高一数学课件：三角函数2
高一数学课件：三角函数2 复习
一.任惫角的三角為敷
1、角的概念的推广y负角q的终边
1、角的概念的推广
y
负角
q的终边
正角
零角
a g (—oo,+oc)
2
2、角度与弧度的互化
X = 360° tt = 180°
X = 360° tt = 180°
1 弧度=(—)。a 57.30。= 57。1
7V
1° =
7V
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90c
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
兀
兀
7
71
71
2
271
3
371
4
5”
~6
71
3兀
2
二正弦，三两切，四余弦平方关系：sin2 二正弦，三两切，四余弦
平方关系：
sin2? + cos2? = l
l + tan2? = sec2 a
l + cot2^ = csc2cif
4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
商关系：
tan a ? cot a = 1
sin a
fan zy —
I dll Cv —
sina-csca = 1
cosa
cos a ?seca = 1
cosa
cota =
sin a
3、任意角的三角函数定义
定义：
TOC \o 1-5 \h \z ? V X V
sin oc = 一，cos a = —，tan oc —一 r r x —
r r x
cscoc= —，sec a = —, cot cl ——
y 兀 y
三角函数值的符号：“一全正,
5、诱导公式：
诱导公式是针对竺的各三角函数值的化简
2
口诀为:”奇变偶不变符号看象限 (即把看作是锐角) 呪例：sin(——a)= -COSOf
2
cos 一 sina
sin(^-a)= sin Of
cos（7i-a）=-cosa
二.鬲角和鸟差的三角窗叙
1、预备知识：两点间距离公式
I Pl 〃2 1= J（兀1一吃尸+①―儿）2
pCWi)y卩2（%2』
pCWi)
y
卩2（%2』2
o :
) gl」2)
cos? 土 /3) = coscir cos+ sin of sin 0 sin(a±0) =
sinacos0±cosasin 0 tan(cif ± 0)=
注：公式的逆用及变形的应用tan of ± tan /?1 干 tana tan0tana + tan 0 二
注：公式的逆用及变形的应用
tan of ± tan /?
1 干 tana tan0
22
2
2
3、倍角公式
sinN = 2sinacosa
2 ? 2 1 ? 2 cos a + sin a = l
cos2€Z = cos a-sin a i 匚
=2cos l + cos2acos a =
l + cos2a
cos a =
tan la =
tan la =
2 tan a
l-tan2 a
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幕的过程。特别 .2 l-cos2a sin a
三.三角為叙的團彖和徃质
1、正弦、余弦函数的图象与性质
y=sinx
y=cosx
图象
i
1
，y
ZN /
i
7
o 1
/ 2
° 2〃 X
2
定义域
R
R
值域
[-1,1]
卜 1, 1]
性
周期性
T=27T
T=2^
奇偶性
奇函数
偶函数
质
单调性
[2k7T --
2
[2k7T + -
2
】,2后+兰］增函数
2 ,2炽+近］减函数
2
\2k7i - 7i ,2kji]增函数
[2k7i,2k7i +刃减函数
图象向左（0 0 ）或(A 0, 0) 0 )y = sin（x + 0）1 横坐标伸长
图象向左（0 0 ）或
(A 0, 0) 0 )
y = sin（x + 0）
1 横坐标伸长（0 co 1）或缩短⑷ 1）到原来的万倍
y = sin（6?K + ^）
y=smx向右（° 0）平移|（P|个单位
纵坐标不变
纵坐标伸长（A 1 ）或缩短（0 A l ）到原来的A倍 y = Asin（6K + 0）第二种变换：横坐标不变 _ 丄
纵坐标不变图象向左（0 0 ）或 Li ? y = sin（（7K + 69）向右（0 v
纵坐标不变
图象向左（0 0 ）或 Li ? y = sin（（7K + 69）向右（0 v 0）平移回个单位
co
纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A l ）到原来的A倍歹=人$询（炉+卩）横坐标不变
4
4、已知三角函数值求角
⑴反三角函数
y=sinx ,兀 e的反函数 y=arcsinx ,xe[-U] y=cosx, x g[0,7t]的反函数y=arccosx, y=tanx, xe(-p^)的反函数y =arctanx, X E R ⑵已知角
⑴反三角函数
y=sinx ,兀 e
先确定x是第几象限角
若X的三角函数值为正的，求出对应的锐角兀1；若X的三角函数
值为负的，求出与其绝对值对应的锐角旺 [I
根据X是第几象限角，求出X
若X为第二象限角，即得X二兀-州；若X为第三象限角，即得 x= Tr + jq；若x为第四象限角，即Wx= - Xj
^xeR ,则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。
四、空要軀型
例已知a是第三象限角，且cosa = -丄，求tana。
3
解：丁。为第三象限角
=2V2sin a
=2V2
/. tana =
cosa
应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系;
角军：（1）3sina + cosa
3sina + cosa
3 tana+ 1
3x2 + 1
7
COSdf
2sina — cosa
2sina — cosa
2tana — l
2x2-1—
3
COSG
(2)
sinacosa =
sinacosa
sinacosa
tana
! — ? 2 2
1 sin a + cos a
tan2 a + 1
⑵ sinacosa
例 2：已知
例 2：已知 tan a = 2,计算⑴ sino + cosa
2sinof — cosa
_22+l_5
应用：关于sina与cosa的齐次式
例3：已矢口 sin(a +丁)= ],cos0 +丁)=石，且a
例3：已矢口 sin(a +丁)= ],cos0 +丁)=石，且a g e (0^—), 、 4 5 4 13 4 4 4
求 sin(a + 0)
解：sin(a + 0) = — cos
TOC \o 1-5 \h \z 2 7T 71 71 77
=一 [cos@ ——)cos0 ——)_sin(a ——)sin(0 ——)] 4 4 4 4 / sin(cif+ —) = °,且a e (―，^) /. cos^z + —)=
4 5 4 4 4 5
cos(J3 + —) = — ,且0 e (0, —sin(0 + —) = —上式=一（一）5 3 x13 556
上式=一（一）
5 3
x
13 5
56
65
应用：找出已知角与未知角之间的关系
2 cos2 sin 9-1
的值= _V2 ~2彳列4：已矢口 tan20
的值
= _V2
~2
2 V^sin(O + f)
*.* tan 20 = —2V2,即2“11? = —2V2 /. tan0 = 或tan0
l-tan2(9
2^ e (—, 7i) :. 0 w (Z ?).tan 9 = 41
2 4 2
cos0 — sin cosO + sinP2cos2 —-sin^-1 a ?
cos0 — sin
cosO + sinP
2 cos — sin
V2 sin( + -) V2 sin(6 + -) 4 4
1-伽 9 =5^5-3
1 + tan 0
应用：化简求值
高一数学第三章三角函数
第二章任意角的三角函数 考试内容： 角的概念的推广。弧度制。任意角的三角函数。单位圆中的三角函数线。同角三角函数的基本关系式。正弦、余弦的诱导公式。 两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。 正弦函数、余弦函数的图象和性质。周期函数。函数的奇偶性。函数y＝Asin(ωχ＋φ)的图象。正切函数的图象和性质. 已知三角函数的值求角。 正弦定理。余弦定理。斜三角形解法举例。 实习作业 考试要求： (1)理解任意角的概念、弧度的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。 (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义、并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanαcotα=1；掌握正弦、余弦的诱导公式。（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 （5）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；了解周期函数与最小正周期的意义；了解奇偶函数的定义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质以及简化这些函数图象的绘制过程；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义。 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、 arctanx表示。 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜二角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。 （8）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。 （9）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。 1985年——2002年高考试题集
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数 一、概述 三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。 二、三角函数的定义 三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。这些函数的定义如下： 1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离） 2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r 3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长 三、三角函数的基本性质
1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。正切 函数的周期性稍有不同，为π。 2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。例如，当角度增 加时，正弦函数的值也会增加。 3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。例如，正弦函数的相位 落后余弦函数相位π/2。 4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。例如，正弦函数的导 数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。 四、三角函数的实际应用 三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电 磁场等物理现象。例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长 度等物理量。例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
高一数学课件：三角函数2
高一数学课件：三角函数2 复习 一.任惫角的三角為敷 1、角的概念的推广y负角q的终边 1、角的概念的推广 y 负角 q的终边 正角 零角 a g (—oo,+oc) 2 2、角度与弧度的互化 X = 360° tt = 180° X = 360° tt = 180° 1 弧度=(—)。a 57.30。= 57。1 7V 1° = 7V 180 特殊角的角度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90c 120°
135° 150° 180° 270° 360° 弧度 兀 兀 7 71 71 2 271 3 371 4 5” ~6 71 3兀 2 二正弦，三两切，四余弦平方关系：sin2 二正弦，三两切，四余弦 平方关系： sin2? + cos2? = l l + tan2? = sec2 a l + cot2^ = csc2cif
4、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： 商关系： tan a ? cot a = 1 sin a fan zy — I dll Cv — sina-csca = 1 cosa cos a ?seca = 1 cosa cota = sin a 3、任意角的三角函数定义 定义： TOC \o 1-5 \h \z ? V X V sin oc = 一，cos a = —，tan oc —一 r r x — r r x cscoc= —，sec a = —, cot cl —— y 兀 y 三角函数值的符号：“一全正, 5、诱导公式： 诱导公式是针对竺的各三角函数值的化简 2 口诀为:”奇变偶不变符号看象限 (即把看作是锐角) 呪例：sin(——a)= -COSOf 2 cos 一 sina
高一数学三角函数的图像和性质
高一数学三角函数的图像性质 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-；①对sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1； 当()322 x k k Z π π=+∈时，y 取最小值－1；②对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时， y 取最小值－1。 3、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和 ()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 4、奇偶性、对称性与单调性： 奇偶性与单调性： ①正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+∈； ②余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π⎛⎫ + ∈ ⎪⎝ ⎭ ，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 单调性： ①()sin 2,22 2y x k k k Z π πππ⎡ ⎤ =- + ∈⎢⎥⎣ ⎦ 在上单调递增，在()32,22 2k k k Z π πππ⎡ ⎤ + + ∈⎢⎥⎣ ⎦ 单调递减； ②cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。
高一数学 三角函数的图像及性质
三角函数 一、知识梳理 1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 2.周期函数定义： 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期. 结论：如果函数)()(k x f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的周期T=2k ；
如果函数)()(x k f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的对称轴是k x k k x x =-++=2 ) ()( 3.图象的平移 对函数y ＝A sin （ωx ＋?）＋k （A ．＞．0．，． ω．＞．0．，． ?．≠0．．，． k ．≠0．．）．，其图象的基本变换有： （1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的.A ＞1，伸长；A ＜1，缩短. （2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的.ω＞1，缩短；ω＜1，伸长. （3）相位变换（横向平移变换）：是由φ的变化引起的.?＞0，左移；?＜0，右移. （4）上下平移（纵向平移变换）： 是由k 的变化引起的.k ＞0， 上移；k ＜0，下移 二、方法归纳 1.求三角函数的值域的常用方法： ① 化为求代数函数的值域； ② 化为求sin()y A x B ω?=++的值域； ③ 化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式； 2.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ω?=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）． 3.函数sin()y A x ω?=+为奇函数k ?π?=()k ∈Z ； 函数sin()y A x ω?=+为偶函数2 k π ?π?=+ ()k ∈Z 函数cos()y A x ω?=+为偶函数k ?π?=； 函数cos()y A x ω?=+为奇函数2 k π ?π?=+ ()k ∈Z 4.函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由222 2 k x k π π πω?π- +≤+≤ +()k ∈Z 解出， 单调减区间可由3222 2 k x k π π πω?π+ ≤+≤+ ()k ∈Z 解出； 函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由3222 2 k x k π π πω?π+ ≤+≤+ ()k ∈Z 解出， 单调减区间可由222 2 k x k π π πω?π-+≤+≤ +()k ∈Z 解出. 5.对称性： （1）函数sin()y A x ω?=+对称轴可由2 x k π ω?π+=+ ()k ∈Z 解出； 对称中心的横坐标是方程x k ω?π+=()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（ 即整体代换法） （2）函数()cos y A x ω?=+对称轴可由x k ω?π+=()k ∈Z 解出； 对称中心的横坐标是方程2 x k πω?π+=+()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（ 即整体代换法）
高中数学必修一高一数学第四章(第课时)已知三角函数值求角(二)公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：411已知三角函数值求角（2） 教学目的： 1．要求学生初步（了解）理解反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤． 教学重点：已知三角函数值求角 教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．反正弦，反余弦函数的意义： 由y = 1︒在R 上无反函数 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数， 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）
在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数， 记作()11arccos ≤≤-=x x y 2．已知三角函数求角： 求角的多值性法则：1、先决定角的象限、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角 二、讲解新课： 反正切函数 R x k x x y ∈+≠=,2,tan π π 1︒在整个定义域上无反函数 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上x y tan =的反函数称作反正切函数 记作()R x x y ∈=arctan （奇函数） 三、讲解范例： 例1 （1）已知⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x （精确到π1.0） 解：在区间⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-2,2ππ上x y tan =是增函数，符合条件的角是唯一的 ⎪⎭⎫ ⎝⎛π≈10'26180 x （2）已知31tan = x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合 解：1010,10tan 10tan π πππππ=+=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛ +x x 或 ∴所求的x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨ ⎧1011,10ππ（即31arctan 31arctan +==πx x 和） （3）已知R x x ∈=且3 1tan ，求x 的取值集合
人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章5.2.1三角函数的概念(第二课时)教案
《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》 教学设计 1．掌握三角函数值的符号； 2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性． 教学重点：函数值的符号、诱导公式一． 教学难点：对诱导公式的发现与认识． PPT课件． 资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解 （一）创设情境 引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？ 预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性： 预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰
富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质． 设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导． （二）新知探究 1．三角函数值的符号 问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？ 预设的师生活动：由学生独立完成． 预设答案：用集合语言表示的结果是： 当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果． 设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等． 例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是 ? ????sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性． 因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限． 因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274
§2角的概念的推广 内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)． 知识点1 角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． (2)按照角的旋转方向，分为如下三类： (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√) (2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√) (3)没有作任何旋转就没有角对应(×) (4)终边和始边重合的角是零角(×) (5)经过1小时时针转过30°(×) 知识点2 象限角 如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 【预习评价】 1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？ 提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角． 2．第二象限的角比第一象限的角大吗？ 提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边相同的角一定相等(×) (2)相等的角终边一定相同(√) (3)终边相同的角有无数多个(√) (4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×) 题型一角的概念的推广 【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数． 解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 规律方法 1.理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两个注意点 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负． 【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________； (2)经过10 min，分针转了________．
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第二课时 三角函数值的符号及公式一学案
第二课时三角函数值的符号及公式一课标要求 素养要求 1.能利用三角函数的定义，判断正弦、 余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养 . 教材知识探究 地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？ 问题如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？ 提示相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等. 1.三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
2.公式一 函数名称不变 (1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等. (2)式子表示：⎩⎨⎧sin （α＋k ·2π）＝sin α， cos （α＋k ·2π）＝cos α，其中k ∈Z .tan （α＋k ·2π）＝tan α， (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 教材拓展补遗 『微判断』 1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√) 2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×) 提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角. 3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√) 4.sin 3>0，cos 4<0.(√) 5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×) 提示 α的终边位于第一、二象限或y 轴正半轴. 『微训练』 1.sin 390°的值为( ) A.32 B.22 C.12 D.－12 『解 析』 sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝1 2，故选C. 『答 案』 C 2.下列4个实数中，最小的数是( ) A.sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4
高一三角函数
第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数 【知识要点】 1．任意角和弧度制. (1) 角的概念：角的形成，角的顶点、始边、终边． (2) 角的分类（以旋转方向为标准）：正角；负角；零角. (3) 终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为 },360|{Z k k ∈+︒⋅=αββ或},2|{Z k k ∈+=απββ． (4) 象限角与轴线角（以终边位置为标准）：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角. 终边落在坐标轴上则是轴线角． (5) 度量：角度制与弧度制以及弧度与角度互换公式： ' ︒=︒≈︒= 185730.571801πrad ，rad 01745.01801≈=︒π． 注：特殊角角度与弧度的互化要熟练． (6)弧长公式：r l ⋅=||α，扇形面积公式：211||22 s lr r α= =⋅ 2任意角的三角函数． (1)掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义． (2)掌握正弦、余弦、正切的定义域和这四种函数值在各个象限的值的符号． 由于三角函数的定义采用了角的终边上任意一点的坐标以及它们之间的相应的比．所以不难推得以下的结论： (4)终边相同的角的三角函数值相等 sin （α+k ·360°）=sin α cos （α+k ·360°）=cos α tan （α+k ·360°）=tan α (5)单位圆中的三角函数线 1°有向线段；规定了方向的线段． 2°三角函数线：在单位圆中某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值．记称它们为三角函数线．
【典型例题】 例1 已知︒=45α， （1）写出与α终边相同的角的集合； （2）在区间]0,720[︒︒-内找出与α终边相同的角β 例2（1）︒600角的终边在第几象限； （2）已知α为第二象限角，判断 2α的终边所在的位置；3α呢？ 例3、写出终边在下列阴影部分内的角的集合： 例4、一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 例5、求三角函数的值35sin 4cos tan 3sin cos522 πππππ++-+ 例6、已知α是第三象限角，试判定sin(cos )cos(sin )a a ∙的符号
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数正切函数的图
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 课堂导学 三点剖析 一、图象问题 余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不连续,只在区间(kπ-2π,kπ+2 π )上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是( 2 π k ,0),k∈Z . 【例1】 用“五点法”画下列函数的简图. y=-cosx,x∈［0,2π］. 画法一:按五个关键点列表: x 0 2 π 3 π 2 3π 2π Cosx 1 0 -1 0 1 -cosx -1 1 -1 描点画图(如图所示): 画法二:先用五点法画y=cosx 的图象,再作它关于x 轴的对称图形.图象如上图. 温馨提示 类似于正弦函数,也可以由y=cosx 变换为y=Acos(ωx+φ),x∈R ,并讨论其周期性,单调性,奇偶性等. 各个击破 类题演练 1 作出函数y=tan( 3 2π -x )在一个周期内的图象是( )
解析:首先函数的周期为2π,可排除B,D,其次当x=3 π -时,函数无意义,又可排除C. 答案:A 变式提升 1 在区间(23π- ,2 3π)范围内,函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解法一:在同一坐标系中,首先作出y=sinx 与y=tanx 在(-2π,2 π )内的图象,需明确x∈(0, 2 π )时,有sinx 同角三角函数的基本关系 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为() A. B.- C. D.- cosθ=,且<θ<2π, 所以sinθ=-=-. 所以tanθ=-,故=-. 2.已知,则tan θ的值为() A.-4 B.- C. D.4 可得,解得tanθ=-4.故选A. 3.已知tan α=2,则=() A.-5 B. C. D.- 故选B. 4.(多选题)(2021江苏常熟高一月考)已知sin α=-,cos α>0,则() A.tan α<0 B.sin αcos α>0 C.sin2α>cos2α D.tan2α<1 sinα=-,cosα>0,∴cosα=, ∴tanα==-<0,故A正确, tan2α=>1,故D错误; sinαcosα<0,故B错误;sin2α==cos2α,故C正确.故选AC. 5.(多选题)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是() A.tan α=- B.=sin α-cos α C.cos α=- D.=sin α+cos α ,知tanα=,所以A错误; =|sinα-cosα|,因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以原式=sinα-cosα,所以B正确; α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以有cosα=-,所以C正确;=|sinα+cosα|,但是α是第二象限角,sinα+cosα符号不确定,所以D错误.故选BC. 6.(2021北京人大附中朝阳学校高一月考)已知sin α+cos α=-,α∈(0,π),则sin α·cos α=,tan α=. - sinα+cosα=-得(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=, 解得sinα·cosα=-; 由sinαcosα=-=-,解得tanα=-或-. ∵α∈(0,π)时,sinα>0,∴若sinα+cosα=-,则cosα<0且-cosα>sinα,即tanα>-1,∴tanα=-. 关键能力提升练 7.已知角θ的始边为x轴非负半轴,终边经过点P(1,2),则的值为() A.- B. C.- D. 角θ的始边为x轴非负半轴,终边经过点P(1,2), ∴tanθ=2. 高一数学三角函数课件 第1篇：高一数学三角函数课件 三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度。下面就随小编一起去阅读高一数学三角函数课件，相信能带给大家帮助。 一、教学分析 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的*质时有重要作用，也是研究周期*现象的基础数学工具。三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的*质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图像和*质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图像分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。 二、目标要求 1.总体要求 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他 未完，继续阅读 > 第2篇：人教版高一数学三角函数课件 1.1.1任意角 【学习目标】 1．了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2．正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集 合表示 【学习重点、难点】 用*与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体*、跳水中，有“转体720”这样的动作名词，这里的“720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。*线的端点称为角的________，*线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条*线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_____ 未完，继续阅读 > 第3篇：三角函数概念教学课件 三角函数概念教学课件 一、课前准备： 【自主梳理】 1.任意角 (1)角的概念的推广： 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正、余弦函数的性质 1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小． 3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合． 1．正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表所示： ____ 当x ＝____________时，y 取最大值1 正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π 2(k ∈Z )，所 有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． 【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是R B ．最大值与最小值的和等于0 C ．在⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π 2．余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表所示： __ 当x ＝________时，y 取最大值1 余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值． 【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1] B ．是奇函数 C ．在定义域上不是单调函数 D ．在[0，π]上是减函数 答案：1．R [－1,1] 2k π＋ π2(k ∈Z ) 2k π－π 2 (k ∈Z ) 2π 奇 ⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 ⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 【做一做1】 C 2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] 【做一做2】 B 一、知识要点 1、三角函数的基本关系： ()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； () sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛ ⎫== ⎪⎝ ⎭． 2、函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 3、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬ ⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ ()k ∈Z 时， max 1y =；当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期 性 2π 2π π 函数 性 质 三角函数的图象与性质（二） 一、基本知识： 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式． 二、例题分析： 【例1】(2004年某某卷)设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间 t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： 经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数) sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ） A ．]24,0[,6 sin 312∈+=t t y π B ．]24,0[),6 sin(312∈++=t t y ππ C ．]24,0[,12 sin 312∈+=t t y π D ．]24,0[),2 12 sin(312t t y π π++= 【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象与性质以及分析问题与解决问题的能力． “会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型”， 此类问题的求解一般是先找出周期，定出A 与是的值，最后确定 的值． 【标准答案】A 【例2】 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π 2)的最小值 为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式． 分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ）， 又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π 6）． 【例3】 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用y=Asin （ωx+φ)（2）求这个函数关于直线x=2解：（1）T= 13π3－ π 3 =4π． 第1课时 三角函数的定义 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P 11～P 15的内容，回答下列问题． 如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P (a ，b )，它与原点的距离r ＝a 2 ＋b 2 >0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为 a ，线段MP 的长度为 b . (1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？ 提示：sin α＝MP OP ＝b r ，cos α＝OM OP ＝a r ，tan α＝MP OM ＝b a . (2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会随P 点在终边上的位置的改变而改变． (3)若将点P 取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tan α各为何值？ 提示：sin α＝b ，cos α＝a ，tan α＝b a . (4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？ 提示：上述结论仍然成立． (5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？ 提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 2．归纳总结，核心必记 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于 点P (x ，y ) 定 正弦 y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y （人教版）精品数学教学资料 重点列表： 重点详解： 1．“五点法”作图 (1)在确定正弦函数y＝sin x在0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是， ，，， ． (2)在确定余弦函数y＝cos x在0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是， ，，， ． 2．周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________． 3．三角函数的图象和性质 【参考答案】 1．(1)(0，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫3π2，－1 (2π，0) (2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32π，0 (2π，1) 2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期 3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ≠k π＋π 2，k ∈Z ④－1，1] ⑤－1，1] ⑥x ＝k π＋π 2(k ∈Z ) ⑦(k π，0)(k ∈Z ) ⑧x ＝k π(k ∈Z ) ⑨⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) ○112π ○122π ○13π ○14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ○15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) ○ 16 2k π－π，2k π](k ∈Z ) ○ 17 2k π，2k π＋π](k ∈Z ) ○18⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ○19奇函数 ○ 20偶函数 ○21奇函数 重点1：三角函数的定义域 【要点解读】 三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)． (2)三角函数值域的求法 三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． 【考向1】利用三角函数图像求定义域 【例题】求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域． 解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 三角函数 一、知识梳理 1.任意角：按逆时针旋转所成的角为正角，按顺时针旋转所成的角为负角. 2.象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3.与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5.半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 6.弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180 π =，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝⎭ . 7.若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 8.设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是() 0r r =，则 sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠. 9.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 10.同角的三角函数关系： （1）22sin cos 1αα+=() 2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；新教材高中数学第5章三角函数2
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