(完整版)三角恒等变换-知识点+例题+练习(2),推荐文档

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2

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)： cos(α

－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C (α＋β)： cos(α＋β)＝

cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)： sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)： sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

tan α＋tan β

(5) T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan

β； tan α－tan β

(6) T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2) C 2α：cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α；

2tan α

(3) T 2α：tan 2α＝1－tan2α. 3．有关公式的逆用、变形等

(1) tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；

1＋cos 2α 1－cos 2α (2) cos 2

α＝ 2 ，sin 2α＝ 2 ；

(3) 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

，

π

(α

±

)

sin α±cos α＝ sin 4 .

4．函数 f (α)＝a cos

α＋b sin

α(a ，b 为常数)，可以化为 f (α)

＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)或 f (α)＝ a 2＋b 2cos(α－φ)，其中 φ 可由 a ，b 的值唯一确定．

两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝

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α＋β α－β α－β (

α＋

β

) (

α

＋β)

2 － 2

； 2 ＝

2 － 2 .

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

双基自测

1

1．(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为4的是(

)．

π A ．2cos 2

12－1

B ．1－2sin 275°

2tan 22.5°

C.1－tan222.5° D ．sin 15°cos 15°

sin 2α

2．(2011·福建)若 tan α＝3，则 cos2α 的值等于( )．

2

3．已知 sin α＝3，则 cos(π－2α)等于(

)．

π 1

4．(2011·辽宁)设 sin ( 4

＋

θ)

＝3，则 sin 2θ＝(

)．

5．tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20° tan 40°＝

.

考向一 三角函数式的化简

1

2cos4x －2cos2x ＋

π π

2 【例 1】?化简2tan ( 4 －x )sin2( 4 ＋x )

.

[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．

β 1 α 2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

sin α＋cos α－1

sin α－cos α＋1

【训练 1】 化简：

sin 2α

.

考向二 三角函数式的求值

π

【例 2】?已知 0＜β＜ 2 ＜α＜π，且

(α－ ) (

－β

)

cos

2 ＝－9，sin 2 ＝3，求 cos(α＋β)的值．

【训练 2】 已知 α，β

∈

( )

三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：

(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关

系．

π

4 1

(0，

2 )

，sin α＝5，tan(α－β)＝－3，求 cos

β 的值．

考向三 三角函数的求角问题

1 13 π

【例 3】?已知 cos α＝7，cos(α－β)＝14，且 0＜β＜α＜ 2 ，求 β.

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；

0， π

若角的范围是 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；

π π (－ 2 ，

2 )

若角的范围为 ，选正弦较好． π π

(

－ ，

)

【训练3】 已知 α，β∈ 2 2 ，且tan

α，tan β 是方程

x 2＋3 3x ＋4＝0 的两个根，求 α＋β 的值．

π考向四三角函数的综合应用

【例 4】?(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x.

( 3)

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝

A sin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

【训练 4】已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x. (1)

求f(x)的最小正周期；

[

6 ] 2

(2)求f(x)在区间

ππ

－，

上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略

面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换

更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．

一、给值求值

一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求

角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．

(x＋π)tan x

【示例】?(2011·江苏)已知tan 4 ＝2，则tan 2x的值为．

二、给值求角

“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

1 1 【示例】?(2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

( 互相垂直，其中 θ∈ 2 )

▲三角恒等变换与向量的综合问题

两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容， 常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．

【示例】? (2011·温州一模)已知向量 a ＝(sin θ，－2)与 b ＝(1，cos θ)

π 0，

.

(1) 求 sin θ 和 cos θ 的值；

π

(2) 若 5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0＜φ＜ 2 ，求 cos φ 的值．

【课后训练】

A 组 专项基础训练 (时间：35 分钟，满分：57 分)

一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)

2

2

π ( )

3 3tan 12°－3

1

1. (2012·江西)若 tan θ＋tan θ＝4，则 sin 2θ 等于

( )

1

A.5

1

B.4 1

C.3 1

D.2

2. (2012·大纲全国)已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α＝ 3 ，则 cos 2α 等于(

)

5

5 5 5 A ．－ 3

B ．－ 9

C. 9

D. 3

5

10

3. ， 则 α＋β 等于

C. 4 和 4

(

0， )

D ．－ 4 和－

4

1

4． (2011·福建)若 α∈

(

)

A. 2

2 ，且 sin 2α＋cos 2α＝4，则 tan α 的值等于

B. 3

C.

D.

二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)

5． cos 2

75°＋cos 2

15°＋cos 75°cos 15°的值等于

．

6.

4cos212°－2sin 12°＝

.

3 3 0，

π

7．sin α＝5，cos β＝5，其中 α，β∈ 2 ，则 α＋β＝

.

三、解答题(共 22 分)

1＋sin α 1－sin α 8． (10 分)已知集合．

1－sin α－ 1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的 α 的取值

3 3

已知 α，β 都是锐角，若 sin (

)

α＝ 5 ， s in β＝ 10 π 3π

A.

4 π 3π

B. 4

π

3π

3

π α

α

( ，π

) 6

9． (12 分)已知 α∈ 2

，且 sin 2 ＋cos 2 ＝ 2

. (1) 求 cos α 的值； (π

)

(2)若 s in(α－β)＝－5，β∈

4 1 (－3

)

2

，π ，求 cos β 的值． 4 3＋3 ＝－ 2 ×5＋2× 5 ＝－ 10 .

B 组 专项能力提升 (时间：25 分钟，满分：43 分)

一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)

3

( ) 5

[

π，

π

]

1． (2012·山东)若 θ∈ 4 ( )

3

A.5 2 ，sin 2θ＝

4

B.5 3 8 ，则 sin θ 等于

C. 4

D.4

2 (β－

π)

1

(

α＋π)

2. 已知 tan(α＋β)＝5，tan (

)

4 ＝4，那么 tan 4 等 于

13

13 A.18 3 B.22 1 C.22

π

π

D.6

3. 当－ 2 ≤x ≤ 2 时，函数 f (x )＝sin x ＋ A. 最大值是 1，最小值是－1

1

B. 最大值是 1，最小值是－2

C. 最大值是 2，最小值是－2

D. 最大值是 2，最小值是－1

3cos x 的

( )

二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)

(

π

－α)

4. 已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos 4 ，则 sin 2α＝

. cos 2α

π

12

(0，π) sin (π＋α)

5. 已知 cos ( 4 －α

)＝13，α∈

4 ，则 4 ＝

.

0，

π 2sin2x ＋1 6. 设 x ∈ 2 ，则函数 y ＝ sin 2x 的最小值为 ．

三、解答题

7． (13 分)(2012·广东)已知函数 f (x )＝2cos

为 10π.

(ωx ＋

π

) 6 (其中 ω>0，x ∈R )的最小正周期

(1) 求 ω 的值；

π 5

6

[0， ] (5α＋ π) (5β－ π) (2)

设 α，β∈

2 ，f

3 ＝－5，f

6

3 7 7

16

＝17，求 cos(α＋β)的值．

“”

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!