§94电磁感应中的力学问题

§9.4 电磁感应中的力学问题

内容要求电磁感应规律的应用Ⅱ

1. 概述

(1)电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的有关规律，如牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律、动量守恒定律等，要将电磁学和力学的知识综合起来应用．

(2)基本思路

①用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向；

②求回路电流；

③分析导体受力情况（包含安培力，用左手定则确定其方向）；

④列出动力学方程或平衡方程并求解．

2. 动态问题分析

(1)由于安培力和导体中的电流、运动速度均有关，所以对磁场中运动导体进行动态分析十分必要，当磁场中导体受安培力发生变化时，导致导体受到的合外力发生变化，进而导致加速度、速度等发生变化；反之，由于运动状态的变化又引起感应电流、安培力、合外力的变化，这样可能使导体达到稳定状态．

(2)思考路线：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→最终明确导体达到何种稳定运动状态（不能认为一定是匀速直线运动状态）．分析时，要画好受力图，注意抓住a＝0时速度v达到最值的特点．

【典型例题】

［例1］如图所示，电阻不计的平行金属导轨MN 和OP水平放置，MO间接有阻值为R的电阻，导轨相距为d，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B．质量为m、电阻为r的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好．用平行于MN的恒力F向右拉动CD，CD受恒定的摩擦阻力．f，已知F>f．问：

(1)CD运动的最大速度是多少?

(2)当CD达到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少?

(3)当CD的速度是最大速度的1/3时，CD的加速度是多少? ［例2］如图所示，水平导轨间距为L左端接有阻值为R的定值电阻，在距左端x0处放置一根质量为m、电阻为r的导体

棒，导体棒与导轨间

无摩擦且始终保持

良好接触，导轨的电

阻可忽略，整个装置

处在竖直向上的匀

强磁场中，问：在下列各种情况下，作用在导体棒上的水平拉力F的大小应如何？

（1）磁感应强度为B=B0保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动；

（2）磁感应强度为B=B0+kt随时间t均匀增强，导体棒保持静止；

（3）磁感应强度为B=B0保持恒定，导体棒由静止始以加速度a向右做匀加速直线运动；

（4）磁感应强度为B=B0+kt随时间t均匀增强，导体棒以速度v向右做匀速直线运动。

［例3］如图所示，水平放置的两根足够长的平行光滑金属导轨相距L，质量为m的金属杆ab垂直置于导轨上，两导轨左端接的定值电阻阻值为R，右端接电容器的电容为C，匀强磁场方向垂直于导轨平面竖直向下，磁感应强度为B。不计金属杆和金属导轨的电阻。

（1）当金属杆ab在水平外力F1作用下以速度v0向右匀速运动时，求电容器所带电量和金属杆ab 所受水平外力F1的大小；

（2）现让金属

杆ab在水平外

力F2作用下由

从静止开始以

加速度a向右做

匀加速运动t时

间，求该过程中

电容器的充电

电流I C和F2随时间t变化的关系式。

［例4］如图所示，两

x0

L

F

B

a

b

C

F

R

条互相平行的光滑导轨位于水平面内，距离为l ＝0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R ＝0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一水平面垂直的均匀磁场，磁感应强度B ＝0.5T ．一质量为m ＝0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0＝2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于直杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a ＝2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且连接良好．求：

（1）电流为零时金属杆所处的位置；

（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；

（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取得的关系．

［例5］在如图所示的水平导轨（摩擦、电阻忽略不计）处于竖直向下的匀强磁场中，

磁场的磁感强度

为B ，导轨左端的间距为104L l = ，右端间距20L l =，

两段导轨均足够长。今在导轨上放置AC 、DE 两根导体棒，质量分别为102m m =，20m m =。电阻分别为104R R =，20R R =。若AC 棒以初速度v 0向右运动，求：

（1）定性描述全过程中AC 棒的运动情况；

（2）两棒在达到稳定状态前加速度之比

1

2

a a ； （3）两棒在达到稳定状态时速度大小关系。 【自我检测】

1．如图甲中bacd 为导体做成的框架，其平面与水平面成θ角，质量为m 的导体棒ＰＱ与ab 、cd 接触良好，回路的电阻为Ｒ，整个装置放于垂直框架

平面的变化的磁场中，磁感强度Ｂ变化的状况如图乙，ＰＱ始终静止，在0～ts 内，ＰＱ受到的摩擦力的变化状况可能是（ ）

A ．f 一直增大

B ．f 一直减小

C ．f 先减小后增大

D ．f 先增大后减小

2．超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力的新型交通工具．其推进原理可以简化为如图所示的模型：在水平面上相距L 的两根平行直导轨问，有竖直方向等距离分布的匀强磁场B 1和B 2，且B 1=B 2=B ，每个磁场的宽都是L ，相间排列，所有这些磁场都以速度v 向右匀速运动．这时跨在两导轨间的长为L 、宽为L 的金属框abcd(悬浮在导轨上方)在磁场力作用下也将会向右运动．设金属框的总电阻为R ，运动中所受到的阻力恒为f ，则金属框的最大速度可表示为( )

A ．2222/)(L

B fR v L B v m -= B ．22222/)2(L B fR v L B v m -=

C ．22224/)4(L B fR v L B v m -=

D ．22222/)2(L B fR v L B v m

+=

3．如图所示，足够长的导线框abcd 固定在竖直平面内，bc 段电阻为Ｒ，其他电阻不计，ef 是一电阻不计的水平放置的导体杆，质量为m ，杆的两端分别与ab 、cd 良好接触，又能沿框架无摩擦滑下，整个装置放在与框面垂直的匀强磁场中。当ef 从静止开始下滑，经过一段时间后，闭合开关Ｓ，则在

A C

D

E

m 1m 2v 0

R 1

R 2

闭合开关Ｓ后（）

A．ef加速度的数值有可能大于

重力加速度

B．如果改变开关闭合时刻，ef先、后两次获得的最大速度一定不同

C．如果ef最终做匀速运动，这时电路消耗的电功率也因开关闭合时刻的不同而不同

D．ef两次下滑过程中，系统机械能的改变量等于电路消耗的电能与转化的内能之和

4．如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导

轨相距1m，导轨平面与

水平面成θ＝37o角，下

端连接阻值为R的电

阻，匀强磁场方向与导

轨平面垂直，质量为

0.2kg，电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25．

（1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；

（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R 消耗的功率为8W，求该速度的大小；

（3）在上问中，若R＝2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向．（g＝10m/s2，sin37o＝0.6，cos37o＝0.8）

【课后练习】

§9.4 电磁感应中的力学问题

1．如图所示，有两根和水平方向成。角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为及一根质量为m 的金属杆从轨道上由静止滑下。经过足够长的时间后，金

属杆的速度会趋近于一个最大速度v m ，则 ( )

（A ）如果B 增大，v m 将变大 （B ）如果α变大，v m 将变大 （C ）如果R 变大，v m 将变大 （D ）如果m 变小，v m 将变大

2．如图所示，在一均匀磁场中有一U 形导

线框abcd ，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R 为一电阻，ef 为垂直于ab 的一根导体杆，它可在ab 、cd

上无摩擦地滑动.杆ef 及线框中导线的电阻都可不计.开始时，给ef 一个向右的初速度，则（ ）

A.ef 将减速向右运动，但不是匀减速

B.ef 将匀减速向右运动，最后停止

C.ef 将匀速向右运动

D.ef 将往返运动

3．如图所示，让闭合线圈abcd 从高h 处下落后，进入匀强磁场中，在bc 边开始进入磁场，到ab 边刚进入磁场的这一段时间内，表示线圈运动的v －t 图像可能是下图中的中哪几个?（ ）

4．如图所示，A 线圈接一灵敏电流计，B 线框放在匀强磁场中，B 线框的电阻不计，具有一定电阻的导体棒可沿线框无摩擦滑动，今用一恒力F 向右拉CD 由静止开始运动，B 线框足够长，则通过电流计中的电流方向和大小变化是（ ）

A ．G 中电流向上，强度逐渐增强

B ．G 中电流向下，强度逐渐增强

C ．G 中电流向上，强度逐渐减弱，最后为零

D ．G 中电流向下，强度逐渐减弱，最后为零 5．如图所示，一边长为L 的正方形闭合导线框，下落中穿过一宽度为d(d ＞L)的匀强磁场区，设导线框在穿过磁场区的过程中，不计空气阻力，它的上下两边保持水平，线框平面始终与磁场方向垂直做加速运动，若线框在

位置Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ时，其加速度a 1，a 2，a 3的方向均竖直向下，则（ ） A ．a 1=a 3＜g ，a 2=g B ．a 1=a 3＜g ，a 2=0 C ．a 1＜a 3＜g ，a 2=g D ．a 3＜a 1＜g ，a 2=g

6．两根相距为 L 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面.质量均为 m 的金属细杆 ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为 μ，导轨电阻不计，回路总电阻为 2R.整个装置处于磁感应强度大小为 B ，方向竖直向上的匀强磁场中.当 ab 杆在平行于水平导轨的拉力 F 作用下以速度 v 1 沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度 v 2 向下匀速运动.重力加速度为 g.以下说法正确的是（ ）

A ．ab 杆所受拉力 F 的大小为μmg+

B ．cd 杆所受摩擦力为零

C ．回路中的电流强度为

D ．μ 与 V 1 大小的关系为 μ=

7．如图所示，用粗细不同的铜丝制成两个边长

t /s υ/m ·s -1 O t /s υ/m ·s -1 O A B t /s υ/m ·s -1 O

t /s

υ/m ·s -1 O

C

D

相同的正方形闭合线圈a 和b ，让它们从相同的高度处同时自由下落，下落中经过同一个有边界的匀强磁场区域，设经过匀强磁场区域时线框平面始终与磁场方向保持垂直，若不计空气阻力，则（ ）

A ．两个导线框同时落地

B ．粗铜丝制成的线框a 先落地

C ．细铜丝制成的导线框b 先落地

D ．磁场区宽度未知，不能确定

8．正方形的闭合线框，边长为a ，质量为m ，电阻为R ，在竖直平面

内以某一水平初速度在垂直于框面的水平

磁场中，运动一段时间t 后速度恒定，运动过

程中总有两条边处在

竖直方向（即线框自身不转动），如图所示。

已知磁场的磁感应强度在竖直方向按B=B 0+ky 规律逐渐增大，k 为常数。在时间t 内（ ）

A ．水平分速度不断减小

B ．水平分速度不断增大

C ．水平分速度大小不变

D ．在竖直方向上闭合线框做自由落体运动 9．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离

l ＝0.20m ，有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培力.

10．如图所示，abcd 为质量M =2kg 的导轨，

放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量m =0.6kg 的金属棒PQ 平行bc 放在水平导轨上，PQ 棒左边靠着绝缘固定的竖直立柱e 、f ，导轨处于匀强磁场中，磁场以OO ′为界，左侧的磁场方向竖直向上，右侧的磁场方向水平向右，磁感应强度大小均为B=0.8T.，导轨的bc 段长0.5m l =，其电阻Ω=4.0r ，金属棒的电阻R=0.2Ω，其余电阻均可不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数.2.0=μ 若在导轨上作用一个方向向左、大小为F=2N 的水平拉力，设导轨足够长，g 取10m/s 2，试求： （1）导轨运动的最大加速度； （2）流过导轨的最大电流； （3）拉力F 的最大功率.

11．如图所示，水平面上有两电阻不计的光滑金属导轨平行固定放置，间距d 为0.5米，左端通过导线与阻值为2欧姆的电阻R 连接，右端通过导线与阻值为4欧姆的小灯泡L

连接；在CDEF 矩形区域内有竖直向上均匀磁场，CE 长为2米，CDEF 区域内磁场的磁感应强度B 如图所示随时间t 变化；在t =0s 时，一阻值为2欧姆的金属棒在恒力F 作用下由静止从AB 位置沿导轨向右运动，当金属棒从AB 位置运动到EF 位置过程中，小灯泡的亮度没有发生变化。求：

（1）通过的小灯泡的电流强度； （2）恒力F 的大小； （3）金属棒的质量。

x

y O

V F

B

e

b

a

c

B

O

O`

f

12．如图所示，光滑的平行金属导轨CD与EF 间距为L=lm ，与水平地面夹角为θ，且sin θ= 0.4 ，导轨上端用导线CE 连接，导轨和连接导线的电阻不计，导轨处在磁感应强度为B = 0.1 T 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中一根电阻为R =1Ω的金属棒M N 两端有导电小轮搁在两导轨上，棒上有吸水装置P．取沿导轨向下为x轴正方向．坐标原点O在CE 中点．开始时棒处在x ＝0位置（即与CE 重合），棒的起始质量不计．设棒自静止开始下滑，同时开始吸水，质量逐渐增大，设棒的质量与位移x的平方根成正比，即m =k x ，k 为一常数，k =0.01kg/m，取g =10 m/s2问：( l ）金属棒下滑2m 位移过程中，流过棒的电荷量是多少？( 2 ）猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动，并加以证明( 3 ）金属棒下滑lm 位移时速度为多大？

§9.4 电磁感应中的力学问题参考答案 【典型例题】

［例1］(1)以金属棒为研究对象，当CD 受力F=F A +f 时，CD 速度最大，即：

2222

()() m m B d v F f R r F BId f f v R r B d -+=+=+=

+得

(2)CD 棒产生的感应电动势为 Bd

r R f F Bdv E m ))((--=

=

回路中产生的感应电流为 Bd

f

F r R E I -=

+= 则R 中消耗的电功率为 2

222

)(d B R f F R I R P -=

=

(3)此时CD 棒所受的安培力为

)(3

1

''f F d BI F A -==

CD 棒的加速度为m

f F m F f F a A

3)(2'

-=--=

［例2］（1）E=BLv ，I=r

R E

+，F=B 0IL =r R v L B +220

(2)E=

=??t φt B ??Lx 0，t

B

??＝k ， E=kLx 0，F=BiL=

2

00()kx L B kt R r

++ （3）v=at ，F-BIL=ma ，F=BIL+ma=

ma at r

R L B ++2

20 (4) E =

t

??φ

=BLv+kL(x 0+vt)=(B 0+kt)Lv+kL(x 0+vt) F=BIL=r

R L vt x k v kt B kt B r R BLE +++++=+2

000)]())[((

［例3］（1）ab 杆切割产生感应电动势为 E ＝BLv ，电容器带电量Q ＝CE ，ab 杆中电流

E

I R

=

，ab 杆所受安培力为 F ＝BIL ，解得22B L v F R

=

（2）电容器中充电电流I C ＝t

Q

??，ΔQ ＝C ·ΔE ΔE ＝BL Δv ，a ＝

v

t

?? ，解得 C I CBLa = 通过电阻R 上的电流R E BLat

I R R

=

=

通过ab 杆上的电流 C R BLat

I I I CBLa R

=+=+

根据牛顿第二定律 2F BIL ma -=

解得 2222

2B L a

F ma CB L a t R

=++ ［例4］（1）感应电动势E ＝Blv ，E

I R

= 所以 I ＝0时，v ＝0

则： 2

2v x a

==1m

（2）最大电流 0m Blv I R =

22m I Blv I R '== 安培力 220

2B l v f I Bl R

'===0.02N

向右运动时 F ＋f ＝ma ，F ＝ma －f ＝0.18N 方向与x 正向相反

向左运动时 F －f ＝ma ，F ＝ma ＋f ＝0.22N 方向与x 正向相反

（3）开始时 v ＝v 0， 220

m B l v f I Bl R

==

F f ma +=

220

B l v F ma f ma R

=-=-

当v 0＜22maR

B l

＝10m/s 时，F ＞0 方向与x

正向相反

当v 0＞22maR

B l

＝10m/s 时，F ＜0 方向与x

正向相同

［例5］A 、C 棒向右运动，回路中产生顺时针感应电流，A 、C 棒受安培力的作用后减速；D 、E 棒受安培力产生加速度向右运动，回路中磁通量的变化减慢，感应电流逐渐减小，因此两棒所受的安培力均减小，最终回路中感应电流为零。即AC 棒做加速度减小的减速运动，最终匀速运动。

（1） 两棒达到稳定之前AC 、DE 棒中通过的电流

大小始终相等，设加速度分别为1a 和2a

11

111

F BIL a m m =

=

22

222

F BIL a m m =

=

124m m = 124L L = 11222121

a L m a L m == （2） 两棒在达到稳定之前，回路中始终存在磁通

量的变化，有感应电流就会产生焦耳热。当两棒运动速度满足一定关系时，回路中的磁通量不变，则总电动势为零，两棒均做匀速运动，

不再产生热量。设两棒最终速度分别为1v 、2v ，则 1122BL v BL v =得 2

14

v v =

【自我检测】

1．AC 2．C 3．A （杆在重力和安培力作用

下运动，若安培力大于重力的两倍，则加速度大于

重力加速度；由二力平衡可得，杆最终匀速运动的速度相同；杆整个运动过程能量守恒。）

4．（1）金属棒开始下滑的初速度为零，根据

牛顿第二定律 mg sin θ－μmg cos θ＝ma 解得 a ＝4m/s 2 （2）设金属棒运动达到稳定时，速度为v ，所受安培力为F ，棒在沿导轨方向受力平衡

mg sin θ－μmg cos θ－F ＝0

此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R 消耗的电功率 Fv ＝P

解得10P

v F

==m/s

（3）设电路中电流为I ，两导轨间金属棒长为l ，磁场的磁感应强度为B Blv

I R =

P ＝I 2R 解得 0.4PR

B vl

==T ，

磁场方向垂直导轨平面向上．

【课后练习】

1．BC 2．A 3．ABD （由于电磁感应现象总是起到阻碍作用，安培力的大小与运动速度有关F=B 2L 2v/R ，根据牛顿第二定律可知，线圈可能做匀速运动、加速度减小的加速或减减速运动。）

4．D （由楞次定律可知G 中电流向下，导体棒在外力和安培力作用下作加速度减小的加速运动，穿过左边回路的磁通量增加越来越慢，最后CD 匀速运动时，G 中无感应电流。）

5．D 6．AD （ab 棒切割磁感线产生感应电动势，cd 棒不切割磁感线，整个回路中的感应电动势 E 感=BL ab v 1=BLv 1，回路中感应电流

I=

，选项 C 错误.ab 棒受到的安培力

为 F 安=BIL=B =，ab 棒沿导轨匀速

运动，受力平衡.ab 棒受到的拉力为 F=F 摩

+F

安

=μmg+，选项 A 正确.cd 棒所受摩擦力为

f=μF 安=μ，选项 B 错误.cd 棒也匀速直线

运动，受力平衡，mg=f ，mg=μ，μ=，选项 D 正确.）

7．A （根据E=BLv ，E=IR ，R=ρL/S ，m=DSL ，F 安=BIL ，a=(mg-F 安)/m ，推出2B v a g D

ρ=-，可见

加速度与导线的粗线无关。） 8．C 9．以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离221at L =，此时

杆的速度at v =，这时，杆与导轨构成的回路的面

积S ＝Ll ， 回路中的感应电动势 Blv t B

S

E +??= 而：B ＝kt ，

()B k t t kt

k t t

?+?-==?? 回路的总电阻R ＝2Lr 0，回路中的感应电流

R

E

i =

，作用于杆的安培力Bli F = 解得 t

r l k F 0

2

2123=，代入数据为N F 31044.1-?=

10．（1）导轨向左运动时，导轨受到向左的拉力F ，向右的安培力F 1和向右的摩擦力f 。

根据牛顿第二定律：Ma f F F =--1

F 1=BI l f =μ(mg —BI l ) (1)F mg BIl a M

μμ---=

整理得

当I=0时，即刚拉动时，a 最大.

2max 0.4m/s F mg

a M

μ-=

= （2）随着导轨速度增大，感应电流增大，加速度减小。当a =0时I 最大，则 0)1(max =---l BI mg F μμ

max 2.5A (1)F mg I Bl

μμ-==- （3）当a =0时，I 最大，导轨速度最大有

r

R Blv I +=

max

max

s m Bl

r R I v /75.3)

(max max =+=

max max 7.5W P F v ∴=?=

11．（1）在金属棒棒未进磁场，电路中总电阻:R 总=R L +R/2=4+ 2/2 = 5Ω

线框中感应电动势：

V V t BS t E 5.02

5

.0241=??=??=??=

φ 灯泡中的电流强度：

A A R E I L 1.05

5.0===

总 (2)因灯泡中亮度不变，故在4秒末金属棒棒

刚好进入磁场，且作匀速直线运动，

此时金属棒棒中的电流强度：

0.14

(0.1)0.32

L L L R L I R I I I I A A R ?=+=+

=+= 恒力F 的大小：F = F A = BId= 0.3N

(3)金属棒产生感应电动势：

2()1V L L R R

E I R R R =+=+

金属棒在磁场中的速度：

s m s m Bd E v /1/5

.0212=?==

金属棒的加速度：2/41

s m t v a ==

据牛顿第二定律，金属棒的质量：

kg kg a F m 2.125

.03.0===

12．(1) 0.2C (2)假设做匀变速运动则得

02sin 22=--

i i ka a R

L B kg θ

从上述方程可以看出a i 的解是一个定值，与位移

x 无关，表明前面的假设成立，即棒是做匀加速运动。

（3）将数据代入 a =2m/s 2，v =2m/s