第七章玻耳兹曼统计教案..

热力学与统计物理课程教案

第七章玻耳兹曼统计 7.1 热力学量的统计表达式

一、定域系统的内能、广义力和熵统计表达式

在§6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。

内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==l

βεαl l l

l l l e ωεεa U ①

引入函数1Z :∑-=l

βεl l e εZ 1 ②

名为粒子配分函数。由式∑--=l

βεαl l e ωN ②，得：1Z e e ωe N αl

βεl αl ---==∑ ③

上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利用它消去式①中的α。经过简单的运

算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αl

l ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④ 式④是内能的统计表达式。

在热力学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。

如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的广义作用力。

粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的一个粒子的力为

εl

??。因此，外界对系统的广义作用力Y 为： 11

ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy

a y εY αl βεl αβεαl l l l l

l l l ??-=???

? ????-=???? ????-=??=??=-----∑∑∑

⑤

式⑤是广义作用力的统计表达式。它的一个重要例子是：1ln Z V

βN P ??

在无穷小的准静态过程中,当外参量有dy 的改变时,外界对系统所作的功是：l l

l l l

εd a a y εdy Ydy ∑∑

=??= 将内能∑=l

l l εa U 求全微分,有：l l

l l

l l da εεd a dU ∑∑+=

上式指出,内能的改变可以分成两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化。

在热力学中讲过,系统在过程中从外界吸收的热量与过程有关，因此Q d 不是全微分而只是一个无穷小量。根据热力学第二定律可以证明, Q d 有积分因子T

,用

1乘Q d 后得到完整微分dS ：()dS Ydy dU T Q d T =-=1

代入热力学基本方程，可得：dy y Z N Z d N Ydy dU Q d ??+????

????-=-=11ln ln ββ 因为配分函数1Z 是y β、的函数，1ln Z 的全微分为：

dy y

Z βd βZ Z d ??+??=

11ln ln ln 因此，得：()???? ????

-=-11ln ln Z ββZ Nd Ydy dU β 既然β和

1都是Q d 的积分因子，可以令：kT β1

根据微分方程关于积分因子的理论,当微分方程有一个积分因子时,它就有无穷多个积分因子,任意两个积分因子之比是S 的函数。

由???? ????-=11ln ln Z ββZ Nkd dS 积分可得：???? ????

-=11ln ln Z ββZ Nk S 讨论熵的统计意义。将③式取对数，得：αN Z +=ln ln 1 代入可得：()()??

? ?

?++=++=∑l l

l a βεαN N k U βN αN N k S ln ln

而由玻耳兹曼分布l

βεαl l e

ωa --=可得：l

l a ωβεαln

=+ 所以S 可以表为：??

???-+

=∑∑l l l l l l a a ωa N N k S ln ln ln 比较可得：Ω=ln k S

上式称为玻耳兹曼关系。玻耳兹曼关系给熵函数以明确的统计意义。某个宏观状态的熵等于玻尔兹曼常量k 乘以相应微观状态数的对数。在热力学部分曾经说过，熵是混乱程度的量度，就是指上式而言的。某个宏观状态对应的微观状态数越多，它的混乱程度就愈大，熵也愈大。

二、满足经典极限条件的玻色(费米)系统热力学量的统计表达式

上述熵的表达式适用于粒子可分辨的系统（定域系统）。对于满足经典极限条件的玻色（费米）系统，由玻耳兹曼分布直接导出的内能和广义力的统计表达式仍适用。由于这些系统的微观状态数为!/..N B M Ω，如果要求玻耳兹曼关系仍成立，熵的表达式应改为：!

.N k S B M Ω=。综上所述可以知道，如果求得配分函数1Z ，就可以求得基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部平衡性质。因此1ln Z 是以y β、为变量的特性函数。在热力学部分讲过，以V T 、为变量的特性函数是自由能TS U F -=。代入可得：

1111ln ln ln ln Z NkT Z ββZ NkT Z βN

F -=???

? ????

--??-=或 !ln ln 1N kT Z NkT F +-=

两式分别适用于定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统。

讨论经典统计理论中热力学函数的表达式。配分函数为：∑?=-l

βεh ωe Z l

01。取l ω?足够小，上式的求和可化为积分：

()???--==r r

r q p βεr l βεh dp dp dp dq dq dq e h ωd e Z l

2121,01

只要将配分函数改为上式，内能、物态方程和熵的统计表达式将保持不变。

7.2 理想气体的物态方程

一、用玻耳兹曼分布推导理想气体的物态方程

作为玻耳兹曼统计最简单的应用，本节讨论理想气体的物态方程。在§6.8说过，一般气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，我们将本节结束前对此详细加以分析。

为明确起见，考虑单原子分子理想气体。后面将说明，所得结果对双原子分子或多原子分子理想气体是同样适用的。在一定近似下，可以把单原子分子看作没有外场时，可以把单原子分子理想气体中分子的运动看作粒子在容器内的自由运动。其能量表达式为()

221z y x p p p m

ε++=

①。其中z y x p p p 、、的可能值由式给出。不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值实际上是连续的。在z y x dp dp dxdydzdp 范围内，分子可能的微观状态数为：

dp dp dxdydzdp z

y x

配分函数为：()

z y x p p p m β

dp dp dxdydzdp e h

Z z y x 2

222311++-??= ②

积分可得：2

/3212?

??=βh m πV Z

其中dxdydz V ???=是气体的体积。可求理想气体的压强为：V

NkT

Z V βN P =??=

1ln ③ 上式是理想气体的物态方程。玻耳兹曼常量的数值就是将上式与实验测得的物态方程相比较而求得的。

对于双原子或多原子分子，分子的能量除式①给出的平动能量外，还包括转动、振动等能量。由于计及转动、振动能量后不改变分函数1Z 对V 的依赖关系，

根据式求物态方程仍将得到式③。

如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，应将分子平动能量的经典表达式代入配分函数式，积分后得到的配分函数与式②相同，只有的h h ?0的差别，由此得到的物态方程与式③完全相同。所以在这问题上，由量子统计理论和由经典统计理论得到的结果是相同的。值得注意，在这问题上，除了玻耳兹曼分布适用外，能量ε是准连续的变量。二、经典极限条件

最后作一简略的估计，说明一般气体满足经典极限条件1>>αe 。由于

N Z e α/1=。将式②的1Z 代入，可将经典极限条件表为：

122

/32>>?

? ??=h mkT πN V e α

由上式可知，如果（1）V N /愈小，即气体愈稀薄；（2）温度愈高；（3）分子的质量m 愈大，经典极限条件愈易得到满足。

经典极限条件1>>αe 也往往采用另一方式表述。将上改写为：

1212

/1>>?

?? ??>>mkT πh N V

分子的德布罗意波长为ε

m h p

λ2==

。如果将ε理解为分子热运动的平均能量，

估计为kT π，则上式右方可以理解为德布罗意波的平均热波长。左方是气体中分子的平均距离，所以经典极限条件也往往表述为气体中分子间的平均距离远大于德布罗意波的热波长。以V

n =

表分子的数密度，则上式也可表达为：13<<λn 。 7.3 麦克斯韦速度分布律

一、推导麦克斯韦速度分布律

本节根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。

设气体含有N 个分子，体积为V 。在§7.2已经说明，气体满足经典极限条

件，遵从玻耳兹曼分布，而且在宏观大小的容器内，分子的平动能可以看作准连续的变量。因此在这问题上，量子统计理论和经典统计理论给出相同的结果（0h 的数值对结果没有影响）。为明确起见，在本节中我们用经典统计理论进行讨论。

玻耳兹曼分布的经典表达式是：r l

βεαl h ωe a l

?=-- ① 在没有外场时，分子质心运动能量的经典表达式为

()

221z y x p p p m

ε++=

在体积V 内，在z y x dp dp dp 的动量范围内，分子质心平动的状态数为：

h dp dp Vdp z

y x

因此，在体积V 内，质心平动动量在z y x dp dp dp 范围内的分子数为

()z y x p p p m β

αdp dp dp e h V z y x 22

2230

++-- ② 参数α由总分子数为N 的条件定出：

()

N dp dp dp e

h V z y x p p p m

βαz y x =???++-

-2

22230

③

将积分求出，整理后可得：2

/3202??

????=-m kT πh V

N e α

④

将式④代入式②，即可得质心动量在z y x dp dp dp 范围内的分子数为：

()z y x p p p mkT dp dp dp e

mkT πN a z y x 22

221

/321++-??

? ??= ⑤ 这结果与0h 数值的大小无关。

如果用速度作变量，以z y x v x v 、、代表速度的三个分量：

z z y y x x mv p mv p mv p ===,,

代入式⑤便可得在z y x dv dx dv 范围内的分子数为：

()

z y x v v v kT

m dv dv dv e

kT πm N a z y x 2

2222

/32++-

?? ??= ⑥

以V

n =

表单位体积内的分子数，则在单位体积内，速度在z y x dv dx dv 内的分子数为：

()

z y x v v v kT

m z y x z y x dv dv dv e

kT πm n dv dv dv v v v f z y x 2

2222

/32,,++-

??= ⑦

函数

()z

y x v v v f ,,满足条件：

()???∞

-=n dv

dv dv v v v f z

,, ⑧

式⑦就是熟知的麦克斯韦速度分布律。

引入速度空间中的球极坐标φθv ,,,以球极坐标的体积元φd θdvd θv sin 2代替直角坐标的体积元z y x dv dv dv ，对φθ,积分后可得，在单位体积内，速率在dv 范

围内的分子数为：dv v e

kT πm n πv kT

m 222

/32

24-

?? ⑨

式⑨称为气体分子的速率分布。速率分布函数满足：

n dv v e

kT πm n πkT

mv =?

? ???

∞

/3224

二、最概然速率，平均速率，方均根速率

速率分布函数有一极大值，使速率分布函数取极大值的速率称为最概然速率，以m v 表示。如果把速率分为相等的间隔，m v 所在的间隔分子数最多。m v 由下式确定：

0222

=???

??-v e dv d kT mv

由此得： m

v m 2=

利用式⑨还可以求出分子的平均速v 率和方均根速率s v 。平均速率v 是速率

v 的平均值：

()m

πkT

dv v e

v kT πm πdv v f v v kT

mv 824220

/32=

??==-

∞

? 方均根速率s v 是2v 的平均值的平方根：

()m

dv v e

v kT πm πdv v f v v v kT

mv s 324220

/32222=

??===-

∞

?，因此：m

v s 3=

由此可知，m v 、v 、s v 都与T 成正比，与m 成反比。它们之比为：

1:128.1:225.11:2:23::==

πm s v v v

以+

m 表示摩尔质量：m N m 0=+ 故+

=m R m k //。因此s v 也可以表为：

m RT

v s 3

由上式可以计算s v ，例如氮气在0℃的s v 为1.493-s m 。三、麦克斯韦速度分布率的应用

麦克斯韦速度分布率为近代许多实验（例如热电子发射实验和分子射线实验）所直接证实。

麦克斯韦速度分布律有广泛的应用。作为一个例子，计算在单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数，称为碰壁数。

如图7.1所示， dA 是器壁上的一个面积元，其法线方向沿x 轴。以dAdt d Γ表示在dt 时间内，碰到dA 面积上，速率在z y x dv dx dv 范围内的分子数。这分子数就是位于以dA 为底，以()z y x v x v v 、、为轴线，以dt v x 为高的柱体内，速度在

z y x dv dx dv 在范围内的分子数。柱体的体积是dAdt v x ，所以 dAdt dv dv fdv dAdt d z y x =Γ 即：z y x x dv dx dv fv d =Γ

对速度积分，x v 从0到∞，y v 和z v 从∞-到∞+，即可求得在单位时间内碰到单位面积的器壁上的分子数Γ为：

???∞

∞

+∞-∞

+∞-=Γ0x

x z y fdv v dv dv

将麦氏分布代入，求积分得：

v kT m x dv e v kT m n x ?∞

-=Γ022/12)2(πm kT n π2= 上式也可表为：v n 4

=Γ

由式v n 4

=Γ可以求得，在n p 1和0℃下氮分子的每秒碰壁数为23103?。

假设器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。如果小孔足够小，对容器内分子平衡分布的影响几乎可以忽略，则单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数相同。分子从小孔逸出的过程称为泻流。

7.4 能量均分定理

一、能量均分定理的证明

本节根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理-能量均分定理，并应用能量均分定理讨论一些物质系统的热容量。

能量均分定理：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每

一个平方项的平均值等于kT 2

。

由经典力学知道粒子的能量是动能p ε和势能q ε之和。动能可以表示为动量的

平方项之和： 21

21i r

i i p p a ε∑== ①

其中系数i a 都是正数，有可能是r q q q ,,,21 的函数，但与r p p p ,,,21 无关，

21121p a 的平均值为：r r r βεαh dp dp dq dq e p a N p a 0

11211211,,,,21121 --?= r r

r βεh dp dp dq dq e p a Z 0

11211,,,,211 -?=

由分部积分，可得：

kT h dp dp dq dq e Z βp a r r r βε21,,,,1

21210

111211=?=?- 假如势能中有一部分可表示为平方项：

∑'

=+''+=r i r r q

i i q q q q b 112),....,(21εε

其中i b 都是正数，有可能是r r q q ,,1 +'的函数()r r <'，且式①中的系数i a 也只是r r q q ,,1 +'的函数，与r q q ',,1 无关，则可同样证明（i q 的积分限是∞-到∞+）

q b 21

1211= 这样就证明了，能量ε中每一个平方项的平均值等于kT 2

。

二、能量均分定理的应用

应用能量均分定理，可以方便得求得一些物质系统的内能和热容量。下面举几个例子。单分子只有平动，其能量)(2122

2z y x p p p m

ε++= 有三个平方项。 1、单原子分子理想气体

根据能量均分定理，在温度为T 时，单原子分子的平均能量为：kT ε2

= 单原子分子理想气体的内能为：NkT U 2

= 定容热容量V C 为Nk C V 2

由热力学公式Nk C C V P =-，可以求得定压热容量P C 为：Nk C P 2

= 因此定压热容量与定容热容量之比γ为：3

V P C C γ 由实验数据可以看出，理论与实验符合得很好，但没有考虑原子内电子的运动，原子内的电子对热容量没有贡献是经典理论不能解释的。 2、双原子分子理想气体

如果不考虑相对运动，根据能量均分定理，在温度为T 时，双原子分子的平均能量为：kT ε2

双原子分子气体的内能和热容量为

NkT U 25=

，Nk C V 25=，Nk C P 2

7= 因此定压热容量与定容热容量之比γ为：40.15

===

V P C C γ 由实验数据可以看出，除了在低温下的氢气之外，理论与实验符合得很好。氢气在低温下的性质经典理论不能解释。 3、固体的性质

根据能量均分定理，在温度为T 时，一个原子的平均能量为kT ε3=，以N 表示固体中的原子数，固体的内能为：NkT U 3=

定容热容量为：Nk C V 3=，这个结果与杜隆、珀蒂在1818年由实验发现的结果相符。

要使理论结果与实验结果能更好的比较，需要应用热力学公式：

V P K TVa C C 2

4、辐射场的性质

根据能量均分定理，温度为T 时，每一振动自由度的平均能量为kT ε=。所以在体积V 内，在ωd 范围内平衡辐射的内能为：

ωωπωωωωd c V kTd D d U 2

2)(=

这结果是瑞利（1900年）和金斯（1905年）得到的，称为瑞利-金斯公式。

根据瑞利-金斯公式，在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的：

∞→=

?∞

∞

20ωkTd ωc πV

ωd U U ω

在热力学部分讲过，平衡辐射的能量与温度的四次方成正比，是一个有限值；

V T σU 4=

因此上式与实验结果不符。平衡辐射的定容热容量也是发散的，这与常识不符。导致这个荒谬结论的根本原因是，根据经典电动力学辐射场具有无穷多个振动自由度，而根据经典统计的能量均分定理每个振动自由度在温度为T 时的平均能量为kT 。由此可见，经典物理存在根本性的原则困难。

综上所述，经典统计的能量均分定理既得到一些与实验相符的结果，又有许

多结论与实验不符。这些问题在量子理论中得到解决。我们今后将逐个地讨论这些问题。在历史上，普朗克就是在解决平衡辐射的紫外困难时首先提出量子概念的。

7.5 理想气体的内能和热容量

一、用经典统计得到的能量均分定理与实验存在的矛盾

上节根据经典统计的能量均分定理讨论了理想气体的内能和热容量，所得结果与实验结果大体相符，但是有几个问题没有得到合理的解释。第一，原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二，双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没贡献；第三，低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些问题都要用量子理论才能解释。本节以双原子分子理想气体为例讲述理想气体内能和热容量的量子统计理论。

如果暂不考虑原子内电子的运动，在一定近似下双原子分子的能量可以表为平动能t ε、振动能v ε，转动能r ε之和：

以t ω、v ω、r ω分别表示平动、振动、转动能级的简并度，则配分函数1Z 可表为：

v t r

βε

r v

βε

v t

βε

t εεεβr v

v t l

βεl z

z z e

ωe

ωωωe

ωZ r

k v j t i l

??=??===∑∑∑∑∑---++--)

(,,

这就是说，总的配分函数1Z 可以写成平动配分函数t Z 1，振动配分函数v Z 1和转动配分函数r Z 1之积。

二、用量子统计理论讨论双原子分子理想气体的内能和热容量

双原子分子理想气体的内能为：

r v t r v t U U U Z Z Z β

N Z βN

U ++=++??-=??-= ln ln (ln ln 定容热容量为：r

V v V t V V V C C C T

U C ++=??=)(

即内能和热容量可以表为平动、转动和振动等项之和。

v t εεεε++=

首先考虑平动对内能和热容量的贡献。平动配分函数t

Z 1

：2

321

2???

??=h βm πV Z t

因此：NkT Z βN

U t t 2

3ln =??-= Nk C t

V 23=

上式与由经典统计的能量均分定理得到的结果一致。

在一定的近似下双原子分子中两原子的相对振动可以看成线性谐振子。以ω表示振子的圆频率，振子的能级为：

,2,1,0 )2

(=+=n n ωεn 振动配分函数为：()n

n ω

βωββεv

ωZ v

∑∑∞

=---==0

利用公式：()1,11

<-=

+++=∑∞

=x x

xn x x n n 将上式中的因子ωβe -看作x ，可以将振动配分函数v

Z 1表达为：

()

ωβωβv

e e Z ---=1/2/1

因此振动对内能的贡献为：1

2ln -+=??-=ωβv v e ωN ωN Z βN

U 式中第一项是N 个振子的零点能量，与温度无关；第二项是温度为T 时N 个振子的热激发能量。

振动对定容热容量的贡献为：

()

//2

-???? ??=??? ????=kT ωkT ωV v

V e e kT ωNk T U C 引入振动特征温度V θ，ωθk V = 可以上面二式表为：1

ln -+=??

-=T θV V v v V e θNk θNk Z βN

U 22

1???

??-???? ??=??? ????=T θV

V V v

V V e T

θe

T θNk T U C

7.6 理想气体的熵

一、用经典统计和量子统计得到的熵

为了简单起见，我们只讨论单原子理想气体的熵。 1、经典统计方法

根据经典统计理论，可得单原子理想气体的熵为：

?????

????? ??+++=???? ????-=202ln 123

ln ln 23ln ln h m k πNk V Nk T NkT Z ββZ Nk S 显然上式给出的不是绝对熵，相应于0h 的不同选择，熵有不同的相加常数。而且不符合广延量的要求。这是经典统计理论的又一个原则性困难。 2、量子统计方法

根据量子统计理论，理想气体熵函数的统计表达式为：

!ln ln ln N k Z ββZ Nk S -???

? ????

-= 将1Z 代入，并应用()1ln !ln -=N N N 的近似，可得单原子理想气体的熵为：

???????

????? ??+++=22ln 35

23ln ln 23h mk πNk N V Nk T NkT S

上式符合广延量的要求，而且是绝对熵，其中不含任意常数。二、比较两种方法得到的熵

1、量子统计得到的熵满足广延量的性质，而经典理论得到的熵不满足：

Qm Q nS h mk πNk N V Nk T NkT S =???????????? ??+++=22ln 35

23ln ln 23

m C C nS h m k πNk V Nk T NkT S ,202ln 123

ln ln 23≠?????

????? ??+++=

2、量子统计得到的熵为绝对熵，而经典理论得到的熵有不同的相加常数：

3、若经典理论得到的结果中选择h h =0，同时计及粒子全同性的影响，则：

!ln 2ln 123ln ln 232N k h mk πNk V Nk T NkT S C -???????

???? ??+++=

???????????? ??+++=22ln 35

23ln ln 23h mk πNk N V Nk T NkT S Q

三、单原子理想气体的化学势

最后讨论单原子理想气体的化学势。以μ表示一个分子的化学势：

NkT N

NkT N kT Z NkT F --=+-=ln

!ln ln N Z kT N F μdN μPdV SdT dF V

T ln ,-=???

????=?+--=

代入可得：将2

/322??

??=h βπm V Z

???

????????? ??=-=2/322ln ln mkT πh V N kT N Z

kT μ 满足经典极限条件：122

/32>>???

? ??=h kT πm N V e α

对于理想气体有122/32<

???????? ??mkT πh V N ，所以理想气体的化学势是负的。

7.7 固体热容量的爱因斯坦理论

一、固体热容量

前面讨论的理想气体是非定域系统，在满足经典极限条件下遵循玻耳兹曼分布。下面讨论定域系统，首先讲述固体热容量的爱因斯坦理论。

能量均分定理给出固体的热容量为常数Nk 3，所得结果在高温和室温范围与实验符合。但在低温范围与实验不符，这是经典理论所不能解释的。爱因斯坦首先利用量子理论分析固体热容量问题，成功地解释了固体的热容量随着温度下降的实验事实。

如前所述，固体中原子的热运动可以看成N 3个振子的振动。爱因斯坦假设这N 3个振子的频率都相同。以ω表示振子的圆频率，振子的能量级为

,2,1,0 )2

(=+=n n ωεn

由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从

玻耳兹曼分布，配分函数为：

()

ωβωββεl

l e e e ωZ l ----==∑1/2/

因此，固体的内能为：

1323ln 31-+=??-=ωβωωβ e N N Z N

上式的第一项是N 3个振子的零点能量，第二项是温度为T 时N 3个振子的热激发能量。

定容热容量V C 为：()

2//2

1/3-?

? ??=??? ????=kT

ωkT ωV V e e kT ωNk T U C 引入爱因斯坦特征温度E θ，ωθk E =

可将热容量表为：2

1/3?

??-???

? ??=T θT

E V E E

e e

T θNk C ① 因此根据爱因斯坦的理论，V C 随温度降低而减少，并且V C 作为T

θE

的函数是一个普适函数。二、讨论

现在讨论①式在高温()E θT >>和低温()E θT <<范围的极限结果。当

E θT >>时，可以取近似T

θe

θE ≈

-1。由式①得： Nk C V 3= ②

式②和能量均分定理的结果一致。这个结果的解释是，当E θT >>时，能级间距远小于kT ，能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。

当E θT <<时，可以取近似T

θT

θE E e e

≈-1。由式①得：

()

θE T θT θE V E E E e T θNk e e T θNk C /2

2//2

3-??? ??≈-??? ??= 当温度趋于零时，上式给出的V C 趋于零。这个结论与实验结果定性符合。但在定量上与实验符合得不好。

7．8 顺磁性固体

一、顺磁性固体的理论模型

假设磁性离子定域在晶体的特定格点上，密度比较低，彼此相距足够远，其相互作用可以忽略。在这情形下顺磁性固体可以看作是由定域近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻耳兹曼分布。

我们只讨论最简单的情形，假定磁性离子的总角动量量子数为

，离子磁矩在外磁场中能量的可能值为B μ-（磁矩沿外磁场方向）和B μ+（磁矩逆外磁场方向）：

因此，配分函数为：B βμB βμe e Z -+=1 ①

顺磁性固体的磁化强度可通过配分函数求出：1ln Z B

βn M ??

② 式中n 表示单位体积中的磁性离子数，H μβ0=。将式①代入式②得：

???

??=+-=--kT B μμn e e e e μn M B βμB βμB βμB βμtanh ③

上式给出磁化强度M 随磁场β和温度T 的关系。二、在弱场或高温极限下：

在弱场或高温极限下()kT μβe kT μβkT μβ/1,1//±≈<<±，③式可简化为：

H χB kT μn M =≈2

，就是熟知的居里定律，磁化率kT

μμn x 02=。

三、在强场或低温极限下：

在强场或低温极限下，()kT μβkT μβe e kT μβ//,1/->>>>③式可简化为：μn M =。上式意味着，几乎所有的自旋磁矩都沿外磁场方向，磁化达到饱和。四、顺磁性固体单位体积的内能和熵分别为：

MB kT

μB μn Z βn

u -=-=??-=tanh ln 1

?????

???? ?????? ??-??? ??+=kT B μkT B μkT B μnk s tanh cosh ln 2ln

7.9 负温度状态

根据热力学基本方程，系统的温度T 与参量y 保持不变时熵随内能的变化率

()y U S ??/之间存在以下的关系：

U S T ???

????=1 ① 在一般系统中，内能愈高时系统可能的微观状态愈多，即熵是随内能单调地增加的。由式①可知，这样的状态其温度是恒正的。但也存在一些系统，其熵函数不随内能单调增加。当系统的内能增加但熵反而减小时，系统就处在负温度状态。核自旋系统是熟知的例子。

为简便起见，假设核自旋量子数为1/2。在外磁场β下，由于磁矩可与外磁场逆向或同向，其能量有两个可能值u m e β2/ ±，简记为ε±。以N 表示系统所含有的总核磁矩数，+N 和-N 分别表示能量为ε+和ε-的核磁矩数。显然

N N N =+-+ ②

系统的能量为：()εN N E -+-= ③ 由②和③二式得：??

??-=??? ??+=

-+εN E N N εN E N N 12 ;12 系统的熵为：!

ln -+=Ω=N N N k k S

()，可得：！公式：利用1ln ln -=m m m stirling

[]

???????? ??-??? ??--??? ??+??? ??+-=--=--++εN E εN E εN E εN E Nk N N N N N N k S 1ln 1211ln 1212ln ln ln ln

所以系统的温度为：

εN E

εN εk E S T B +-=??? ????=ln

状态为正，系统处在正温度时，在B E S E ???

????<0状态为负，系统处在负温度时，在B

E S E ??? ????>0

以上的讨论说明：处在负温度状态下系统的能量高于正温度状态的能量。两者接触时，热量从负温度系统传到正温度系统去。这就是说：负温较正温为“热”。从“冷”到“热”的温度顺序为:+0K ，…,+300K,…，±∞ K ， …-300K …-0K 。如果令两个结构完全相同，分别处在±300K 的系统进行热接触，达到热平衡后的共同温度不是0K 而是±∞K 。 ± ∞K 是相同的温度。

从上面的讨论可以看出，负温状态下核自旋系统的磁化强度与外磁场反向。如果晶体中核自旋相互作用的弛豫时间1t 远小于核自旋与晶格相互作用的驰豫时间2t ，这种状态是可以实现的。例如，将晶体置于强磁场下，令磁场迅速反向，如果磁场反向的速度足够快，使核自旋不能跟随磁场反向，则经过驰豫时间1t 后，核自旋系统就达到内部平衡而处在负温状态。这时晶格处在正温状态。在LiF 晶体中，1t 约为s 510-，2t 约min 5，因此核自旋系统处在负温状态的时间可持续数分钟之久。

还可以看出，系统处在负温状态的条件严格。（1）粒子的能级必须有上限（2）负温系统必须与任何正温度系统隔绝，或者系统本身达到平衡的驰豫时间1t 远小于系统与任何正温系统达到平衡的驰豫时间2t 。显然，一个系统不可能经过准静态过程由正温状态变到负温状态。

折线统计图教学设计精选版

折线统计图教学设计 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

太平中心校新形式集体备课教学设计太平中心校立志小学教师吕文良《折线统计图》教学设计教学目标： [知识与技能] 1、初步认识折线统计图，知道折线统计图的特点。 2、从折线统计图上获取数据变化情况的信息，回答简单的问题，并进行合理的推测。 [过程与方法] 经历收集、整理、描述、分析数据的全过程，初步学会统计的方法，提高分析和解决问题的能力。 [情感态度与价值观] 能够从折线统计图中发现数学问题，激发对数学的兴趣，体验折线统计图在现实生活中的作用。教学重点： 1、知道折线统计图的特点，弄清折线统计图与条形统计图的区别。 2、能从折线统计图上获取数据变化情况的信息，并回答简单的问题。教学难点：能够从折线统计图中发现数学问题，并依据数据变化的特点进行合理推测。教学准备：多媒体课件、课堂练习纸。教学过程：一、联系生活，导入课题 1、引言：同学们，最近人们都在关心城市空气质量，你们知道这是为什么？空气质量好坏，其实与PM2.5有关，对于PM2.5你有哪些了解？那么最近上海的空气质量如何呢

2、复习条形统计图：课前，老师收集并整理了上海过去7天的PM2.5数据，并绘制了一副条形统计图，仔细读图，你获得了哪些信息？ 3、小结：在条形统计图中，根据直条的长短，我们能清楚地知道PM2.5的含量是多少。如果要进一步反映PM2.5含量的变化情况，除了用这样的条形统计图绘制，猜猜看，还有没有更好的绘制方法 4、揭示课题：折线统计图。二、探究图表，解决问题（一）认识折线统计图，了解组成与区别 1、出示：折线统计图绘制过程。 2、小组合作研究：（1）一副完整的折线统计图由哪几部分组成？（2）与条形统计图比较，它们的区别在哪里呢 3、质疑：那么点与折线在折线统计图中到底有什么作用呢？ 4、小结：由此可见，折线统计图就是根据数量的大小先描出各点，然后用折线将各点依次连接起来，这条折线反映的是数量增减变化情况。（二）读图，分析数据，解决问题 1、根据图意，解读数据。（1）4月18日，pm2.5的含量是多少微克/立方米（2）在这七天中，哪一天空气质量最差（3）哪一天空气质量最好，pm2.5的含量是多少？

统计图和统计表

一、把下面的球用不同颜色的色块表示出来。二、下面是二（1）班同学最喜欢吃的水果情况统计表，完成下面各题。正正正正丅正正 1.把上面的数据用不同的颜色色块表示出来。 2.喜欢吃（）的人最多，喜欢吃（）的人最少，相差（）个。 3.喜欢吃梨的比喜欢吃香蕉的少（）人。 4.喜欢吃香蕉的比喜欢吃桃子的多（）人。

一、下面是红红用画“正”字的方法对二年级（2）班同学最喜欢的课外活动统计的结果。跳绳：踢球：下棋：打乒乓球：丅 1.把上面的统计结果填入下表。 2.最喜欢（）的人最多，最喜欢（）的人最少。 3.喜欢踢球的学生比喜欢打乒乓球的多（）人。 4.喜欢打乒乓球的人数比喜欢跳绳的学生多（）人。 5.喜欢跳绳的人数比喜欢下棋的人数少（）人。二、数一数，填一填。 △○△□○☆ □△☆△○△ △□□○△△ 1.完成统计表。 2.数量最多的图形是（），数量最少的图形是（）。 3.△比○多（）个。 4.☆比□少（）个。

明星小学第六单元统计图和统计表专项练习（3）一、下面是某地区六月份天气情况。 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1.根据你的统计，给下面的方格涂上不同的颜色。 2.这个月比多（）天； 3.这个月比少（）天。

明星小学第六单元统计图和统计表专项练习（4）一、下面是二（3）班同学们的美术成绩表。 1.用画“正”字的方法统计各种成绩的人数。 2.把统计的数据填在统计表中。 3.得“优”的学生有（）人。 4.得“良”的比得“合格”的多（）人。 5.得“良”的比得“优”的少（）人。

《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习)

另外，应高度重视安全责任和责任的落实工作。 “企业安全，我负责”，人是管理中的最活跃因素，管好了人，就管好了安全。安全责任需要共同承担也需要分担，既要让一根绳上的蚂蚱往一个方《第七章玻耳兹曼统计》（期末复习）一、热力学第一定律的统计解释： Q d W d dU += l l l l l l l l da d a dU a U ∑∑∑+=?=εεε 比较可知：l l l d a W d ε∑= l l l da Q d ∑=ε 即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布 l e a l l βεαω--= 2、配分函数：量子体系：∑-=l l l e βεω1Z ∑---==l l l l l l l l e e e a βεβεβεωωωN Z N 1 半经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 2121,1Z ???==-βεβε ω 经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 02121,01Z ???==-βεβεω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）内能：β ??=1lnZ -N U 物态方程：V lnZ N 1??=βp 定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或??? ? ????-=ββ11lnZ ln Nk S Z

另外，应高度重视安全责任和责任的落实工作。 “企业安全，我负责”，人是管理中的最活跃因素，管好了人，就管好了安全。安全责任需要共同承担也需要分担，既要让一根绳上的蚂蚱往一个方三、应用： 1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。 2、能量均分定理 ①能量均分定理的内容 ②能量均分定理的应用： A 、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 B 、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。四、应熟练掌握的有关计算 1、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质 2、用Ω=kln S 的证明及相关应用四、解题指导 1、求广义力的基本公式∑??=l l l y a εY 的应用；例1：根据公式V a p l l l ??-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子，

学习《中华人民共和国统计法实施条例》心得体会

学习《中华人民共和国统计法实施条例》心得体会学习《中华人民共和国统计法实施条例》心得体会近日，《法治中国》在热播，见证着我国法治的进程和发展。根据工作要求我们学习了《中华人民共和国统计法实施条例》，对此有了以下几点感悟：把贯彻落实《条例》的各项规定当作统计工作的一项重大政治任务，加大《条例》学习宣传的力度，在全社会进一步营造遵守统计法执行统计法关心支持统计事业发展的良好氛围。各级认真履行职责，严格依法开展统计工作，全面推进依法统计和依法治统。积极探索统计规律健全统计法律法规，完善统计管理体制，改革统计制度方法，确保数据真实可靠，为国家各项决策部署提供科学支撑，更好服务宏观调控和经济社会发展，在推动统计现代化上迈出更大步伐。各级统计机构要高度重视，有计划有步骤地开展统计普法宣传工

作，做好《条例》及其配套法规规的学习宣传和普及工作。把学习宣传《条例》纳入“七五”普法的内容，进一步提高普法宣传的成效，坚持分类指导，有针对性地开展统计普法宣传；充分发挥职能优势，与司法行政机关普法依法治理职能等部门积极协调，共同做好统计普法宣传工作；结合本地本单位实际，开展多种形式的普法宣传活动，确保《条例》的精神实质真正深入人心。各级统计机构和广大统计人员要认真履行职责，严格依法履行职权，切实按照《条例》要求，加强管理，规范调查，努力提升依法统计的能力和水平。建立健全统计数据质量管理制度，健全统计数据全过程质量控制体系，强化监督和违法责任追究，切实提高统计数据真实性；进一步加强统计调查管理工作，牢固树立依法开展统计调查活动的理念；切实做好统计资料的管理和布工作，依法依规保管保存统计资料，依照法定权限布统计数据；要加强统计执法检查，严肃查处统计违纪违法行为，努力形成不敢违法不能违法不想违法的社会氛围。各级主要负责同志切实负起责任，明确分工，落实责任，注重发挥统筹推进，加强沟通联系，积极协调配合，努力形成合力，真正把学习宣传和贯彻《条例》工作抓实抓好，抓出成效。

《折线统计图》教学设计.pdf

数据，并绘制了一副条形统计图，仔细读图，你获得了哪些信息？ 3、小结：在条形统计图中，根据直条的长短，我们能清楚地知道PM2.5的含量是多少。如果要进一步反映PM2.5含量的变化情况，除了用这样的条形统计图绘制，猜猜看，还有没有更好的绘制方法？ 4、揭示课题：折线统计图。二、探究图表，解决问题（一）认识折线统计图，了解组成与区别 1、出示：折线统计图绘制过程。 2、小组合作研究：（1）一副完整的折线统计图由哪几部分组成？（2）与条形统计图比较，它们的区别在哪里呢？ 3、质疑：那么点与折线在折线统计图中到底有什么作用呢？ 4、小结：由此可见，折线统计图就是根据数量的大小先描出各点，然后用折线将各点依次连接起来，这条折线反映的是数量增减变化情况。（二）读图，分析数据，解决问题 1、根据图意，解读数据。（1）4月18日，pm2.5的含量是多少微克/立方米？（2）在这七天中，哪一天空气质量最差？（3）哪一天空气质量最好，pm2.5的含量是多少？ 2、模范练习：学生互问互答。 3、进一步分析折线变化情况。（出示表格）提问：仔细观察折线的变化情况，分成几类？哪三类？追问：这2条折线，同样是上升，它们有什么不同？下降呢？ 4、小结：在折线统计图中，折线的升降反映数量增减的变化情况。在相等的宽度里，同样是上升或是下降，有时是大幅的，有时却是缓慢的，折线水平，说明数量没有发生变化。

第七章玻耳兹曼统计教案

热力学与统计物理课程教案

第七章玻耳兹曼统计 7.1 热力学量的统计表达式一、定域系统的内能、广义力和熵统计表达式在§6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学量的统计表达式。内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==l βεαl l l l l l e ωεεa U ① 引入函数1Z :∑-=l βεl l e εZ 1 ② 名为粒子配分函数。由式∑--=l βεαl l e ωN ②，得： 1Z e e ωe N αl βεl αl ---==∑ ③ 上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利用它消去式①中的α。经过简单的运算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αl l ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④ 式④是内能的统计表达式。在热力学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的广义作用力。粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的一个粒子的力为 y εl ??。因此，外界对系统的广义作用力Y 为： 11 ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy ε a y εY αl βεl αβεαl l l l l l l l ??-=??? ? ????-=???? ????-=??=??=-----∑∑∑ ⑤

《中华人民共和国统计法实施条例》解读公需课试题和答案

《中华人民共和国统计法实施条例》解读公需课试题和答案单选题 1.《中华人民共和国统计法实施条例》规定，县级以上人民政府有关部门在统计业务上受（）指导。（3.0分） A.国家统计局 B.省级人民政府统计机构 C.本级人民政府统计机构 D.本级人民政府和上级人民政府统计机构我的答案：C √答对 2.《中华人民共和国统计法实施条例》开始施行的时间是（）。（ 3.0分） A.2016年8月1日 B.2016年10月1日 C.2017年8月1日 D.2017年10月1日我的答案：C √答对 3.关于统计调查项目审批和备案的程序、条件和时限，下列表述错误的是（）。（3.0分） A.申请材料齐全、符合法定形式的，审批机关应当受理 B.申请材料不齐全或者不符合法定形式的，审批机关应当一次性告知需要补正的全部内容，制定机关应当按照审批机关的要求予以补正 C.制定机关申请备案统计调查项目，应当以公文形式向备案机关提交统计调查项目备案申请表和项目的统计调查制度 D.制定机关修改统计调查项目的时间，应计算在审批期限内我的答案：D √答对

4.《中华人民共和国统计法》规定，县级以上人民政府统计机构进行监督检查时，监督检查人员不得少于（）人，并应当出示执法证件；未出示的，有关单位和个人有权拒绝检查。（3.0分） A.一 B.二 C.三 D.四我的答案：B √答对 5.关于地方统计调查项目，下列表述错误的是（）。（3.0分） A.地方统计调查项目由县级以上地方人民政府统计机构和有关部门分别制定或者共同制定 B.由省级人民政府统计机构单独制定或者和有关部门共同制定的地方统计项目，报国家统计局审批 C.由省级以下人民政府统计机构单独制定或者和有关部门共同制定的地方统计项目，报省级人民政府统计机构审批 D.由县级以上地方人民政府有关部门制定的地方统计项目，报上级人民政府统计机构审批我的答案：D √答对 6.《中华人民共和国统计法实施条例》规定，审批机关应当自受理统计调查项目审批申请之日起（）日内作出决定。（3.0分） A.20 B.15 C.10 D.7 我的答案：A √答对 7.统计调查项目不包括（）。（3.0分） A.国家统计调查项目 B.部门统计调查项目 C.地方统计调查项目

《折线统计图》教案

折线统计图教学设计教学目的： 1、引导学生自主探究折线统计图的特点和制作方法。 2、读懂折线统计图，届时统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能解决一些实际问题。 3、通过学生主动参与，让学生体验折线统计图的作用，感受与日常生活的密切联系，更好的激发学生学习的兴趣。教学重点：掌握折线统计图的特点和制作方法教学难点：体验制作过程，发展统计观念。教学过程：一、引入出示114页第4题的病人体温记录折线图： 1学生分组观察讨论：从图中你能了解到哪些信息？ 2汇报：刚进医院时病人正发着高烧。病人体温最高时是39.5度，最低时是36.8度。…… 师：这也是一种统计图，今天我们一起来研究折线统计图二、生活中的折线统计图 1课前布置收集生活中的折线统计图，请把收集到的折线统计图拿出来，说说你是从哪里收集到的，图中表示什么内容？ 2展示交流：每个组推荐一份较好的在全班交流展示。三、制作折线统计图同学们，你们刚才从报纸上、网站上、课外读物等收集到了许多折线统计图，这说明折线统计图在我们的生活中有着广泛的应用。那你不想动手制作一幅折线统计图呢？（一）制作步骤 1看一看：一幅完整的折线统计图应该包括哪些内容？ 2比一比：折线统计图与条形统计图相比，有什么相同的地方和不同的地方？ 3议一议：折线统计图中的这条折线应该怎样画？学生讨论小结：定宽度、描点、连线、标数量（二）小组合作动手制作老师也在生活中去调查收集了许多资料。 1北京地区近六年来的年降水量统计表年份1998 1999 2000 2001 2002 2003 降水量1900 1850 1630 1400 1720 1200 2北京2003年各季度旅游人数统计季度第一季度第二季度第三季度第四季度 2003 70 260 240 200 3北京2004年各季度旅游人数统计季度第一季度第二季度第三季度第四季度 2004 90 45 300 320 请从三组资料中选择一组，制成折线统计图评一评：在小组内会轩昂评一评看谁制作的折线统计图最正确、美观想一想：你制作的折线统计图中，能向别人传递哪些信息？（三）全班展示、评价预测：从2003年和2004年的旅游人数统计图中，你能预计一下，再即将到来的2005

简单的统计表和条形统计图

课题：简单的统计表和条形统计图学习内容40-41 页例1、练一练、练习七第1 题学习目标： 1. 引导学生通过看看、填填、画画，逐步认识统计表和条形统计图，学会用简单的统计图表呈现数据。 2.能在格子纸上制作简单的条形统计图。 3.培养学生观察比较、分析的能力，产生对统计的兴趣。学习重、难点：条形统计图的制作。学习准备：课件前置性小研究：课前调查：同学们喜欢看什么电视节目？（准备好一张练一练的记录表，让学生完成记录。）学习过程：一、导入新课。同学们喜欢看什么电视节目？（准备好一张练一练的记录表，让学生完成记录。）老师这儿也有一张调查记录，你能看明白吗？让学生说说你从这张记录表中读出了哪些数据？（指名回答）你能完成下面的统计表吗？ 1.学习统计表。（1）说一说统计表里已经有了哪些数据？是从哪里来的？还有哪几个空格要填写，这些数据到哪里寻找？（2）说一说“合计”的意思以及求合计人数的方法。（3）学生独立填写空格里的人数。（4）填写完整后让学生观看统计表，读其标题，明白统计表的内容，写出年月，表明统计的时间，说说人数，表述统计表里的数据。（5）和用“正”方法记录数据，统计表在表示数据方面有什么优点？ 2.学习条形统计图。老师这儿还有一幅根据统计表制作的统计图，想不想看看？（1）观察横轴，看看上有什么？（明白横轴上表示四类电视节目。）（2）观察纵轴，看看上有什么？（明白纵轴上表示喜欢各类电视节目的人数，1 格表示2 人。）（3）让学生独立画图，检查他们画的直条长度是否正确，提醒他们在直条的上面写出相应的人数。二、讨论小结：复备：从统计表里能知道些什么？从统计图里能知道些什么？统计表和统计图各有什么特点？一张完整的统计表由哪几部分组成？一幅完整的统计图由哪几部分组成？三、巩固练习。 1.教材41 页练一练。（1）出示导入时完成的记录表，让学生完成统计表和制作统计图。（2）通过统计，你知道了什么？ 2.练习七第1 题。（1）出示统计图，让学生进行观察。（2）从这张统计图中你看明白了些什么？四、全课小结。这节课你学会了什么？板书设计：简单的统计表和条形统计图备注：（可写反思、学情记录、作业批改情况等）

五年级折线统计图教案

五年级折线统计图教案【篇一：新人教版数学五年级下册折线统计图教学设计】新人教版数学五年级下册单式折线统计图教学设计史口镇中心小学曹艳艳 2015年5月11日单式折线统计图教学内容：人教版小学数学五年级下册第七单元统计第104~105页的内容。教学目标： 1．知识和技能:通过对比条形统计图和折线统计图，让学生认识单式折线统计图，会看折线统计图，了解折线统计图既可以表示数量的多少，又可以体现数据变化趋势的特点。 2．问题解决与数学思考:能根据统计表所给的数据绘制完成折线统计图，能根据折线统计对数据进简单地分析并能提出问题和解决问题，能根据折线统计图数据变化的趋势，对数据的变化做出合理的推测。 3．情感、态度和从值：通过对数据的分析，体会统计在生活中的作用和意义。培养学生合理推测及发现并提出问题的能力。通过现实生活中多方面信息的统计，激发学生学习数学的兴趣，引导学生关注生活中的数学问题。教学重点: 认识单式折线统计图，了解折线统计图的特点及优势。，会看折线统计图，并能够根据折线统计图解决问题和提出问题。根据统计表所给的数据正确地完成折线统计图。教学难点：学会用折线统计图来分析问题，预测事情的发展趋势，体会统计在生活中的作用和意义。教学过程：一、创设情境，导入新课 1．谈话交流：同学们，你们喜欢机器人吗？老师搜集了一些参加机器人大赛的作品，咱们一起欣赏一下。如果想了解近几年机器人大赛参赛队伍的情况，可以怎样做？

这是我收集到的从2006年到2012年参赛队伍的数据。（课件出示统计表）我已经将这些数据进行了初步的整理制成了统计表，根据这一统计表，你知道了什么？为了更好地进行分析，我们还可以将这些数据用学过的什么统计图表示？（课件出示条形统计图） 2．分析统计图。思考：从这张统计图中，你了解到哪些信息？生自由发言，读懂条形统计图。这是我们之前学过的条形统计图，它有什么优点？（可以清楚看出数量的多少。）师：用你的手势，试着比划一下从2006年到2012年，参赛队伍数量的变化情况。（教师手指条形统计图，从2006年开始）师：如果把大家手势运动的路线画下来，想像一下会是什么呢？预设：弯曲的线，一段一段的线。 3、揭示课题师：老师把我们的手势画了下来，请看大屏幕，这就是我们今天要学习的折线统计图。板书：单式折线统计图【设计意图：用机器人大赛为题材，回顾条形统计图能直观看到数据的多少的特点，初步感悟数据的变化情况，为引出折线统计图提供途径，体现了数学源于生活的理念。由于学生已经认识了统计表和条形统计图，因此设计了一个学生熟悉分析统计表和条形统计图，通过复习条形统计图的知识，为学习折线统计图做好准备。】二、合作交流，探究新知 1、初步认识折线统计图的画法请同学们认真观察，折线统计图是怎样画的？（课件演示画法） 2、比较条形统计图和折线统计图的异同（1）相同点师：请大家仔细观察这两幅统计图，你能发现它们有什么相同的地方吗？同桌之间互相说一说。预设:条形统计图和折线统计图都能看出数量的多少。轴、纵轴、标题、单位和日期都相同。图中所表示的数量的多少都相同。小结:他们的相同点是都能表示数量的多少。板书:都能表示数量的多少（2）不同点师：那我们再找找它们的不同点是什么？

《第七章---玻耳兹曼统计》(期末复习)

《第七章玻耳兹曼统计》（期末复习）一、热力学第一定律的统计解释： Q d W d dU += l l l l l l l l da d a dU a U ∑∑∑+=?=εεε 比较可知：l l l d a W d ε∑= l l l da Q d ∑=ε 即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起能变化；传热：通过改变粒子分布引起能变化二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布 l e a l l βεαω--= 2、配分函数：量子体系：∑-=l l l e βεω1Z ∑---==l l l l l l l l e e e a βεβεβεωωωN Z N 1 半经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 2121,1Z ???==-βεβεω 经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 02121,01Z ???==-βεβε ω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）能：β ??=1lnZ -N U 物态方程：V lnZ N 1??=βp 定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或??? ? ? ? ??-=ββ11lnZ ln Nk S Z 三、应用：

1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。 2、能量均分定理 ①能量均分定理的容 ②能量均分定理的应用： A 、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 B 、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的能及其热容量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。四、应熟练掌握的有关计算 1、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质 2、用Ω=kln S 的证明及相关应用四、解题指导 1、求广义力的基本公式∑??=l l l y a εY 的应用；例1：根据公式V a p l l l ??-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子， 2 /1222)(2z y X n n n L c cp ++= = πε ， ,2,1,0±±===z y x n n n

折线统计图教学设计

《折线统计图》教学设计一、教学目标（一）知识与技能 1．能根据统计表正确绘制单式折线统计图。 2．能根据折线统计图对数据进行分析，对数据的变化做出合理的推测，并能提出和解决数学问题。（二）过程与方法 1．通过已有的统计经验迁移学习单式折线统计图。 2．通过条形统计图和折线统计图的比较，了解折线统计图的特点和优势。（三）情感态度价值观 1．培养学生观察、分析数据和合理推测能力。 2．体会统计在生活中的作用和意义。二、教学重难点教学重点：认识单式折现统计图，了解折线统计图的特点和优势。会看、会绘制折线统计图，并能够根据折线统计图提出和解决数学问题。教学难点：感悟折线统计图的特点，能对数据的变化做出合理的推测。三、教学准备多媒体课件四、教学过程（一）新课导入师：同学们喜欢机器人吗？伴随着科技的不断发展，机器人已经走进了我们的生活，自2001年起，我国每年都举办一次青少年机器人大赛。老师收集了2006年至2012年参赛队伍的数据，并制成了咱们熟悉的条形统计图。（二）复习旧知──条形统计图师：请同学们观察一下，从条形统计图中你发现了哪些数学信息？师：条形统计图有什么特点呢？（三）探索新知 1．认识折线统计图师：一会我们就顺着这竖条的高低起伏，从2006年开始，用小手来笔划一下这七年参赛队伍数量的变化情况。师：刚才的条形统计图变成了现在这种形式，你知道它的名字吗？师：对，今天我们就来学习有关折线统计图的知识，导入新课。

2．了解折线统计图的特点师：请同学们看屏幕，我们来观察一下这幅折线统计图，从统计图中能获得哪些数学信息？请同学们在小组内交流一下你们的发现。（１）了解点的作用组织学生交流得出：这折线统计图中如果点的位置越高，（板书：高）表明数量越多，（板书：多）老师把这个发现记录下来，反过来，点的位置越低，（板书：低）表明数量越少，（板书：少）也就是说这折线统计图是通过点的高低来表示数量的多少。（板书：数量多少）。（２）了解线的作用学生举例说明：引导学生交流得出：通过这线的起伏看出数量的增减变化情况。（板书：增减变化）教师说明：2007年到2008年的这条线段就像山一样很陡很斜，线段越长越陡，表明数量变化越大，反过来线段越平缓越短，表明数量变化越小。（3）总结折线统计图的特点。师：通过刚才的探究，我们知道了折线统计图点和线的作用，那么折线统计图有什么特点呢？（学生回答后出示折线统计图的特点） 3．分析、绘制折线统计图（1）预测数量变化情况。师：从图中，你能看出2006年至2012年参赛队伍的整体变化趋势吗？你有什么感想？生：汇报师：你能根据这个变化趋势预测一下2013年会有多少支队伍参赛吗2014年呢？师小结：老师发现你们在汇报时参赛队伍越来越多，这折线统计图太神奇了，不仅可以表示出数量的多少和数量的增减变化情况，还能够预测事情的发展趋势。（2）绘制折线统计图。师：老师对2013年和2014年参赛队伍数量进行了实际调查，2013年实际上有530支队伍参赛，2014年有545支队伍参赛。我们就以这两个数据为例，拿出１号作业纸，尝试着把2013年和2014 年的数据绘制到折线统计图上。（学生活动）生：展示学生作品，全班交流。师小结：折线统计图的画法。４、观察比较

2017年《统计法》《统计法实施条例》知识竞赛题

2017年《统计法》《统计法实施条例》知识竞赛题一、单项选择题（每题只有一个正确答案，将正确答案选项在答题卡相对应的○内涂黑。20道题，每题2分，共40分） 1.统计人员应当对其负责收集、审核、录入的统计资料与统计调查对象报送的统计资料的（ A ）负责。 A.一致性 B.及时性 C.完整性 D.真实性 2.统计调查中取得的统计调查对象的原始资料，应当至少保存（B ）。 A.1年 B.2年 C.5年 D.10年 3.《统计法》规定，个体工商户拒绝提供统计资料或者经催报后仍未按时提供统计资料的，由县级以上人民政府统计机构责令改正，给予警告,可以并处（D ）。 A.责令停产停业 B.吊销营业执照 C.暂扣营业执照 D.1万元以下的罚款 4.重大国情国力普查所需经费由（C ）负担。 A.国务院 B.地方人民政府 C.国务院和地方人民政府共同 D.国家统计局 5.县级以上人民政府统计机构进行监督检查时,监督检查人员不得少于（ A）。 A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 6.《统计法实施条例》共有（ C ）。 A.八章五十四条 B.七章五十四条 C.八章五十五条 D.七章五十五条 7.《统计法实施条例》规定，审批机关应当自受理统计调查项目审批申请之日起（ D）作出决定。 A.5日内 B.10日内 C.15日内 D.20日内 8.乡、镇统计人员的调动，应当征得（ B ）的同意。 A.县级人民政府 B.县级人民政府统计机构 C.本级人民政府 D.本级人民政府统计机构 9.县级以上地方人民政府统计机构在统计业务上以（ A ）的领导为主。 A.上级人民政府统计机构 B.本级人民政府 C.上级人民政府 D.本级人民政府或上级人民政府统计机构 10.我国实行的统计管理体制是（ B ）。 A.统一领导、集中负责 B.统一领导、分级负责 C.分级领导、集中负责 D.分级领导、分级负责 11.统计调查对象中对审核、签署的统计资料的真实性、准确性和完整性负责的是（ C ）。 A.统计人员 B.统计部门负责人 C.统计资料的审核、签署人员 D.会计人员 12.《统计法》规定，县级以上人民政府统计机构和有关部门统计调查取得的统计资料,（ D ）。 A.应当全部公开，供社会公众查询 B.应当全部保密,不予公开 C.可以公开，但不允许社会公众查询 D.除依法应当保密的外，应当及时公开，供社会公众查询 13.国家统计标准由（D ） A.国务院标准化主管部门制定 B.国务院有关部门制定，报国家统计局审批 C.国家统计局或者国务院标准化主管部门制定 D.国家统计局制定，或者由国家统计局和国务院标准化主管部门共同制定 14.对未标明《统计法》所规定的法定标识的统计调查表，统计调查对象（C ）。 A.有义务填报 B.在统计机构说明情况后必须填报

《折线统计图》教学设计

《折线统计图》教学设计 ---小学数学与信息技术整合一、教学分析（一）教学内容分析本课是单式折线统计图的综合实践课，是在学生已经掌握了折线统计图的作法与特征的基础上，对这一部分内容的实际应用。在利用多媒体迅速准确的作图的同时，共同观察，分析折线统计图所传达的信息。在制作过程中体会折线统计图的特征与优点。感受折线统计图与生活的紧密联系。课堂注重学生主动探究的过程，利用信息技术及网络，为学生提供探究的广阔空间，提供思维的大场，使学生能主动建构知识，同时培养学生认真观察，主动思考，能获取大量的信息并对此能加以概括和整理的读图能力和自由猜想质疑并能合作验证的良好的学习品质。（二）教学对象分析六年级的学生已经具备了一定的操作、查找筛选信息的计算机应用能力，能够在众多的信息中比较、分析从而理解、感悟数学现象。结合数学综合实践课的特点，恰当地使用多媒体资源和网络资源，突出信息技术在提高学生学习能力中的作用，使信息技术成为学生主动建构知识的认知工具。在课堂中打破传统的实际应用以做题为主，学生手不离笔的机械练习状态，让学生经过读图不仅读出数学信息，还能读出地理，社会等各种信息。从而体现出折线统计图的价值性和实用性。同时通过对一些社会信息的了解，让学生获得良好的情感体验，使人格得到升华。（三）教学环境分析计算机（网络）教室环境。二、教学目标（一）知识：

1.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能够进行交流。 2.根据具体内容选择适当的统计图。（二）技能： 1．会读图能从图中获取信息并能从不同角度来解决问题。 2.能用电脑作图提高学习效率。能利用媒体寻找学习资源进行探究学习。（三）情感：创设宽松的教学氛围，获得良好的情感体验。三、教学重难点教学重点：指导学生获取信息的方法，提高读图能力。教学难点：学生读图的能力。四、教学方法、过程及整合点 1．利用Excel的插入图表功能作图，体现信息技术的优势，及在生活中的实效性。 2．应用搜索的一些文字材料及互联网，为学生提供自由探究的空间和丰富的研究材料。使新的知识从不同途径不断的生成，使学生在主动参与的过程中得到独特的体验，体现人人学有价值的数学。

第七章玻耳兹曼统计要点

第七章玻耳兹曼统计 7.1 试根据公式l l l p a V ε?=-?∑证明，对于非相对论粒子 ()2 2222 1222x y z p n n n m m L πε??==++ ??? , (),,0,1,2, ,x y z n n n =±± 有 2.3U p V = 上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为 ()2 222122x y z n n n x y z n n n m L πε??=++ ??? , (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）为书写简便起见，我们将上式简记为 23 ,l aV ε- = （2）其中3V L =是系统的体积，常量()()2 2 2222x y z a n n n m π= ++，并以单一指标l 代表,,x y z n n n 三个量子数. 由式（2）可得 511322.33aV V V εε -?=-=-? （3）代入压强公式，有 2 2,33l l l l l l U p a a V V V εε?=-== ?∑∑ （4）式中l l l U a ε=∑是系统的内能. 上述证明示涉及分布{}l a 的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 前面我们利用粒子能量本征值对体积V 的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色

（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）. 需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能. 7.2 试根据公式l l l p a V ε?=-?∑证明，对于相对论粒子 ()122222x y z cp c n n n L π ε==++, (),,0,1,2,,x y z n n n =±± 有 1.3U p V = 上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为 ()122222x y z n n n x y z c n n n L π ε=++ (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）用指标l 表示量子数,,,x y z n n n V 表示系统的体积，3V L =，可将上式简记为 13 ,l aV ε- = （2）其中 () 122222.x y z a c n n n π=++ 由此可得 4311.33l l aV V V εε -?=-=-? （3）代入压强公式，得 1.33l l l l l l U p a a V V V εε?=-==?∑∑ （4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.

五年级下册数学折线统计图教案

7 折线统计图【教学目标】 1.根据数据的具体情况，选择适当的统计量表示数据的不同特征。 2.认识复式折线统计图，了解其特点，能根据需要，选择适当的统计图直观、有效地表示数据，并能对数据进行简单的分析和预测。【重点难点】 1.认识单式折线统计图，会绘制单式折线统计图。 2.会制作复式折线统计图。【教学指导】 1.注意加强新旧知识之间的对比性和衔接。教学本单元时，可充分利用学生已有的知识经验，通过与所学知识的对比，体会统计量的含义及统计图的特征和适用范围。如教学复式折线统计图时，可先用单式折线统计图分别表示两组数据，让学生体会单式折线统计图可以清楚地反映出一组数据的增减变化，但对两组数据进行比较时就不方便了，由此引出复式折线统计图。从而使学生深切体会到复式折线统计图的特点和优势，加深对折线统计图的认识。 2.注重对统计量意义的理解，避免简单的统计量的计算。教学中应避免单纯从计算的角度引导学习统计的知识，应当注意对统计量意义的理解。 3.注重对学生开展统计活动的过程进行评价。让学生经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程是学习统计知识的首要目标。这就要求老师应创造尽可能多的机会让学生亲自从事简单的统计活动，在学生从事统计活动的过程中，老师应起引领、指导的作用。【课时安排】建议共分2课时第1课时单式折线统计图…………………………………………1课时第2课时复式折线统计图…………………………………………1课时

【知识结构】

第1课时单式折线统计图【教学内容】单式折线统计图(教材第104～105页例1及第108页练习二十六第1～3题)。【教学目标】 1．让学生在条形统计图的基础上认识折线统计图，进一步体会统计在现实生活中的作用，体会数学与生活实际的密切联系。 2．使学生认识折线统计图的特点，会看折线统计图，并能根据数据进行合理分析，培养学生的合作意识和实践能力。 3．通过对现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生细心观察的良好学习品质及科学的态度。【重点难点】会看折线统计图，能够从图中获取数据变化情况的信息。绘制单式折线统计图。【复习导入】课件出示数据。 2006年：426支；2007年：394支；2008年：468支；2009年：454支；2010年：489支；2011年：499支；2012年：519支。这是老师收集的2006～2012年中国青少年机器人大赛参赛队伍支数的数据。像老师这样整理数据的方法好吗？你想怎样整理这些数据？（根据学生的回答，课件出示统计表和条形统计图）。你能说说用统计表或条形图来呈现数据有什么好处吗？（统计表更清楚，更有条理；条形统计图更形象直观）。人们在日常工作和生活中还经常用这种方式来表示这些数据,课件出示课本105页例1折线统计图。（揭示课题：单式折线统计图）。【新课讲授】一、认识单式折线统计图。

统计表和统计图

《统计表和条形统计图》教学设计塔山中心小学韩召秀一、教学目标： 1、使学生认识简单的统计表和单第式条形统计图，了解相应的结构、特点和表达数据的方法；能根据收集的数据填写统计表和完成条形统计图，根据统计数据进行简单分析。 2、使学生经历完成统计表和统计图、简单分析数据等统计活动，了解数据处理、分析的大体过程，掌握简单的数据处理技能，体会数据蕴含信息，发展初步的数据分析观念。 3、使学生感受统计表和条形统计图在实际应用中的意义和价值，增强学习统计的兴趣。二、教学重、难点：认识并用统计表和条形统计图表示数据。三、教学过程：（一）、创设情境，导入新课 1：同学们都喜欢看电视吧，想一想，你喜欢看什么类型的电视节目呢？谈话：同学们,为了清楚地弄清本班同学最喜欢的电视节目数据，就需要对记录单上的数据分段整理。(板书：数据的分段整理) 2：谈话：我们以前学过的可以用什么方法来分段整理数据呢?请发表意见。(学生的意见可能有数数、用不同的符号记录、画“正”字记录等。)

3：下面我们来看一看张丽华同学用画“正”字记录的记录表：谈话：除了可以用画“正”字的记录表进行记录?你觉得还能用什么方法表示出这里的数据，就能让大家更清楚地看出最喜欢每类电视节目的人数各是多少？（板书：制作统计表) 引入：要清楚地表示收集的数据和结果，就需要认识统计表和统计图，用统计表或统计图来表示收集的数据。这节课，我们就来认识统计表和条形统计图，学会用统计表和条形统计图表示数据。（板书课题）。（二）、学习新知： 1、例1中收集完成的数据记录表、（1）引导：这里第一幅是简单的统计表，表里的“6”和“15”表示的是什么? 观察统计表，你知道一张完整的统计表要有哪些要求? 说明：完整的统计表需要有：（1）反映统计内容的标题和日期，表示统计的什么、注明什么时候统计的，这里标题是“某班同学最喜欢的电视节目统计表”：（2）要有和收集数据相对应的统计项目，这里的统计项目有“科普类、综艺类、动画类、体育类”几项，还有“合计”栏；（3）表示的数据，这里表示的是“人数”。提问：表中的合计起什么作用?(既能反应总人数，又能检验分段整理的数据有无错误。) 请你们把整理好的数据填入统计表。（完成导学单）

第七章 玻耳兹曼统计教案..