第讲 行列式按行(列)展开及计算

行列式经典例题及计算方法

行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =

行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑

第2讲行列式按行(列)展开及计算

授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 （请打√） 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第二讲 行列式按行（列）展开及计算 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点： 重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行（列）展开 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零， 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= （按行（列）展开法则） 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D

解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2：244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ，（1）求41312111A A A A +--；（2）444342412A A A A +-+。 解：（1）041312111=+--A A A A （2）4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1，其中021≠n b b b 解：n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001＝n n b b b a a a 0 0100100112121---

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K

行列式习题答案

行列式习题答案

2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s

第三讲 行列式按行按列展开

单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准：日期：年月日任课教员：刘静 课程名称：线性代数 章节名称：第一章行列式 课题：第三讲行列式按行按列展开 目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备：多媒体设备 课前检查

教学内容课堂组织

教学内容： 本讲主要介绍： 1. 行列式的按行（列）展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路： 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 对于三阶行列式，容易验证： 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？ 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理； 4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。 教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。 教学步骤： 教学内容、方法、步骤

教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 引理； 3. 行列式的按行（列）展开法则； 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。

212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=-

行列式按行列展开定理

行列式按行列展开定理 一、 余子式的定义： 在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M 二、 代数余子式： 在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1) i j +-，称作ij a 的代数 余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=- 三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： i j i j D a A =? 四、 行列式按行（列）展开法则： 定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和： 1122i i i i in in D a A a A a A =?+?+???+? 1122j j j j nj nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠） 推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0： 1122i j i j in jn D a A a A a A =?+?+???+? 1122i j i j ni nj D a A a A a A =?+?+???+? （i j ≠）

五、 克拉默法则： 如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++???+= 21122222n n a x a x a x b ++???+= 31132233n n a x a x a x b ++???+= ………………………………… ………………………………… ………………………………… 1122n n nn n n a x a x a x b ++???+= 其系数行列式不等于0，即：1111...... ......0...n n nn a a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解： 11D x D =,22D x D =,…n N D x D = 1111,1122,1 1,1............ ....... ...j n j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++= ① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。 ② 定理4'：如果含n 个未知数的n 个线性方程组无解或

行列式典型例题

第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +

行列式-矩阵练习题

行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)k B. 秩(A)≥k C. 秩(A)=k D. 秩(A)≤k 6. 设A 、B 为同阶方阵，则下面各项正确的是( A ). A. 若|AB|=0， 则|A|=0或|B|=0 B. 若AB=0, 则A=0或B=0 C. A 2-B 2=(A-B)(A+B) D. 若A 、B 均可逆，则(AB)-1=A -1B -1 7. 当k 满足( A )时，?????=+=++=++0 z 2y -kx 0z ky 2x 0z ky kx 只有零解. A. k=2或k=-2 B. k ≠2 C. k ≠－2 D. k ≠2且k ≠－2 8. 设A 为n 阶可逆阵，则下列( B )恒成立. A.(2A)-1=2A -1 B. (2A -1)T =(2A T )-1 C. ［(A -1)-1］T =［(A T )-1］-1 D. ［(A T )T ］-1=［(A -1)-1］T 二、填空题

行列式典型例题

第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：

线性代数行列式经典编辑例题

线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1 ,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，22 1 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =， 1,1, n a n =-，故 0111 02 12 n n n D n n --= --1,1,,2 i i r r i n n --=-= 0111111 1 1 n ----

1,,1 j n c c j n +=-= 1 2 110 2 1 ( 1) 2 (1) 20 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．

方法2 01110 21 2 n n n D n n --= --11,2,,1 11111 1 12 i i r r i n n n +-=----= -- 12,, 1 00 1 2 0123 1 j c c j n n n n +=---= ---= 1 2 (1) 2 (1) n n n ----

例2.设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 10 010 n n n x x a a a x a -- - - + 解：方法1 递推法按第1列展开，有

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.

阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i

行列式练习题答案

一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.

一、填空题 1．若D=._____324324324,1333231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 1 4 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =

三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ a3 b3 C3 ［说明］

(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 G C 2 C 3 等等. 二、学习新课 1 .知识解析 阶行列式运算的式子，主要有: 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将三阶行列式 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 b i a 2 C 2 a 3 C 3 C i a 2 b 2 a 3 b 3 在刚才的实验中，将三阶行列式 a i b i C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 表示成了含有二个二 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b 2 C 2 b i a 2 C 2 a 2 b 2 a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b 2 C 2 bi C i b i C i a i b 3 C 3 a 2 a 3 C 3 a 3 b 2 C 2 a 2 C 2 b 2 a i C i b 3 a i C i a 3 C a 3 C 3 a 2 C 2 等等. 事实上，以 ai bi a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 bi a 2 C a 3 C 3 C i a 2 a 3 b 2 b 3 为例，先将展 开式 a i bi C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 a a b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为: C i C 2 C b i

行列式按行(列)展开

第四节 行列式按行(列)展开 分布图示 ★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4 内容要点 一、行列式按一行(列)展开 定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记 ij j i ij M A +-=)1( 称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D = 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 ),,,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++= 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ 或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:

? ??≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ 或 ? ??≠===∑=. , 0,,1 j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ 其中，?? ?≠==j i j i ij , 0, 1δ 二、行列式的计算 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式. 例题选讲 例1 设有5阶行列式: 1 5131 31200011231 45201 3101-----=D . (1),111=a 其余子式,1 513 312 001121452 11----= M 其代数余子式 .)1()1(11112111111M M M A =-=-=+ (2),134=a 其余子式1 13 13 2 001520110 134---= M , 其代数余子式 .)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+ 例2求下列行列式的值: （1）214 121 312 -- （2）1 20250723 解 (1) 2 13 142131)1(211222 1 4 121 312 -?+-?--?=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=

行列式典型例题

行列式典型例题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第二讲 行列式综合训练 第一部分 例 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11 ()n a a a --=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1)0n n a a +-- 而 1 1 001 ( 1)0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ， 可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112 122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶213111 n r r r r r r +---= 1212110 01001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 1210000000 n n a a a a a b b b b b +++=1 121 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例 计算n 阶行列式：

行列式练习题与答案

第1章 行列式 (作业1) 一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少说明理由.

第1章 行列式 (作业2) 一、填空题 1．若D=._____324324324,1333231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 1 4 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

行列式按行列展开

§6 行列式按行（列）展开 一、余子式与代数余子式 定义1.6 在行列式 111111 j n i ij in n nj nn a a a a a a a a a 中划去元素a ij 所在的第i 行与第j 列，剩下的(n -1)2 个元素按原来的顺序构成的n -1级行列式 111,11,111,11,1 1,1 1,1,11,11,11,1 ,1,1 j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+ 称为元素ij a 的余子式，记为ij M .记 (1)i j ij ij A M +=-， 称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 由定义可知，ij A 与行列式中第i 行、第j 列的元素无关. 例如，在4阶行列式中 ,23a 的代数余子式为 .)(44 42 41 343231 141211 2332231a a a a a a a a a M A -=-=+ 二、行列式的依行依列展开定理 引理 对于n 阶行列式D ，如果第i 行元素除ij a 外全部为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij D a A =. 证 先证1,1i j ==的情形.即

11 21222321 2 3 000n n n n nn a a a a a D a a a a = 232323()1123(1)n n n j j j j j nj j j j a a a a τ= -∑ 232323()11 23(1)n n n j j j j j nj j j j a a a a τ=-∑ 21 2223233311 2 3n n n n nn a a a a a a a a a a = 11111111111111(1)a M a M a A +==-=. 对一般情形，只要适当交换D 的行与列的位置，即可得到结论. 定理1.3（依行依列展开定理） 行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 1122i i i i in in D a A a A a A =+++ （i =１，２，…，n ） 或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ （j =１，２，…，n ）. 证 11121121 200 000 00n i i in n n nn a a a D a a a a a a = ++++++++++ 1112111121111211 21 2 1 2 1 2 00000 0n n n i i in n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =+++ . 行列式的依行依列展开定理的意义：可把高阶行列式化为较低阶行列式来计算. 例1.11 计算行列式