培优专题讲义有理数及其运算

初一数学培优专题讲义一有理数及其运算

一、有理数的基本概念：（一）常考点，易错点：

1. 字母可以表示任意有理数，不能说 a 一定是正数，-a 也不

2. 相反数等于本身的数是

；平方等于本身的数是

等于本身的数是

例 2.若 ab<0, 求 — + — ^ab 的值.

|a| |b| |ab|

例 3. （1）如果 x v — 2,那么 |1 — |1+ x||= 相信

3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若 —x |=| |，贝y x =

；若 |x|=| — 4|，贝y x= ；

若-|x|=-|2| ，那么 x= ；若 T -x|=T 2l 那么x= 4. 互为相反数的两个数的平方相等。如果. 5. ______ 注意乘方中括号的作用。（一2）的底数是是 _______ ； n 为正整数，则（一1） 2n = ______ a 2 =16，那么 a = ___________________ ； : ________ ，结果是—

2n+1 ____ , (— 1) =-_ 若 x 2=（ — 2）2，贝H x= —；—32的底数是, 。计算：

，结果

(1)-

(2): ；(3) ；（4） (5)=

6. a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是

变式训练：若a v b ,则I a-b I = ,-I a-b I = （二）绝对值的化简: 7.绝对值即距离，则 a -0 8. 绝对值的代数定义用式子可表示为

（a > 0）

（a = 0 ）（a v 0 ）：（体现分类讨论的思想） |a| = 9. 绝对值的非负性：

（1）若 |a| = 0,则 a

_____ ； (2)若 |a| = a ,贝U a (3)右 |a| = — a , (4) —l,则— |a| (5) a ：： 0 ,则 (6)若 |a|+|b|=0

，则a 且b

小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符例 1. 已知:

a — 1 | + ( b+1) =0,那么(a+

b )

号。

2003

+b 2003的值是多少?

定是负数

;立方等于本身的数是

；若|m — 1|=m — 1,则 m _ 1.；若 |m — 1|=1 — m,则 m __ 1.

3 2

(2)已知a =3，且a+a=O，贝U a +a = ________

例4.有理数a, b, c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

C BOA

1?已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简

丨II I -

a 0 c b

例5.若-2< a< 0,化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

例6.若x-y+3与x+y -1999互为相反数，求x一2y的值

x —y

(三)分类讨论的思想: 例7.已知a, b互为相反数，c, d互为倒数，且x的绝对值是5,

试求x—( a+b—cd) + | ( a+b)—4 | + | 3 —cd | 的值.

即时练习：1.已知|x|=2 , |y|=3且x-y>0 ,贝U x+y的值为多少?

(四)两个重要的非负数：①a二0 ?，②a2>0；③ a = a2 =a2

2.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||

2. 若a<0,试化简

2a-|3a|

l|3a|-a|

3.若abc z 0，贝石「帀「心的所有可能值为

|a—|c—b|—|a—c|+|b-a|

2.解方程：|x-5|=8

（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例 11.计算：（巧算）

111111

(2) — + — + —+ ——+ ——+ —

—.

2 4 8 16 32 64

4 5 3

5 例 12.计算：(—4 )X — -(- - )X(-—)

5 13 5

/ ■-）＜

12001 丄（^2000

（三）利用幕的性质巧算：例 15.计算：（1） - 「一

例 8.若(2 a _1『+ 2a +b = 0,且 c_1]=2,求 c .(a 3 _b 的值。例9.已知ab - 2与b -1互为相反数，求代数式 1 1 1

——+ --------------- + -------------------

ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2)

的值. (a 1999)(b 1999) 二、突破有理数的计算（一）混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先, 先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算; 凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优小减大，取负，倒过来减。

(_1.5) +41

+2.75+(—5丄) 例10.计算：(1) 4

(2)(-6) 8-(-2)3

-(-4)2 5

-52 (3)

一［一4 （1一0.2 耳订

切 5

（4） 5 C 6）-（-4）「（-8）

（ 5

）

(-16 -50 3?)“(-2)

(6)

‘2 —48 24

(7)

-32 -(-3)2 (-2) - -22

-(-98)99 - 9899

例13. 1 I 1 卜 1

3X5 + 5X7

1 1997X 1999

例 14. (1)(分组求和)1-2+3-4+ …+2001-2002

（2）（倒序求

和）

1+3+5+7+…+99

1 1

1 1 2004 2003

2003 2002

1 _ 1 1003 一 1002

5 x

(1)

（四）整体代入求值初步：例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= 健康文档放心下载放心阅读

例17.已知_ab3，试求代数式览_5 a b的值

a +

b a +b ab

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减

专题07 整式的加减阅读与思考整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时，代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？

七年级数学上册培优辅导讲义(人教版)

新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－227 ，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．

高一物理下册抛体运动(培优篇)(Word版含解析)

一、第五章抛体运动易错题培优（难） 1．如图所示，半径为R的半球形碗竖直固定，直径AB水平，一质量为m的小球（可视为质点）由直径AB上的某点以初速度v0水平抛出，小球落进碗内与内壁碰撞，碰撞时速度大小为2gR，结果小球刚好能回到抛出点，设碰撞过程中不损失机械能，重力加速度为g，则初速度v0大小应为（） A．gR B．2gR C．3gR D．2gR 【答案】C 【解析】小球欲回到抛出点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向．设碰撞点和O的连线与水平夹角α，抛出点和碰撞点连线与水平夹角为β，如图，则由2 1 sin 2 y gt Rα ==，得 2sin R t g α =，竖直方向的分速度为 2sin y v gt gRα ==，水平方向的分速度为 22 (2)(2sin)42sin v gR gR gR gR αα =-=-，又 00 tan y v gt v v α==，而2 00 1 2 tan 2 gt gt v t v β==，所以tan2tan αβ =，物体沿水平方向的位移为2cos x Rα =，又0 x v t =，联立以上的方程可得 3 v gR =，C正确． 2．一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4m，一小球以水平速度v飞出，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是（）

A 6m/s 22m/s v << B ．22m/s 3.5m/s v <≤ C 2m/s 6m/s v << D 6m/s 23m/s v << 【答案】A 【解析】【分析】【详解】若小球打在第四级台阶的边缘上高度4h d =，根据2 112 h gt = ，得 1880.4s 0.32s 10 d t g ?= == 水平位移14x d = 则平抛的最大速度 1112m/s 0.32 x v t = == 若小球打在第三级台阶的边缘上，高度3h d =，根据2 212 h gt = ，得 260.24s d t g = = 水平位移23x d =，则平抛运动的最小速度 2226m/s 0.24 x v t = == 所以速度范围 6m/s 22m/s v << 故A 正确。故选A 。【点睛】对于平抛运动的临界问题，可以通过画它们的运动草图确定其临界状态及对应的临界条件。 3．一个半径为R 的空心球固定在水平地面上，球上有两个与球心O 在同一水平面上的小孔A 、B ，且60AOB ∠=?2 gR

第8讲有理数及其运算(基础)

《有理数及其运算》全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 0C

要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a · (b ≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒 π--a 1 b 2 (3)9-=3 (3)27-=-

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编

专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

高一物理上册运动和力的关系(培优篇)(Word版含解析)

一、第四章运动和力的关系易错题培优（难） 1．A 、B 两物体用两根轻质细线分别悬挂在天花板上，两细线与水平方向夹角分别为60°和45°，A 、B 间拴接的轻质弹簧恰好处于水平状态，则下列判断正确的是（） A ．A 、 B 的质量之比为1︰3 B ．A 、B 所受弹簧弹力大小之比为3︰2 C ．快速撤去弹簧的瞬间，A 、B 的瞬时加速度大小之比为1︰2 D ．悬挂A 、B 的细线上拉力大小之比为1︰2 【答案】C 【解析】【分析】【详解】 A ．对A B 两个物体进行受力分析，如图所示，设弹簧弹力为F 。对物体A A tan 60m g F = 对物体B B tan 45m g F = 解得 A B 3 m m 故A 错误； B ．同一根弹簧弹力相等，故B 错误； C ．快速撤去弹簧的瞬间，两个物体都将以悬点为圆心做圆周运动，合力为切线方向。对物体A A A A sin 30m g m a = 对物体B

sin 45B B B m g m a = 联立解得 A B 2 a a = 故C 正确； D ．对物体A ，细线拉力 A cos60F T = 对物体B ，细线拉力 cos 45 B F T = 解得 A B 2T T = 故D 错误。故选C 。【点睛】快速撤去弹簧瞬间，细线的拉力发生突变，故分析时应注意不能认为合外力的大小等于原弹簧的弹力。 2．如图所示，斜面体A 静止放置在水平地面上，质量为m 的物体B 在外力F （方向水平向右）的作用下沿斜面向下做匀速运动，此时斜面体仍保持静止。若撤去力F ，下列说法正确的是（） A ．A 所受地面的摩擦力方向向左 B ．A 所受地面的摩擦力可能为零 C ．A 所受地面的摩擦力方向可能向右 D ．物体B 仍将沿斜面向下做匀速运动【答案】A 【解析】【分析】【详解】根据题意可知B 物块在外力F 的作用下沿斜面向下做匀速直线运动，撤去外力F 后，B 物块沿斜面向下做加速运动，加速度沿斜面向下，所以A 、B 组成的系统在水平方向上有向左的分加速度，根据系统牛顿第二定律可知，地面对A 的摩擦力水平向左，才能提供系统在水平方向上的分加速度。

(完整版)有理数及其运算知识点汇总

?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。越来越大

七年级秋季培优讲义整式专题

2018年七年级秋季培优讲义——整式专题（一）【知识解读】整式加减： 1. 代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式. 2. 代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值. 3. 整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式. （2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数. （3）单项式和多项式统称为整式. （4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项. （5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变. 本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具. 整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点： 1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项） 2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）. 3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）. 整式加减的一般步骤 1. 根据去括号法则去括号. 2. 合并同类项. 【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn . （2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc . 【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中1 2 x =-，y ＝2. （2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值. 【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值. 【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.

(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－ 22 7 ，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；

（2）按整数、分数分类，有理数 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数整数0 负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－ 22 7是分数，0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－ 1 2 ，－301，31.25，－ 1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－ 1 9 ， 2 15 ，－ 13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1， 1 2 ，－ 1 3 ， 1 4 ，－ 1 5 ， 1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－ 1 2007 . 【变式题组】 01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋ m 2 的相反数是－3，则m的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反

高三物理尖子生培优资料(1)

高三物理尖子生培优资料（1）（2017.8.23）命题：阮文超共点力的平衡摩擦角 ?：例1：如图所示，用绳通过定滑轮物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素1μ<，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（）【多选】 A.绳子的拉力将保持不变 B.绳子的拉力将不断增大 C.地面对物块的摩擦力不断减小 D.物块对地面的压力不断减小例2：如图所示，倾角45o的斜面上，放置一质量m 的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素3μ=，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（） A.0sin15mg ，与水平成15o斜向右 B.0sin30mg ，竖直向上 C.0sin 75mg ，沿斜面向上 D.0tan15mg ，水平向右例3：水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水平面夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（）【多选】 A. F 先减小后增大 B. F 一直增大 C. F 的功率减小 D. F 的功率不变练习 1.在固定的斜面上放一物体，并对它施加一竖直向下的压力，物体与斜面间的摩擦因数为μ。求斜面倾角θ的最大值，使得当θ≤θm 时，无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。 2.倾角为θ的三角形木块静止于水平地面上，其斜面上有一滑块正向下匀速直线运动，现对其分别施加如图所示的F 1 、F 2 、F 3三个力作用，滑块仍然下滑，则地面对三角形木块的支持力和摩擦力会怎么变化？

有理数及其运算复习教案

七年级（上）第二章复习有理数及其运算一、有理数的意义 1.有理数的分类知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 18 1 或 2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数 3. 相反数知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。 4. 绝对值知识点：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。二、有理数的运算 1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。加法交换律：a+b=b+a ；加法结合律：a+b+c=a+（b+c ）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。 2. 有理数的减法知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a －b=a+（-b ）。注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b 中的减号也可看成负号，看作a 与b 的相反数的和：a+（-b ）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个

(完整版)初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数当为0 当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

物理高一上册期末精选(培优篇)(Word版含解析)

物理高一上册期末精选（培优篇）（Word版含解析）一、第一章运动的描述易错题培优（难） 1．如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置一时间（x一t）图线，由图可知 A．在时刻t1，a车追上b车 B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反 C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加 D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大【答案】BC 【解析】【分析】【详解】由x—t图象可知，在0-t1时间内，b追a，t1时刻相遇，所以A错误；在时刻t2，b的斜率为负，则b的速度与x方向相反，所以B正确；b图象在最高点的斜率为零，所以速度为零，故b的速度先减小为零，再反向增大，所以C正确，D错误． 2．在下图所示的四个图象中，表示物体做匀速直线运动的图象是（） A．B． C．D．【答案】AD

【解析】【分析】 x -t 图像中，倾斜的直线表示匀速直线运动；v -t 图象中，匀速直线运动的图像是一条与x 轴平行的直线；倾斜的直线表示匀变速直线运动，斜率表示加速度．分别分析物体的运动情况，即可作出选择．【详解】 A. 此图表示物体的位移随时间均匀增加，物体处于匀速直线运动状态，故A 正确； B. 此图表示物体的位移不随时间变化，物体处于静止状态，故B 错误； C. 此图表示物体的速度均匀增加，说明物体做匀加速直线运动，故C 错误； D. 此图表示物体的速度不变，说明物体做匀速直线运动，故D 正确．故选AD 。 3．一个以初速度v 0沿直线运动的物体，t 秒末的速度为v t ，如图所示，则下列说法正确的是( ) A ．0～t 秒内的平均加速度0 t v v a t -= B ．t 秒之前，物体的瞬时加速度越来越小 C ．t ＝0时的瞬时加速度为零 D ．平均加速度和瞬时加速度的方向相同【答案】ABD 【解析】根据加速度的定义式可知0～t 秒内的平均加速度a= t v v t -，故A 正确；由图可知，物体做加速度减小的加速运动，故B 正确；t=0时斜率不为零，故瞬时加速度不为零，故C 错误；物体做加速度逐渐减小的变加速运动，故平均加速度和瞬时加速度的方向相同，故D 正确；故选ABD. 点睛：v-t 图象中图象的斜率表示物体的加速度，则根据斜率可求得加速度的变化；由图象的面积可得出物体通过的位移． 4．历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”（现称为“另类匀变速直线运动”）,“另类加速度”的定义式为0 s v v A s -= ,其中0v 和s v 分别表示某段位移s 内的初速度和末速度>0A 表示物体做加速运动,0A <表示体做减速运动,

(完整版)人教版七年级上册有理数的混合运算练习题40道(带答案)

有理数的混合运算专题训练 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1、12411 ()()()23523+-++-+- 2、4 (81)( 2.25)()169-÷-?-÷ 3、11(22)3(11)+--?- 4、31 (12)()15(1)45 +?--?- 5、2232[3()2]23-?-?-- 6、 33102(4)8-÷-- 7、)]21)21[(122--÷ 8、12 1 )]3()2[(2?-?- 9、)6(]3 2)5.0[(2 2 -?-- 10、23533||()14714-?-÷

11、—22—(—2)2—23+(—2)3 12、222311 6(1)(3)(1)(3)22 -?---÷-?- 13、199711(1)(10.5)()312----?÷- 14、33514 (1)(8)(3)[(2)5]217 ---?+-÷-+ 15、－10 + 8÷(－2 )2 －(－4 )×(－3 ) 16、－49 + 2×(－3 )2 + (－6 )÷(－9 1 ) 17、－14 + ( 1－0.5 )×31×[2×(－3)2] 18、(－2)2－2×[(－21)2－3×43 ]÷5 1． 19、)8()4()6(52-÷---? 20、0)13 2 ()43(2?+-+-

21、6)12()4365127(÷-?+- 22、22)4()5(25.0)4()85 (-?-?--?- 23、)23 2 32(21)21(2--?+- 24、[][] 332)2(3)5(6)7(4-÷--+÷-?- 25、6－（－12）÷2 )2(- 26、（-48）÷ 8 －（-5）÷2 )2 1(- 27、42×)4 3 ()32(-+-÷ 0.25 28、()23)9181(-÷ - 29、()()33323 2 ÷---?- 30、(－5)×6＋(－125) ÷(－5)3

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。（2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

第06讲解析几何综合3大考点-培优辅导冲刺高考讲义

第03讲导数压轴专项突破第一课时分类讨论的“界点”确定考点一根据二次项系数确定分类“界点” [典例]已知函数x x x g x x x f 2)(,1ln )(2 +=++=.(1)求函数)()()(x g x f x -=?的极值； (2)若m 为整数，对任意的0>m 都有0)()(≤-x mg x f 成立，求实数m 的最小值． [关键点拨] 导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论： (1)根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数； (2)由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点．考点二根据判别式确定分类“界点” [典例]已知函数1)1()(2-+=x e ax x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性． [关键点拨] 求导后，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，若导函数是二次函数或与二次函数有关，此时涉及二次方程问题，Δ与0的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论．考点三根据导函数零点的大小确定分类“界点” [典例]已知ax x x ax x x f 22 3ln )()(22+--=，求)(x f 的单调递减区间．[关键点拨] (1)根据导函数的“零点”划分定义域时，既要考虑导函数“零点”是否在定义域内，还要考虑多个“零点”的大小问题，如果多个“零点”的大小关系不确定，也需要分类讨论． (2)导函数“零点”可求，可根据“零点”之间及“零点”与区间端点之间的大小关系进行分类讨论．本题根据零点2 a ，e 之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性．考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点” [典例]已知函数R a ax x e x a x f x ∈+--=,ln )(.(1)当0

人教版高一上册物理运动和力的关系(培优篇)(Word版含解析)

一、第四章运动和力的关系易错题培优（难） 1．如图所示,水平面上 O 点的左侧光滑,O 点的右侧粗糙。有 8 个质量均为 m 的完全相同的小滑块(可视为质点),用轻质的细杆相连,相邻小滑块间的距离为 L ,滑块 1 恰好位于 O 点左侧,滑块 2、3……依次沿直线水平向左排开。现将水平恒力 F 作用于滑块 1上。经观察发现,在第 3 个小滑块完全进入粗糙地带后到第 4 个小滑块进入粗糙地带前这一过程中,小滑块做匀速直线运动,已知重力加速度为 g ,则下列判断中正确的是( )。 A ．粗糙地带与滑块间的动摩擦因数为 F mg B ．滑块匀速运动时,各段轻杆上的弹力大小相等 C ．第 2 个小滑块完全进入粗糙地带到第 3 个小滑块进入粗糙地带前这一过程中,8 个小滑块的加速度大小为 12F m D ．第 1 个小滑块完全进入粗糙地带到第 2 个小滑块进入粗糙地带前这一过程中,5 和 6两个小滑块之间的轻杆上的弹力大小为4 F 【答案】D 【解析】【详解】 A.将匀速运动的8个小滑块作为一个整体，有 30F mg μ-=，解得 3F mg μ= ，故A 项错误； B.当滑块匀速运动时，处在光滑地带上的滑块间的轻杆上的弹力都为零，处在粗糙地带上的滑块间的轻杆上的弹力不为零，且各不相同，故B 项错误； C.对8个滑块，有 28F mg ma μ-=，代入3F mg μ= ，解得 24F a m = ，故C 项错误； D.对8个滑块，有 8F mg ma μ'-=，解得

4 再以6、7、8三个小滑块作为整体，由牛顿第二定律有 34 F F ma ''== ，故D 项正确; 2．如图甲所示，在光滑的水平面上有质量为M 且足够长的长木板，木板上面叠放一个质量为m 的小物块。现对长木板施加水平向右的拉力F ＝3t （N ）时，两个物体运动的a -－t 图象如图乙所示，若取重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法中正确的是（） A ．图线Ⅰ是小物块运动的a －-t 图象 B ．小物块与长木板间的动摩擦因数为0.3 C ．长木板的质量M ＝1 kg D ．小物块的质量m ＝2 kg 【答案】B 【解析】【分析】【详解】 A ．根据乙图可知，在3s 以后，m 与M 开始发生相对运动，m 的加速度不变，其大小为23m/s ，所以Ⅰ是长木板的—a t 图象，故A 错误； B ．设小物块与长木板间的动摩擦因素为μ，根据牛顿第二定律可知 23m/s m a g μ== 解得 0.3μ= 故B 正确； CD ．当3s t >时，以M 为研究对象，根据牛顿第二定律可知 F mg Ma μ-= 即 kt mg Ma μ-= 解得 3mg a t M M μ= - 由此可得