1X1 812X2 L QmX m 方差为1。 3设是总体X （X1,X2,X3, X4）的协方差阵，的特征根和标准正交特征向量分别为： 1 2.920 U；(0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U2(0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U3(0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 0.007U4 （ 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930），则其第二个主成分的表达式是 4 《多元统计分析》试卷 1、若),2,1(),,(~)(n N X p =∑αμα 且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布为 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__ 距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,(' 21n i X X X X ip i i i ==，总体), (~∑μp N X ，对样品进行分类 常用的距离有：明氏距离，马氏距离 2 ()ij d M =)()(1 j i j i x x x x -∑'--，兰氏距离()ij d L = 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是：εββ++=x y 10，多元回归的数学模型 是： εββββ++++=p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 一、填空题（每空2分，共40分） 二、计算题（每小题10分，共40分） 1、设三维随机向量),(~3∑μN X ，其中??? ?? ??=∑200031014，问1X 与2X 是否独立？ ),(21'X X 和3X 是否独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21=X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵??? ? ??∑∑∑∑=∑22211211 ，),(21'X X 的协差矩阵为11∑因为12321),),cov((∑='X X X ，而012=∑，所以),(21'X X 和3X 是不相关的，而正态分布不 相关与相互独立是等价的，所以),(21'X X 和3X 是独立的。 2、设抽了五个样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是1 ,2 ,4.5 ,6 ,8。若样 本间采用明氏距离，试用最长距离法对其进行分类，要求给出聚类图。 解：样品与样品之间的明氏距离为：????????? ? ??=02 5 .36 7 05.14505 .25.30 105 432154 321) 0(x x x x x x x x x x D 样品最短距离是1，故把21X X 与合并为一类，计算类与类之间距离（最长距离法） 得距离阵 ??????? ? ?? =025.3705.1505.30} ,{},{54 32154321) 1(x x x x x x x x x x D 类与类的最短距离是 1.5，故把43X X 与合并为一类，计算类与类之间距离（最长距 1 、填空题(20分) 1、 若X Q ~ N p (g ,(a =1,2,…n)且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布为X ~ N p (g^|。 2、 变量的类型按尺度划分有 _间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、 判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有 —距离判别法_、Fisher 判别法、 Bayes 判别法、逐步判别法。 4、 Q 型聚类是指对_样品-进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、 设样品X i =(X i1,X i2^ X ip )',(i =1,2，…n)，总体X~N p (」「)，对样品进行分类常用的距离有： 明氏距离d j (q)=(壬|Xy q i j i j 6、 因子分析中因子载荷系数a j 的统计意义是—第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、 一元回归的数学模型是：y 曆x 童，多元回归的数学模型是 8、 对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、 典型相关分析是研究两组变量之间 相关关系的一种多元统计方法。 、计算题(60分) '4 1 1、设三维随机向量X~N 3(?2)，其中送=1 3 e 0 独立？为什么? 解：因为cov(X 1,X 2^1，所以X 1与X 2不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵瓦=f 11 ；12丨，(X 1,X 2/的协差矩阵为瓦 11 因为 —21 - 22 cov((X 1,X 2),X 3)=為12，而' 12 =0，所以(X 1, X 2)和X 3是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以(X 1,X 2)和X 3是独立的。 0，问X 1与X 2是否独立? 2> (X 1,X 2)和X 3是否 东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 多元统计分析 试卷类型： 答案 考试形式：开 授课专业： 数学与应用数学 考试日期： 2012年12月12日 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共30分） 1、设(1)(2)(,)p N ??=????:X X μX ∑(2)p ≥，(1)(2)??=????μμμ，11122122??=?? ??∑∑∑∑∑，其中(1)X ，(1) μ为1r ?，11∑为r r ?，则(1):X (1)11(,)r N μ∑，(2):X (2)22(,)p r N -μ∑ 2、系统聚类分析的方法很多，其中的五种分别为最短距离法、最长距离法、重心法、类平均法、离差平方和法。 3、若p 维随机向量~(,)p X N μ∑，~(,)p W W n ∑，且X 与W 相互独立，则 1()()~n X W X μμ-'--2(,)T p n ， 2 1(,)~n p T p n pn -+(,1)F p n p -+。 4、i X 与前个主成分的全相关系数的平方和21 (,)m k i k Y X ρ=∑称为12,,,m Y Y Y L 对原始变量 i X 的方差贡献率，在因子分析中也称之为共同度。 5、Q 型因子分析研究样品之间的相关关系，R 型因子分析研究变量之间的相关关系。 6、Fisher 判别法的基本思想是投影，并利用方差分析的思想来导出判别函数。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、（ √ ）随机向量12(,,,)p X X X 'L 的协方差阵()D X =∑是对称非负定阵。 2、（ × ）因子载荷矩阵A 是对称阵。 3、（ × ）聚类分析中快速聚类法指的就是模糊聚类法。 4、（ √ ）设(,)p N :X μ∑，(,)p W n :W ∑，且X 与W 相互独立，则 12()()(,)n T p n -':X μW X μ--。 5、（ × ）主成分分析中，从相关矩阵出发求解的主成分一定会比从协方差矩阵出发求解的主成分更可信。 装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级 应用多元统计分析 课程报告 班级专业:_ 市调0901 _ 学号: 2009***** __ 姓名:__ CYQ _____ 成绩:______________ 2010年10月7日 我国部分城市主要经济指标统计 ——官方与民间数据差异分析 一、引言 经济指标是反映一定社会经济现象数量方面的名称及其数值。本题主要经济指标包括人均GDP 1x （元）、人均工业产值2x （元）、客运总量3x （万人）、货运总量4x （万吨）、5x （亿元）、固定资产投资总额6x （亿元）、在岗职工占总人口的比例7x （％）、在岗职工人均工资额8x （元）、城乡居民年底储蓄余额9x （亿元）。所以我们借助这一指标体系对我国部分城市的主要经济指标进行分析。 二、数据分析 过程 1. 在SPSS 窗口中选择Analyze→Classify→Hierachical Cluster ，调出系统聚类分析主界面，并将变量X 1～X 5移入Variables 框中。在Cluster 栏中选择Cases 单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables ，则对变量进行聚类）。在Display 栏中选择Statistics 和Plots 复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。 2. 点击Statistics按钮，设置在结果输出窗口中给出的聚类分析统计 量。这里我们选择系统默认值，点击Continue按钮，返回主界面。 3. 点击Plots按钮，设置结果输出窗口中给出的聚类分析统计图。选 中Dendrogram复选框和Icicle栏中的None单选按钮，即只给出聚类树形图，而不给出冰柱图。单击Continue按钮，返回主界面。 4. 点击Method按钮，设置系统聚类的方法选项。这里我们仍然均沿 用系统默认选项。单击Continue按钮，返回主界面。 5. 点击Save按钮，指定保存在数据文件中的用于表明聚类结果的新 变量。None表示不保存任何新变量；Single solution表示生成一 应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别选择距离公式应遵循哪些原则 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 ,min i k j r kr ij X G X G D d ∈∈= min{,}kp kq D D = （2）最长距离法 ,max i p j q pq ij X G X G D d ∈∈= 21 ()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min xxx 大学期末试卷（A 卷） 考试科目：多元统计分析 考试类型：（闭卷） 考试时间：120 分钟 一、填空题（5×6=30） 22121212121~(,),(,),(,),,1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 (), 123设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111 X σ = 的方差21X g =1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.83511 00.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 二、计算题（5×11=50） 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ 东北三省经济发展水平 及影响因素因子分析 摘要：东北三省在我国属经济欠发达地区，对于这个资源丰富、地理位置占有绝对优势的地区来讲，这是一个可悲的现象。东北三省有着太多的共同点，但又有着各自的特点，这对于东北三省发挥各自的优势以及进行经济合作都是非常有利的。作为东北土生土长的孩子,很希望能为家乡的经济发展献计献策，贡献一份自己的力量。本文通过对部分经济指标进行因子分析，判断出造成东北三省经济差距的潜在因素及三省各自的优势，并给出东北三省发挥各自优势以及共同合作的建议。 关键词：经济比较，东北三省，因子分析 （一）前言 改革开放以来,我国的经济发展取得了举世瞩目的成就,综合国力日益增强,人民生活水平也显著提高，我国各个省的经济发展水平也都随着国力的增强而提高。但是，各个省的经济发展速度并不是同步的,导致省域经济发展水平不同,而且差距有日趋扩大的趋势。区域经济发展的不平衡性是世界经济、世界各国各地区经济发展中普遍存在的现象。就全世界而言，表现为发达国家与发展中国家之间的差距；就我国，则表现为东西部差距。这种不平衡发展会影响国民经济整体素质的提高以及国民经济的协调发展,关系到整个现代化的进程。在这种情况下,比较各省域的经济发展水平,明确各省域经济在整个国民经济中的位置,分析各省域的优势与劣势,对于各省域制定其最优发展策略以及对国家制定区域经济协调发展政策都有重大的意义。 在各地区的经济蓬勃发展的同时,东北三省经济日益相对落后,已成为制约中国经济跃上新台阶、实现工业化与现代化的瓶颈。在中华人民共和国历史上,东北三省经济曾有过令人刮目相看的成就与辉煌。直到1978 年,东北三省的人均GDP 仅次于京、津、沪3 大直辖市,在全国处于领先地位。但是,从上个世纪90 年代开始,东北三省经济发展明显落后了。由于中国改革开放首先从东南沿海地区起步,各种优惠政策首先在那里实施,外国资本及先进技术与管理方法最先从那里引入,因而东南沿海地区经济快速增长。尤其是自1992 年春天起,在邓小平南巡讲话精神的鼓舞下,中国经济发展战略的重点更是明显地移向东南沿海地区,资本、技术和人才一并“东南飞”。而此时，东北三省几乎被冷落、被担负大量沉重包袱的国企所拖累、被落后且严重失衡的产业结构所困扰,发展步伐日益趋缓。可以肯定地讲,东北三省经济若不振兴,中国的工业化与现代化必然大受影响,甚至难以实现。因此,振兴东北三省经济是当今中国经济发展的大局,是全国人民的根本利益所在。 我是一名土生土长的黑龙江人，虽然对家乡充满了无限的热爱，但也深知家乡的经济水平处在全国相对落后的位置。而黑龙江作为全国位置最东北的一个省，作为东北三省这个整体的重要组成部分，对于整个东北的发展也起到至关重要的作用。因此，我通过对本文的创作，对东北三省的经济进行综合的比较和分析，得到三个省各自的优势和劣势，为其各自的发展和东北三省彼此间的合作提出合理的意见和建议，希望能够为东北三省的经济发展提供一定的帮助。 1、设X ~ N 2(, ),其中X =(x 1,x 2),=( 1,2), = 2 , 2 I 2 1 2 1 则Cov(x +x ,x -x )= ________ . 10 2、设X i ~ N 3(,),i =1,L ,10,则W = ( X i -)(X i - ) i =1 服从 ______________ 。 4 - 4 3 3、设随机向量X = (x 1 x 2 x 3 ) ,且协方差矩阵 = -4 9 -2, 3 - 2 16 则它的相关矩阵R = ____________________ 4、 设X=(x 1 x 2 x 3 ), 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 X 1 的共性方差h 1 2 = _______________ X _1 ， 的 方 差 11 = 公 因子f 1对X 的贡献g 12 = 5、设X i ,i =1,L,16 是来自多元正态总体 N p ( , ),X 和A 分别为正态总体N p (,) 的样本均值和样本离差矩阵,则T 2=15[4(X -)] A - 1[4(X - )] ~ ____________________ 。 16 - 4 2 1、设 X =(x 1 ,x 2 ,x 3 )~ N 3(, ),其中= (1,0, -2), = -4 4 -1 2 - 1 4 试判断x 1 + 2x 3 与 x 2 - x 3 是否独立？ I 、设随机向量X 的均值向量、协方差矩阵分别为 、 , R = 1 2 3 0.934 0.128 -0.417 0.835 0= -0.417 0.894 0.027 0.894 0.447 0.835 0.447 0.103 1 1 3 0 多元统计分析模拟试题（两套：每套含填空、判断各二十道） A卷 1) 判别分析常用的判别方法有距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法、逐步判别法。 2) Q型聚类分析是对样品的分类，R型聚类分析是对变量_的分类。 3) 主成分分析中可以利用协方差矩阵和相关矩阵求解主成分。 4) 因子分析中对于因子载荷的求解最常用的方法是主成分法、主轴因子法、极大似然法 5) 聚类分析包括系统聚类法、模糊聚类分析、K-均值聚类分析 6) 分组数据的Logistic回归存在异方差性，需要采用加权最小二乘估计 7) 误差项的路径系数可由多元回归的决定系数算出，他们之间的关系为P P=√P?P P 8) 最短距离法适用于条形的类，最长距离法适用于椭圆形的类。 9) 主成分分析是利用降维的思想，在损失很少的信息前提下，把多个指标转化为几个综 合指标的多元统计方法。 10) 在进行主成分分析时，我们认为所取的m（m 14) 将每个原始变量分解为两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几个公共 因子组成的，另一部分是每个变量独自具有的因素，即特殊因子 15) 判别分析的最基本要求是分组类型在两组之上，每组案例的规模必须至少一个以上， 解释变量必须是可测量的 16) 当被解释变量是属性变量而解释变量是度量变量时判别分析是合适的统计分析方法 17) 多元正态分布是一元正态分布的推广 18) 多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的，多元正态分布是多元分析的 基础 19) 因子分析中，把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中，把主成分表示成各 变量的线性组合。 20) 统计距离包括欧氏距离和马氏距离两类 1) 因子负荷量是指因子结构中原始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相关程度。 （√）（p147） 2) 主成分分析是将原来较少的指标扩充为多个新的综合指标的多元统计方法。（×）（p24） 3) 判别分析其被解释变量为属性变量，解释变量是度量变量。（√）（p90） 4) Logistic回归对于自变量有要求，度量变量或者非度量变量都不可以进行回归。（×） (p220) 5) 在系统聚类过程中，聚合系数越大，合并的两类差异越小。（×） (P59)多元统计分析期末试题及答案.doc
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