九年级二次函数题型总结(改编)
专题：二次函数
一、二次函数的定义
1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x(x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2
－2(x ＋1)
2
D ．
2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2
＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 3.若
是二次函数，则m ＝ ．
4.若函数y ＝3x 2
的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ . 5.已知二次函数y ＝―4x 2
－2mx+m 2
与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―
2，则m 的值是 ．
二、二次函数的图象与性质
1.对于抛物线y ＝ax 2
，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大
B ．a 越小，抛物线开口越大
C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大
D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 2.下列说法中错误的是( )
A ．在函数y ＝－x 2
中，当x ＝0时，y 有最大值0 B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．抛物线y ＝2x 2
，y ＝－x 2
，2
2
1x y -
=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口最大. D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2
的顶点都是坐标原点
3.二次函数 y=2（x －3）2
+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）
4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2
+1，则抛物线的顶点坐标是 ( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D ．(1，2) 5.已知二次函数y ＝x 2
－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1)
6.抛物线y=x 2
+2x-1的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小． 7.抛物线
的顶点坐标为)0,3
2(，则b= ,c= .
8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 ；函数y ＝-x 2
+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则a = .
二次函数的对称性 二次函数
：
（1）此函数的对称轴为直线a
b x 2-
=； （2）若函数与x 轴相交于点
，则对称轴可表示为2
2
1x x x +=
； （3）若函数与x 轴相交于点
（特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为22
1x x x +=
.
10.抛物线的一部分图象如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分
与x 轴交点坐标是 .
11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为，
则点A 的坐标是 .
12.抛物线
与x 轴交于
两点，
则线段AB 的长 . 13.已知二次函数，若点
在此函数的图象上，
且
，则
的大小关系是 .
14.已知二次函数的对称轴是直线
，若点),1(1y A -,),2(2y B -, ),1(3y C 在此函数
的图象上，则的大小关系是
15.已知二次函数
中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表：
点
在函数的图象上，则当
，时，与
的大小关系正确的是（ ）
三、二次函数的平移、旋转与对称 1.把抛物线
向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）
2.抛物线
经过平移得到抛物线
，平移的方法是
A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 3.在平面直角坐标系中，如果
的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个
单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 . 4.将抛物线
的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式
为 . 5.将抛物线
的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为
，则b= ,c= .
6.已知抛物线
，
（1）关于y 轴对称的抛物线关系式是 ; （2）关于x 轴对称的抛物线关系式是 ; （3）关于原点对称的抛物线关系式是 . （4）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 .
四、确定二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式.
1.顶点为（—1，—3），与y轴交点为（0，—5）.
2.与x轴交于A（—1,0）、B（1,0），并经过点M(0,1).
3.图像经过点A(0，1)、B(1，2)、C(2，1).
4.顶点坐标为（1,3）且在x轴上截得的线段长为4.
5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1.
6.已知抛物线如图所示，求它对应的表达式.
五、二次函数的应用 知识铺垫：最值问题 （一）开口向上
1.当对称轴a b
x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值； 2.当对称轴a
b
x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得
最小值. （二）开口向下
1.当对称轴a b
x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值； 2.当对称轴a
b
x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最
大值. 1.当时，求函数的最大值和最小值．
2.当时，求函数的最大值和最小值．
3.当时，求函数的最大值和最小值．
六、二次函数与一元二次方程
二次函数的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程的根的关系：
1.当?>0时,抛物线与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程的两个不相等的实数根；
2.当?=0时,抛物线与x轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程的两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点；
3.当?<0时，抛物线与x轴没有交点，这时方程没有实数根.
4.当?>0时，图象与x轴有两个交点，两点距离.
当a>0时，当或时，；当时，.
当a<0时，当或时，；当时，.
5.当?=0时，图象与x轴只有一个交点.
当a>0时，x为任何实数时，函数值；当a<0时，x为任何实数时，函数值；
6.当?<0时，图象与x轴没有交点.
当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；
当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
1.抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 .
2.抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b= .
3.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴（）
A.没有交点
B.只有一个交点
C.只有两个交点
D.至少有一个交点
4.二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 .
5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴、
C．当＝4时，＞0 D．方程的正根在3与4之间
6.抛物线
的部分图象如图所示，若y>0，则x 的
取值范围是（ ）
A ．-4 B ． -3 C ．x<-4或x>1 D ．x<-3或x>1 七、二次函数中 的意义 二次函数y=ax 2 +bx+c 系数符号的确定： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式a b x 2- =判断符号，左同右异． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；过 原点，c=0． （4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2 -4ac ＞0；1个交 点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2 -4ac ＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号；当x= -1时，可确定a-b+c 的符号； 当x=2时，可确定4a+2b+c 的符号，当x=-2时，可确定4a-2b+c 的符号． （6）由对称轴公式与x=1和x= -1比较，可确定2a+b ，2a-b 的符号． 1.已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ） A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 2.二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a ＜0；②c ＞0；③b 2 ﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图，二次函数y=x 2 +（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是（ ） A. m ＞2 B. m ＜3 C. m ＞3 D. 2＜m ＜3 4.如图为二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象，在下列说法中正确的说法有 . ①ac ＜0； ②方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大. 5.二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.有以下结论： (1)abc>0; (2)4ac ; (3)2a+b=0; (4)a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图所示，二次函数 的图象经过点，且与 轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论中正确的有（） ① ；②；③；④． A．1个B．2个C．3个D．4个 7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ ，1）， 下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0； ③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ A B C D 10. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab ＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0； ④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3． 其中，正确的说法有（） A.①②⑤ B.①②④ C.①③⑤ D.②④⑤ 几何问题 1.用长为80 m的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD， 已知房屋外墙长50 m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2. （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当AB,BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 几何问题： 1.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？ 最大值是多少？ （3）若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变， 那么矩形的最大面积是多少？ 2.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m. （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5 km/h的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35 km 时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达 到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全 通过此桥？ 最大利润问题 1.某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？ 2.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?最大利润是多少？ 3.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出. （1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 八、二次函数与几何图形 （一）二次函数与三角形 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行 这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。 1.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于两点，与y轴负半轴交于点C，若 抛物线顶点D的横坐标是1，A、B两点间的距离是4，且△ABC的面积是6. （1）求A和B两点的坐标；（2）求此二次函数的表达式； （3）求四边形ACDB的面积. 2.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5）. （1）求抛物线解析式； （2）求抛物线与x 轴的交点A 、B 坐标，与y 轴交点C 坐标； （3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD. 类型二：三角形三边均不与坐标轴平行，作三角形的铅垂高（歪歪三角形拦腰截） 1.关于的知识点：如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部 线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.可得出一种计算三角形面积的新方法：， 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2.①铅垂高：横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，表示为； ②水平宽：两个点的横坐标差的绝对值，表示为 . 1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时， 求△CAB 的铅垂高CD 及； （3）是否存在一点P ，使CAB PAB S S ??= 8 9 ，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由. 2. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋 转120°，得到线段OB. （1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. 3.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 4.如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． （1）求二次函数的解析式； （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 二次函数 一、二次函数概念： １.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数. 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1． 二次函数基本形式:2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3． ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 ４. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下 : 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2． 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 一、二次函数的定义 1. 下列函数中属于一次函数的是（），属于反比例函数的是（），属于二次函数的是（） A. y = x（x + 1） B . xy = 1 C . y = 2x2—2（x + 1）2 D. y 3x21 2. 当m _________ 时，函数y= （m—2）x2+4x—5（m是常数）是二次函数. 2 3. 若y （m23m）x m 2m 1是二次函数，贝U m= ____________________ . 4. 若函数y = 3x2的图象与直线y=kx + 3的交点为（2，b），则k= ____ ，b= _— 5. 已知二次函数y二一4x2—2mx+m与反比例函数y 亜上的图象在第二象限内的 x 一个交点的横坐标是一2，则m的值是____ . 二、二次函数的图象与性质 2配方2 y ax bx c y a（x h） k 公式 开口向上： 在对称轴左侧，y随x增大而减小; 在 对称轴右侧，y随x增大而增大. 开口 向下： 在对称轴左侧，y随x增大而增大; 在对称轴右侧，y随x增大而减小.（或将x代入求y）1. 对于抛物线y= ax2，下列说法中正确的是（） A . a越大，抛物线开口越大 B. a越小，抛物线开口越大 C . | a |越大，抛物线开口越大 D.| a |越小，抛物线开口越大 2. 下列说法中错误的是（） A. 在函数y = —x中，当x= 0时，y有最大值0 B. 在函数y = 2x2中，当x > 0时，y随x的增大而增大 C. 抛物线y = 2x2，y = —x2，y ￡x2中，抛物线y = 2x2的开口最小，抛物线y= —x的开口最大 D. 不论a是正数还是负数，抛物线y = ax2的顶点都是坐标原点 3. 二次函数y=2 （x —3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（） A .开口向下，对称轴x= —3,顶点坐标为（3,5） B .开口向上，对称轴x= 3,顶点坐标为（3，5） C .开口向上，对称轴x= —3,顶点坐标为（一3,5） D .开口向下，对称轴x= —3,顶点坐标为（一3, —5） 4. 已知抛物线的解析式为y=（x —2）2+1,则抛物线的顶点坐标是（） A . （—2, 1） B . （2 , 1） C . （2 , —1） D . （1 , 2） 5. 已知二次函数y = x2—4x + 5的顶点坐标为（） A . （—2,—1） B . （2,1） C . （2 , —1） D . （—2,1） 6. 抛物线y=x2+2x-1的对称轴是_____ ，当x _____ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. 7. 抛物线y 3x2 bx c的顶点坐标为Q ,0），则b= ,c= ______ 3 开口方向a 顶点（ b 2a 2 4ac b 4a 对称轴：x b 2a 最值：当x 开口方向a 顶点（h,k） 对称轴：x h 最值：当x h时, 最大（小）值y k 最大（小）值y 4ac b2 4a 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a x 人教版九年级数学二次函数 1.抛物线3 )2 (2+ - =x y的对称轴是（） A. 直线3 - = x B. 直线3 = x C. 直线2 - = x D. 直线2 = x 2.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如右图，则点) , ( a c b M在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知二次函数c bx ax y+ + =2，且0 < a，0 > + -c b a，则一定有（） A. 0 4 2> -ac b B. 0 4 2= -ac b C. 0 4 2< -ac b D. ac b4 2-≤0 4.把抛物线c bx x y+ + =2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 5 3 2+ - =x x y，则有（） A. 3 = b，7 = c B. 9 - = b，15 - = c C. 3 = b，3 = c D. 9 - = b，21 = c 5.已知反比例函数 x k y=的图象如右图所示，则二次函数2 2 2k x kx y+ - =的图象大致为（） 6.下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y+ + + =) ( 2与一次函数c ax y+ =的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（） D 7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜 一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 二次函数知识点 12. 二次函数的性质 函 数二次函数y ax bx c =++ 2 a、b、c为常数，a≠0 y a x h k =-+ ()2（a、h、k为常 数，a≠0） a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向 下无限延伸 (1)抛物线开口向 上，并向上无限 延伸 (1)抛物线开口向 下，并向下无限 延伸 性 (2)对称轴是x＝- b a2， 顶点是 （- - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ - b a2， 顶点是 （ - - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） 质 (3)当x b a <- 2时，y随x 的增大而减小；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而增大(3)当 x b a <- 2时，y随x 的增大而增大；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而减小 (3)当x h <时，y 随x的增大而减 小；当x＞h时， y随x的增大而增 大。 (3)当x＜h时，y 随x的增大而增 大；当x＞h时， y随x的增大而 减小 (4)抛物线有最低点，当 x b a =- 2时，y有最小 值，y ac b a 最小值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最高点，当 x b a =- 2时，y有最大 值， y ac b a 最大值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最低 点，当x＝h时， y有最小值 y k 最小值 = (4)抛物线有最高 点，当x＝h时， y有最大值 y k 最大值 = 二次函数练习 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() 二次函数知识点总结和题型总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。 这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 2. 二次函数 2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题： 例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式 y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a ） 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 二次函数典型例题——找规律 1、如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； …… 如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m =_________． 2、二次函数223 y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点1232015,,,,A A A A ???在y 轴的正半轴上，点1232015,,,,B B B B ???在二次函数223 y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1C 1，△A 1B 2C 2，△A 2B 3C 3，…△A 2014B 2015C 2015都为正三角形，则△011A B A 的边长= , △201420152015A B A 的边长= . 1,2015 3、如图，点A 1、A 2、A 3、……、A n 在抛物线2y x =图象上，点B 1、B 2、B 3、……、B n 在y 轴上，若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、……、△A n B n －1B n 都为等腰直角三角形（点B 0是坐 标原点），则△A 2014B 2013B 2014的腰长= ． （石景山区）已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负 整数. （1）求m 的值； （2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的 表达式； （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转?180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线 12 1+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围． （石景山区）解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根， ∴0≠m 且0≥?， ……………………1分 则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数， ∴1=m . ………………………………2分 （2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2 )(，……3分 ∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ， 同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分 ∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶 点为（322-n n ，）， ………………6分 当n x 2=时，1122 1+=+?= n n y ， 由题意，132+>-n n ，二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
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