数理方程第二章习题答案

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -

数理方程第二次作业参考答案

第二次作业 1.化下列方程为标准形式： 0=+yy xx yu u 解：根据题意可得y c b a ===,0,1，则有y ac b -=-=?2。 （1）当0=y 时，0=?，方程为抛物型方程，标准形式为0=xx u ； （2）当0>y 时，0?，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 022=+ydx dy 解得两条特征线为 C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ，带入原方程可得 () ()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解： 023=+-yy xy xx u u u 解：根据题意可得2,23,1=-==c b a ，04 12>=-=?ac b ，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy 解得两条特征线为

212C x y C x y =+=+ 选取变换x y x y 2,+=+=ηξ，可把原方程化简为 0=ξηu 此方程的通解是 ()()ηξg f u += 其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数， 所以原方程的通解为 ()()y x g y x f u +++=2 作业中出现的问题： 第一题： 1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。 2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。 3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含y x ,。此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。还有计算问题也出现了很多。 第二题： 1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

概率统计期末考试试题附答案

中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数理方程试卷

南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试 课程名称：数 理 方 程 闭 卷 A （B ）卷 分钟 一、 解答题（共40 分） 1、 当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。（5分） 2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为： 0t u x ==， 0x u x =?=?， 0x l u x =?=? （10分）

3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长， 这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。（10分） 4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。（15分）

二、计算题（共60分） 1、求方程：22,1,0u x y x y x y ?=>>??， 满足边界条件： 2 0y u x ==，1cos x u y ==的解。 （10分） 2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程： (,0)0,0u x x l =≤≤； (,0) (),0u x x l x x l t ?=-≤≤?； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）

3、试确定下列定解问题： 2 2200(),0,0,,,0, (),0x x l t u u a f x x l t t x u A u B t u g x x l ===???=+<<>????? ==>?? =≤≤??? （15分） 解的一般形式。

4、（20分）求下列柯西问题： 22222200 2 80,0,3,0,y y u u u y x x x y y u u x x y ==????+-=>-∞<<+∞?????? ? ??==-∞<<+∞??? 的解。 （20分）

数理方程第二版 课后习题答案教学教材

数理方程第二版课后 习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕 3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为

在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与 不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为：

数理方法第二章热传导方程习题答案

第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入 截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??--=??--=111124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由 Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2

数理方程试卷A (2)

一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy …… 5分

即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换：???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ (10) 分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得

电子科大版数理方程课后习题答案

一 准备（Preliminaries ） A 单摆的数学模型: 牛顿第二定律: F = m a a —物体加速度;F —合外力;m —物体质量 虎克定律: (1) f = –k x ; f —弹力;k —弹性系数; x —弹簧伸长 (2) p = Y ux ; Y —杨氏模量; ux —弹性体相对伸长 付里叶热传导定律: Q —热量;T —温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k (u |S – u 0) q —热流密度; u 0—外界温度;u|S —物体温度 B 几个有用的积分公式 2 ()()()2 2 2 (cos sin )cos Re( )sin Im( ) cos sin sin sin cos cos b i x x b a a b i x x b a a b i x x b a a b x x x b b a a a b b b a a a b b b a a a cx e e x i x dx i e e xdx i e e xdx i e x e e xdx x x x x xdx x x x x xdx e dx αβααβααβααααββαββαββαβα αββββ βββββ β+++-+=+=+=+= - =- + = - =??????+∞-∞ ? C 函数的Fourier 展开 θ θ sin 22mg dt d mL -=dT Q dx κ =-

{}(21)()sin 2n n X x x L π+??=??? ? 是正交函数系 二 练习(Exercise) P22 ex 2.1 竖直方向合力为零： (1)()cos ()()cos () (2)cos ()cos ()1 T x dx x dx gds T x x x dx x αρααα+++=+≈≈ {}???? ??=x L n x X n πsin )(10(,)()sin ()(,)sin 2n n L n n f x t f t x L L n f t f x t xdx L π π∞ ===∑?

数理方程试卷

工程数学 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy ……5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-

作变换：???==x y ηξln ……7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ ……10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( ……5分 得 )] 2sin()2[sin(4 1 4cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t x t x --+-+=+-++=?+-ξ ξ t x t x 2sin cos 2 1 422++= ……10分 四. (15分)用分离变量法解定解问题

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式：

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷

电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型，指出其 类型，求出其通解. (10分) 2. 设定解问题：(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以……………

第 1页 3． 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ?，求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??.

第2页 5．求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.（10分） 6． 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1 (())L F s -.（10分）

数学物理方法习题解答(完整版)44767

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =Q ，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

南京信息工程大学数理方程考试试题

南京信息工程大学数理方程考试试题A 2008年 11月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、(9分) 判断下列方程的类型 (1) 230xx xy yy u u u ++= (2) 22cos (3sin )0xx xy yy y u xu x u yu --+-= (3) 220xx yy x u y u -= 二、(20分)设二阶偏微分方程450xx xy yy u u u ++= (1) 写出特征方程,并求特征线; (2) 将偏微分方程进行化简. 三、(10分)用D ’Alembert 公式求解下列弦振动方程; 22 ,0 (,0),(,0)cos tt xx t u a u x t u x x u x x x ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞? 四、(20分)用分离变量法求解下列方程; (1) 20,0 (0,)0,(,)00 (,0),(,0)0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x l x x l ?=<<>? ==≥??==-≤≤? 五、(20分) 用Green 函数法求解下列定解问题; 00 |(,) xx yy zz z u u u z u f x y =++=>?? =? 六、(21分) (1) 写出下列定解问题的Fourier 变换之后的形式 ?? ? ??∞≤≤∞-=>∞<<∞-+=x x x u t x t x f u a u xx t )()0,(0,),(2?

(2)求出函数|| ()(0)a x f x xe a -=>的Fourier 变换 (3)求出出上述问题的形式解. 。。。。 （本卷共六大题）

数理方程与特殊函数试卷 3套

2010年6月 一、填空题（20分） 1、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆，x=0端固定，x=l端自由，则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程，在条件下的拉氏变换表 达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________，=____________。 二、证明题（10分） 三、建立数学物理方程（10分） 一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆，一端保持零度，另一端有恒定的热量q流入，初始温度为试建立热传导方程，写出定界条件（要有必要的步骤）。四、写出下列定解问题的解（35分） 1、

2、 3、 五、将函数展开为广义傅里叶级数（25分） 1、设是的正零点，试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月 一、填空题（20分） 11、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆，x=0端温度为零，x=l端有恒定的热流流出，则热传导过 程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程，在条件下，其拉氏 变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________，=____________。 二、证明题（10分）

概率论与数理统计试卷1

概率论与数理统计试卷 试卷号：B010001 校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________ （请考生注意：本试卷共 页） 一、选 择 题 ( 在 下 列 各 题 中 都 设 有 代 码 为 A 、 B 、 C 、 D 的 四 个 备 选 答 案 ，请 选 出 最 合 适 的 答 案。 ) (本大题分3小题, 每小题6分, 共18分) 1、设 ξ ~ N ( 3，4 ) ，η 服 从 参 数 λ = 0.2 的 指 数 分 布，则 下 列 各 式 错 误 的 是 ( )。 ( A ) ()8=+ηξE ( B ) ()29=+ηξD ( C ) () 6322=+ηξE ( D ) 02552=?? ? ??-+ηξE 2、 对 于 总 体 分 布 的 假 设 检 验 问 题 : ),()(:00x F x F H =),()(:01x F x F H ≠下 列 结 论 中 错 误 的 是 ( ) (A) χ2 - 拟 合 检 验 法 只 适 用 于 )(0x F 为 正 态 分 布 函 数 的 情 形 (B) 若 )(0x F 中 含 有 未 知 参 数，则 要 先 对 未 知 参 数 作 极 大 似 然 估 计 (C) -2 χ拟 合 检 验 法 应 取 形 如 }{212αχχ-≥x 的 拒 绝 域 (D) -2χ拟 合 检 验 法 的 理 论 依 据 是 所 构 造 的 统 计 量 渐 近 于 -2χ 分 布

3、 设 对 一 元 线 性 回 归 模 型：).,0(~ ,210σββN e e x y ++= 用 7 次 观 测 数 据 算 的 ∑∑===-==-=7 1 271 2 82.7)?( ,5.8)(i i i R i T y y S y y S . 现 对 检 验 假 设 0 :10=βH 进 行 F 检 验， 下 列 的 推 测 正 确 的 是 ( )。 ( A ) 由 61.65.575>== e R S S F ， 可 以 认 为 Y 与 X 有 显 著 的 线 性 关 系 ( B ) 由 61.66.45<== T R S S F ， 不 可 以 认 为 Y 与X 无 显 著 的 线 性 关 系 ( C ) 由 59.544.67>== T R S S F ，可 以 为 Y 与 X 有 显 著 的 线 性 关 系 ( D ) 由 59.55.807>== e R S S F ，可 以 为 Y 与 X 有 显 著 的 线 性 关 系 二、填 空 题 ( 在 下 列 各 题 中 ， 把 最 恰 当 的 解 答 填 在 横 线 上 方 的 空 白 处 ) (本大题分3小题, 每小题5分, 共15分) 1、设 样 本 空 间 U = {1， 2， 10 }， A ={2， 3， 4， }， B={3， 4， 5， } ， C={5， 6， 7}， 则 ()C B A 表 示 的 集 合 =_______{1,2,5,6,7,8,9,10}_______________。 2、 设 ),,,(21n Y Y Y 是 来 自 总 体 Y 的 样 本， Y 的 分 布 密 度 为 ? ???<<=-)1,0( 01 0 ),(1x x x x f θθθ 则 参 数 θ的 矩 法 估 计 为θ?=__________。 3、 设 样 本 n X X X ,,,21 来 自 总 体),(~2 σμN X ， μ已 知， 要 对 2 σ作 假 设 检 验， 统 计 假 设 为20 212020:,:σσσσ≠=H H ， 则 要 用 检 验 统 计 量 为_______, 给 定 显 著 水 平α， 则 检 验 的 拒 绝 域 为_________________。 三、计 算 下 列 各 题 。 (本大题共3小题，总计25分) 1、(本小题6分)

概率论与数理统计试卷

概率论与数理统计试卷 班级 学号 姓名 1、（3分）设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=1/3, P(A|B)=1/6, 求)|(B A P 2、（4分）设随机变量X ～B(n ，p)，已知EX=3.5,DX=1.05,求n 、p 。 3、（6分）对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间[]b a ， 内，求球体积的数学期望。 4、（6分）考虑抛掷两枚硬币，X 表示观察到正面的个数，求X 的概率分布。 5、（6分）某市有50％的住户订阅日报，有65％的住户订阅晚报，有85％的住户至少订阅两种报纸中的一种，求 同时订阅两种报纸的住户的百分比。 6、（8分）某厂有A,B,C,D 四个车间生产，日产量分别占全厂产量的30％，27％，25％，18％。若已知这四个车 间的次品率分别是0.10，0.05，0.20，0.15，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，问这件产品是由A 、B 车间生产的概率各为多少？ 7、（8分）某人花2元买彩票，他中100元奖的概率为0.1％，中10元奖的概率为1％，中1元奖的概率为0.2， 假设各种奖不能同时抽中，求：（1）此人收益的概率分布；（2）此人收益的期望值。 8、（9分）设随机变量X 的分布函数为：F(x)=A+Barctanx ， 求（1）系数A 、B ，（2） P （|ξ|≤1），（3）X 的密度函数。 9、（12分）已知随机变量X 的密度函数为 ??? ?? ≥<-=1 ||,01||,1)(2 x x x A x f ， 求（1）系数A ，（2）P （－1/2≤X ≤1/2）；（3）X 的分布函数。 10、（20分）设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为： f(x,y)= ?? ???≤≤≤≤+其他 02 0,10, 3 2 y x xy x 求：（1）（X ，Y ）的两个边缘密度函数； （2）P （X+ Y ＞1）和P(Y<0.5|X<0.5)； （3）数学期望EX 和EY,方差DX 和DY; （4）协方差cov （X ，Y ）和相关系数r 。 11、（8分）设对样本X 得到的一容量为12的样本值：15.8、24.2、14.5、17.4、13.2、20.8、17.9、19.1、21.0、 18.5、16.4、22.6。计算样本均值、样本方差。 12、（10分）已知X 1，X 2，……X n 是总体X 的一个样本，总体X 的密度函数为： θθθ，其他 ? ? ?<