121有理数基本运算讲义教师版

内容 基本要求 略高要求

较高要求 有理数运

算

理解乘方的意义

掌握有理数的加、减、

乘、除、乘方及简单的

混合运算（以三步为

主）

能运用有理

数的运算解

决简单问题

有理数的

运算律

理解有理数的运算律

能用有理数的运算律

简化运算

板块一、有理数基本加、减混合运算 有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

③一个数同0相加，仍得这个数.

例题精讲

中考要求

有理数基本运算

有理数加法的运算步骤：

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

①确定和的符号；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.

有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a

+=+(加法交换律)

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

++=++(加法结合律)

a b c a b c

()()

有理数加法的运算技巧：

①分数及小数均有时，应先化为统一形式.

②带分数可分为整数及分数两部分参及运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥符号相同的数可以先结合在一起.

有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数.()

-=+-

a b a b

有理数减法的运算步骤：

①把减号变为加号（改变运算符号）

②把减数变为它的相反数（改变性质符号）

③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号及括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号及每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式. 例如：()(3)(0.15)9(5)(11)30.159511++-+-+++-=--+-， 它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.

【例1】 计算：⑴5116

( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767

-+-+++-+-+-+-++

⑵11(0.75)0.375(2)84

+-++-

⑶()()()()3133514--++--- ⑷31212 1.7534

6

3

--+

⑸

⑹110.5 2.50.336

????---+- ??

????

?

【考点】有理数加减运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴原式21(10)0138)463

3

=-++=-+(-

⑵原式133111()(2)(3)28

8

4

4

2

2

=++-+-=+-=-

⑶原式313351437=---+=-

⑷原式321311 1.75320114

3

662????=-+-=+= ? ?

???? ⑸原式430.5 4.541577

=---=--=-

⑹原式115

=

【答案】⑴1463-；⑵122-；⑶37-；⑷112；⑸5-；⑹115

【例2】 计算：⑴112.75(3)(0.5)(7)42---+-+；⑵1111

|||0|||()||2394

---+-----

【考点】有理数加减运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴原式2=-；⑵原式1136

=-

【答案】⑴2-；⑵1136

-

【巩固】 ⑴21(4)(3)33-+-⑵21

(6)(9)|3|7.49.2(4)55

-+-+-+++-

⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332

-++-+

⑸5317(9)15(3)(22.5)(15)124412

-++-+-+-

⑹434(18)(53)(53.6)(18)(100)555

-+++-+++-

⑺1132|1()|3553

-----⑻ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)--+----

⑼1111(3)[(3)3](3)4444??

-------????

【考点】有理数加减运算

【难度】1星 【题型】计算 【关键词】 【解析】略

【答案】⑴8-；⑵0；⑶9.5-；⑷0；⑸35-；⑹100-；⑺425

-；⑻0.3-；⑼0

【巩固】 ⑴若0a >，0b <，则a b -0

⑵若0a <，0b >，则a b -0

⑶若0a <，0b <，则()a b --0；

⑷若0a <，0b <，且||||a b <，则a b -0.

【考点】有理数加减运算 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】

【解析】⑴根据00a b ><，，可知0a b ->；⑵由题意可得：00a b <>，，则0a b -< ⑶略；⑷略

【答案】⑴>；⑵<；⑶<；⑷>

【例3】 (第

14届希望杯)有一串数：2003-，1999-，1995-，1991-，…，按一定的规律排列，那

么这串数中前个数的和最小．

【考点】有理数加减运算 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】第14届，希望杯试题，等差数列

【解析】这个数列构成了公差为4的等差数列，故其第n 项为20034(1)42007n a n n =-+-=-，

420070n -≤，3

5014

n ≤，即5010a <，5020a >，故前501个和最小．

【答案】501

【例4】 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别

表示为0b

b a

，，的形式，则20042001a b +=

【考点】有理数加减运算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】

【解析】这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以判定，a b +及a 中

有一个为0，b a

及b 中有一个为1，可推出11a b =-=，，原式值为2

【答案】2

【例5】 给出一连串连续整数：203202...20032004--，，，，，这串连续整数共有个；它

们的和是

【考点】有理数加减运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】

【解析】由题意可知：共有2208个，和为()20320042208

19883042

-+?=

【答案】2208；1988304

【例6】 1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )

A ．至少有一个是零

B ．至少有998个正数

C ．至少有一个是负数

D ．至多有995个是负数

【考点】有理数加减运算

【难度】4星

【题型】选择

【关键词】第8届，希望杯

【解析】略

【答案】C

【巩固】若0

<<<<，则以下四个结论中，正确的是( )

a b c d

A．a b c d

+--可能是负数．

+++一定是正数．B．d c a b

C．d c b a

---一定是正数．

---一定是正数．D．c d b a

【考点】有理数加减运算

【难度】4星

【题型】选择

【关键词】第17届，希望杯2试

【解析】a b c d

---一定是正数；c d-

+--一定为正；d c b a

+++不能确定正负；d c a b

为负，b a

---不能确定正负．

--为正，c d b a

【答案】C

【例7】北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：oC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（）

A. 28oC

B. 29oC

C. 30oC

D. 31oC

【考点】有理数加减运算

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2007年，北京中考

【解析】当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用30为“基准数”，那么平均值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）÷7=29（oC）；其总和=30×7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（oC）.

【答案】B

【例8】出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，

向西为负，他这天下午行车里程表示如下:15

+，3-，

+，2-，5+，1-，10 +，4+，5-，6+，

2-，12

⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远?

⑵如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?

【考点】有理数加减运算

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2007年，济南中考

【解析】⑴(15)(2)(5)(1)(10)(3)(2)(12)(+4)+(5)+(+6)=39

++-+++-+++-+-+++-，距离出发点

为39千米；

⑵共走了+15+2++5+1++10+3+2++12++4+5++6 =65

-----(千米)的里程，

所以耗油为650.532.5

?=(升).

【答案】⑴39；⑵32.5

【巩固】A市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A市某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里

程记录为：2.3、7.2

-、8、9.3、 1.8

-（单位：公里，向北行驶记为

-、 6.1

正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？

【考点】有理数加减运算

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2007~2008年，北京四中，阶段测试

【解析】毛收入：(3878102)276

+++++?=(元)，

汽油成本：(2.37.2 6.189.3 1.8)0.1413.88

+-+-+++-??=（元），收入7613.8862.12

-=（元）.

他最后距离出发点的距离：2.3(7.2)( 6.1)89.3( 1.8) 4.5

+-+-+++-=（公里）.

【答案】净收入为76元，最后距离出发点4.5公里

【例9】数轴的原点O上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B点．

① 求O、B两点之间的距离（用单位长度表示）．

② 若点C及原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位

长度，需要多少时间 才能到达？

③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？

【考点】有理数加减运算 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】无锡中考，人大附中练习题，分类讨论

【解析】①1(2)3(4)99(100)50+-++-+++-=-，故O 、B 两点之间的距离为50个单位长度．

②分两种情况，第一种情况：点C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次

结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298-?=（次）运动即可前进50米，到达B 地；用时为：(1239899)22475++++÷=（分钟）．

第二种情况：点C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米，故经过100次运动即可前进50米，到达B 地，用时为：

(12100)22525+++÷=（分钟）

． ③设第n 次运动时，正好60分钟，那么有123456602

2

2

2

2

2

2

n +++++++=，所

以15n =，此时它离A 点：1234561314158-+-+-++-+=（米）．

【答案】⑴50个单位长度；⑵2475分钟或者2525分钟；⑶8米

【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二

步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点

3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，

．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．

【考点】有理数加减运算 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】第5届，希望杯2试

【解析】假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意

可得：

01234569910019.94x -+-+-+--+=，030.06x =-．

【答案】030.06x =-

【巩固】 在

1，3，5，…，101这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正

号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？

【考点】有理数加减运算

【难度】6星

【题型】解答

【关键词】2007年，希望杯培训试题

【解析】由于2

135710151

+++++=为奇数，对于连续的4个奇数我们添加符号

如下，使其结果为0，即：(21)(23)(25)(27)0

n n n n

+-+-+++=，这样我们可以使后48个奇数和为0，对于1、3、5我们可以如下添加符号使其绝对

值最小：1351

--+=，于是可得和的绝对值最小为1．

【答案】1

【巩固】在数1，2，3，……，1998前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？

【考点】有理数加减运算

【难度】6星

【题型】解答

【关键词】2000年，辽宁中考

【解析】由于12319991999999

++++=?是一个奇数，而在1，2，3， (1998)

间任意添上“+”号或“－”号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得

额非负数不小于1.现考虑在四个连续自然数n，1

n+，2

n+，3

n+之间添

加符号，显然(1)(2)(3)0

n n n n

-+-+++=，这提示我们将1，2，3，，1998每连续四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即：

()()()

123456781993199419951996199719981

--++--+++--+-+=

所求的最小非负数为1.

【答案】1

【例10】试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和：

1111111

...

248163264128

+++++++

【考点】有理数加减运算

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】数形结合思想

【解析】如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1

2

的矩形，接着，

再把面积为1

2的矩形中的一个等分成面积为1

4

的矩形，在把面积为1

4

的

矩形中的一个等分成两个面积为1

8

的矩形，…，显然，图中所有矩形面

积之和是整个正方形的面积，所以1111 (1)

24816

++++=

【答案】1

【例11】 在数学活动中，小明为了求

23411111

(22222)

n +++++的值（结果用n 表示），设

计了如图所示的几何图形

图2

图1

⑴请你用这个几何图形求23411111

(22222)

n

+++++的值 ⑵请你用图

2，再设计一个能求231111 (2222)

n ++++的值的几何图形

【考点】有理数加减运算

【难度】4星 【题型】解答

【关键词】2005年，大连中考，数形结合思想 【解析】⑴原式112

n =-；⑵略

【答案】⑴112

n -；⑵略

【例12】 （4

级）（芜湖市课改实验区中考试题）

小王上周五在股市以收盘价每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况

⑴星期二收盘时，该股票每股多少元？

⑵本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

⑶已知买入股票及卖出股票均需要支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的受益情况如何？

【考点】有理数加减运算 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】芜湖中考

【解析】⑴星期二收盘价为2520.526.5+-=

⑵收盘价最高为2520.5 1.528+-+=；收盘最低价为2520.5 1.5 1.826.2+-+-= ⑶小王的收益为()()00000027100015251000151740?--?+=（元）

【答案】⑴26.5；⑵最高为28，最低为26.2；⑶1740

板块二、有理数基本乘法、除法 有理数乘、除法

Ⅰ：有理数乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. 有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba =(乘法交换律)

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc =(乘法结合律)

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

()a b c ab ac +=+(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数. ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.

③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

【例13】 看

谁算的又对又快：⑴

()()()345826-?--?--?-????????

；⑵

4113

(3)11559211

??????-?-?-?+? ? ? ???????

⑶1571(8)16-?-；⑷()()999812512412161616??????-?---?-+?- ? ? ???????

⑸11111221114

2

6

12??

-?-+- ???

【考点】有理数综合运算 【难度】1星 【题型】计算

【关键词】 【解析】⑴()()[]()()34582(6)12581228-?--?--?-=-?-+=????；

⑵化带分数为假分数后约分.原式910113395

9

2

11??=-????=-

??

?

⑶变形后使用分配律，

原式()()()1515

71885685687.5575.5162

??=-?-+-?-=+=+= ?

??

⑷逆向运用分配律，较复杂的有理数混合运算，要注意解题方法的选

取.

原式()9985412121616

??=---+?-??

????

?

=-； ⑸应用乘法分配律；

原式()()()()93713121212124

2612????

=-?+-?-+-?+-?- ? ???

??

()2718(14)1310=-++-+=-.

【答案】⑴28；⑵9-；⑶575.5；⑷91216

-；⑸10-

【巩固】 计算下列各题：⑴()30.250.57045?

?-??-? ??

?；⑵

⑶735(1)(36)1246??-+---?-????

⑷111(0.25)(5)( 3.5)()2244

-?-+?-+-?

⑸114()1()16845

-??-?

⑹11171113()71113

???++

【考点】有理数乘除运算

【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】⑴小数结合相乘凑成整数.原式

()()()330.250.54700.2527055????=-???-=-??- ? ?????()31353353

0.57052510????=-?-=+?=

? ?????

； ⑵小数化成分数，互为倒数结合相乘为1.原式310011

33100322????=-

?-?= ???????

；

⑶原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246????

-?-+?-+-?---?-=-+-=- ? ?????

； ⑷原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-?---?-+-?=-?-++=；

⑸原式154()16()2845????=-???-=???????

? ⑹原式1113713711311=?+?+?=；

【答案】⑴35310

；⑵132

；⑶12-；⑷0；⑸2；⑹311

【例14】 计算：()()()71000.01999011??

-??-??- ???

【考点】有理数乘除运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式0= 【答案】0

【巩固】 计算：11111

(1)(1)(1)(1)(

1)491625

2500

-?-?-?-?

?- 【考点】有理数乘除运算 【难度】4星 【题型】计算

【关键词】公式法

【解析】原式11111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(

1)(1)2

2

3

3

4

4

5050

=-?+?-?+?-?+?

?-?+ 132435464951

223344555050??????????=(-）（-）（-）（-）（-）

13243546495115151

223344555050250100

=-??????????=-?=-

【答案】51100

-

【例15】 积11111111...111324359810099101??????????+++++ ????? ??????????????????

的值的整数部分是 【考点】有理数综合运算 【难度】5星 【题型】计算 【关键词】

【解析】原式22222399100...13249810099101=????????()()2

222

234...9910012345...99100101?????=????????99

1101

= 【答案】99

1101

【例16】 设()

2n n ≥个正整数

123...n

a a a a ，，，，，任意改变他们的顺序后，记作

123...n b b b b ，，，，，若

()()()()112233...n n P a b a b a b a b =----，则（ ）

A ．P 一定是奇数

B ．P 一定是偶数

C ．当n 是奇数时，P 是偶数

D ．当n 是偶数时，P 是奇数 【考点】有理数乘除运算 【难度】5星 【题型】选择

【关键词】希望杯竞赛 【解析】略 【答案】C

【例17】 若a ，b ，c ，d 是互不相等的整数，且9abcd =则a b c d

+++的值为( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．无法确定．

【考点】有理数综合运算 【难度】5星 【题型】选择

【关键词】分类讨论思想 【解析】a b c d ，，，4个数是13±±，，所以0a b c d +++= 【答案】A

【巩固】 如果

4个不同的正整数m ，n ，p ，q 满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么

m n p q +++的值是多少？

【考点】有理数综合运算 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】分类讨论思想

【解析】(7)(7)(7)(7)1(1)2(2)m n p q ----=?-??-，所以,,,m n p q 分别取值6，8，5，9，

所以28m n p q +++=.

【答案】28

【例18】 如果a b c ，，均为正数，

且()()()152162170a b c b a c c a b +=+=+=，，，那么abc 的值等于

【考点】有理数综合运算

【难度】5星 【题型】填空

【关键词】

【解析】略

【答案】720

【例19】若19980

+=，则ab是（）

a b

A. 正数

B. 非正数

C. 负数

D. 非负数

【考点】有理数综合运算

【难度】4星

【题型】选择

【关键词】第9届，希望杯

【解析】由19980

a b

ab≤.

a b

==，故有0 +=，得1998

a b

=-，可知a、b的符号相反或者0

【答案】B

【巩固】奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.

【考点】有理数乘除运算

【难度】1星

【题型】填空

【关键词】

【解析】略

【答案】负号；偶数.

【巩固】如果22

+--=，则一定成立的是( )

a b a b

()()4

A．a是b的相反数B．a是b-的相反数C．a是b的倒数D．a

是b-的倒数

【考点】有理数综合运算

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】第16届，希望杯2试

【解析】将原式展开，合并后得到1

ab=，选择C．

【答案】C

【巩固】a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（）

A．0

b>，a、c异号

a>，b、c同号B．0

C．0

c>，a、b异号D．a、b、c同号

【考点】有理数乘除运算

【难度】1星

【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】A

【巩固】 若a b c ，，三个数互不相等，则在

a b b c c a

b c c a a b

------，，

中，正数一定有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【考点】有理数乘除运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】

【解析】不妨设a b c >>，则000a b b c c a b c

c a

a b

---><<---，，，显然有两个负数，一个正

数．

【答案】B

Ⅱ：有理数除法

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b

÷=?，

(0b ≠)

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

【例20】 计算：⑴；⑵()()112103523????

-÷-?-÷- ? ?????

⑶231(4)()324+÷?÷-； ⑷71()2(3)93

-÷?+

⑸11111()()2

3

4

5

60

-+-÷-；⑹44192()7

7

÷-

【考点】有理数乘除运算

【难度】1星 【题型】计算 【关键词】 【解析】⑴原式

⑵原式＝511011

210356

??????-?-?-?-= ? ? ????

???

⑶在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算可得结果为

36-；

⑷在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算可得结果为1-； ⑸在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算可得结果为

13-；

⑹在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算可得结果为

337-；

【答案】⑴2521

；⑵16

；⑶36-；⑷1-；⑸13-；⑹337-

【例21】 如果

0ac

b

>，0bc <，且()0a b c ->，试确定a 、b 、c 的符号. 【考点】有理数乘除运算 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】分类讨论思想

【解析】0bc <说明b 、c 异号，那么0c b

<；又因为0ac b

>，所以0a <；因为()0a b c ->，

所以0b c -<，进而得b c <，且0bc <，所以0b <，0c >. 【答案】0a <，0b <，0c >

【例22】 用“＞”或“＜”填空

⑴如果0ab c

>，0ac <那么b 0 ；

⑵如果0a b >，0b c

<那么ac 0 .

【考点】有理数乘除运算

【难度】1星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略

【答案】⑴<；⑵<

【巩固】 如果

0a b <，0b

c

<，试确定ac 的符号. 【考点】有理数乘除运算

【难度】2星 【题型】解答 【关键词】

【解析】0a b

<说明a 、b 异号；0b c

<说明b 、c 异号，所以a 、c 同号，所以ac 的

符号为正.

【答案】ac 的符号为正

【例23】 观察下面的式子：

⑴小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的

和，小明的猜想正确吗？为什么？

⑵请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想 【考点】有理数综合运算 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】第15届，希望杯试题，规律探索

【解析】⑴小明的猜想显然是不正确的，反例：如1313?≠+

⑵将第一组等式变形为22

24241

1

?=+=，，得出如下猜想：

“若n 是正整数，则

()()11

11n n n n n n ++?+=++”，证明：左边()()11111n n n n n +??=++=++= ?

??

右边 【答案】⑴不正确；⑵见解析

【例24】 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，x 的绝对值等于它相反数的2

倍.

求3x abcdx a bcd ++- 的值. 【考点】有理数综合运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】根据题意可知0a b +=，1cd =-，2x x =-，0x =，故3x abcdx a bcd ++-30x abx =-= 【答案】0

板块三、有理数常考经典计算题型

一、应用定律

【例25】 计算：

131711010 5.2149 5.2 5.43 4.61255102????-÷?-?+?-? ???????

【考点】有理数综合运算

【难度】3星 【题型】计算

【关键词】第5届，“五羊杯”竞赛试题，应用定律 【解析】原式[]1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5=-÷?-?-?+?

[]1010.5 5.2 5.4 5.4 3.7 4.6 1.5=-÷?-?+? []1010.5 5.4 1.5 4.6 1.5=-÷?+? []1010.5 1.510=-÷?

100.79.3=-=

【答案】9.3

二、应用公式

【例26】 计算：1039710009??

【考点】有理数综合运算 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】应用公式，平方差公式 【解析】原式()()()10031003100009=+-+

()()2210091009=-+

421009=-

99999919=

【答案】99999919

三、整体代换

【例27】 计算：

11

11111111...1...1 (23)

20042200322004232003????????++++++-++++++ ??? ???????????

【考点】有理数综合运算

【难度】4星 【题型】计算

【关键词】整体代换

【解析】分析：仔细观察发现，四个括号里有一个公共的部分：111

...2

32003

+++

，不妨以b 代替这个和，且设1

2004

a =，这样就可以简化过程 设1111

...2

3

20032004

b a =+++

=

， 原式()()()11b a b b a b =++-++

()22b b a ab b b ab =+++-++

a =

所以原式1

2004

=

【答案】

12004

四、裂项

【例28】 计算：11111111()1288244880120168224288

+++++++?=．

【考点】有理数综合运算 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】裂项

【解析】原式11111282446681618??

=++++

?

???????

11111

11128224461618??=

?-+-++

-? ???4289

= 【答案】4289

【例29】 已知2(1)|2|0a ab -+-=，试求

111

(1)(1)(2)(2)

ab a b a b +++++++的值．

【考点】有理数综合运算 【难度】4星 【题型】计算

【关键词】2008年，第十三届“华杯赛”决赛，裂项 【解析】∵2(1)|2|0a ab -+-=，且2(1)0a -≥，20ab -≥．

∴解得1a =，2b =．

∴ 原式1111

122334

20052006=+?++????

1111111122334

20052006=-+-+-+

-12005

120062006

=-=

． 【答案】20052006