导数与定积分知识汇总

高考数学----导数、定积分知识清单

一 、导数的概念

●（一）导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量

△y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y

△x 叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即

△y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。如果当0→?x 时，△y △x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0

即f ‘（x 0）=0

lim

→?x x y

??=0lim

→?x x x f x x f ?-?+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y

??不存在极限，就说函数

在点x 0处不可导，或说无导数。（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

② 求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00；

③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x y

x ??→?0lim

。

●（二）导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的

斜率 x

x f x x f x f k x ?-?+==→?)

()(lim

)(000

0'

切。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））

处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。

例题：1、已知曲线m x y +=

3

3

1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 （ ） .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13

3

-

2、若曲线

的一条切线与直线垂直，则的方程为 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

●（三）几种常见函数的导数:

①0;C '= ②1

)(-='n n nx x ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦x x 1)(ln ='; ⑧a

x x a ln 1)(log ?='.

●（四）两个函数的和、差、积、商的求导法则

1.函数和（或差）的求导法则

设)()(x g x f 、是可导的，则)()()]()(['

'

'

x g x f x g x f ±=±.

即两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数的导数的和（或差），该法则也可以推广

到任意有限个函数，

即)()()()()()()(('

'2'1321x f x f x f x f x f x f x f n n ±±±=±±±±ΛΛΛΛ‘）：

2.函数积的求导法则

设()x g x f 、)(是可导的，则'

'

'

)()()()()]()([x g x f x g x f x g x f -=，即两个函数的积的导

数等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数. 特例：若C 为常数,则)()(0)()())((x f C x f C x f C x f C x f C '?='?+='?+?'='?. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以这个函数的导数：)())((x f C x f C '?='? 3.函数商的求导法则

设)()(x g x f 、是可导的，且0)(≠x g ，则2

''')]

([)

()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=. （简记为2

v u

v v u v u '-'='

??

? ?? （0≠v ） ） 即两个函数的商的导数等于等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方

二、导数的应用

●（一）确定函数的单调性（求单调区间）

1. 在某个区间),(b a 内，如果0)('

>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果

0)('

2. 如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

注：① f （x ）＞0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在)

,(+∞-∞上并不是都有f （x ）＞0，有一个点例外即x=0时f （x ）=0，同样f （x ）＜0是f （x ）

递减的充分非必要条件.

② 一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处导数为零．．．．．．．．．，在其余各点导数值均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

例题：求443)(2

3

--=x x x f 的单调区间

●（二）极点与极值：

1. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

2. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有)

(x f ＜

)

(0x f ，则

)

(0x f 是函数

)

(x f

的极大值，极小值同理） ★ 求函数)(x f 极值的步骤:

①求导数)(x f ' ②求方程0)(/

=x f 的根 ③列表 ④下结论。

3. 当函数

)

(x f 在点x 0处连续时，

① 如果在x 0附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ② 如果在x 0附近的左侧

)

('x f ＜0，右侧

)

('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧的导数异号，而不是)

('x f =0

---------（1）.

亦即 0x 是极值点0)(0='?x f 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点

----（2）

当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注 （1）若点x0是可导函数f(x)的极值点，则

)(0='x f ，但反过来不一定成立。

例如：函数y = x 3 在x =0处的导数为0，但是函数在R 上单调递增，则x =0

不是函数的极值点 （2）例如：

||)(x x f y ==，在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点.

例题：1、函数2)12()(2

3

+-+=x a ax x f ，若1-=x 是)(x f y =的一个极值点，则a 值为

A ．2 B.-2 C.

7

2

D.4 2、设函数f(x)= 3

2

23(1)1, 1.x a x a --+≥其中 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。

解：由已知得[]'

()6(1)f x x x a =--，令'()0f x =，解得 120,1x x a ==-。 （Ⅰ）当1a =时，'2

()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；

当1a >时，()'()61f x x x a =--????

，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：

从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上 单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；

当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值3

1(1)a --。

●（三）最值：

最值定理：一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f （x ）在[a ，b]上必有最大值与最小值。 求函数f （x ）在闭区间[a ，b]上的最值的步骤： ① 求函数f （x ）在(a ，b)内的极值；

② 求函数f （x ）在区间端点的值?(a)、?(b)；

③ 将函数f （x ）的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

三、定积分的知识梳理

●（一）定积分

1. 概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

∑

=n

i 1

f (ξi)△x （其中△x 为小区间长度。在等分情况下，△x =

b-a n

），把n →∞即△x →0时， 和式的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：?

b

a

dx

x f )(，即

?

b

a

dx

x f )(＝

lim ∞

→n ∑

=n

i 1

f (ξi)△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函 数，x 叫做积分变量，f(x) dx 叫做被积式。

2. 基本的定积分公式：

（1）

11|(1)1

b

n n b

a

a x dx x n n +=

≠-+? （2）

|b b a a cdx cx =?（C 为常数） （3）sin cos |b b

a a xdx x =-?

（4）cos sin |b b a

a xdx x =?

（5）1ln |b

b a

a dx x x

=?

（6）|b x x b

a a e dx e =? （7）|(01)ln x

b x b a a a a dx a a a =>≠?且 练习（1）12

0x dx ? （2）?--12x dx （3）4

2

xdx -?

解：（1）3

130313331

031

2

=-

=??????=?x dx x （2）[]2ln 2ln 1ln ln 11

21

2-=-==?

----x dx x （3）40404

2220

22011()281022xdx x dx xdx x x ---=-+=-+=+=???

3. 定积分的性质 （1）()()b

b a

a

kf x dx k f x dx =?

?； （2）1212[()()]()()b b b

a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±???

（3）

()()()()c b b

a

c a f x dx f x dx f x dx a c b +=<

??。

●（二）定积分的应用

要点一：求平面图形的面积

1. 由直线)(,b a b x a x <==，x 轴及曲线)(x f y =所围成的曲边梯形的面积dx x f s b

a

?

=

)(.

① 若在[b a ,]上，0)(≥x f ，如下左图，则dx x f S b

a

?

=

)(；

此时，定积分的几何意义：直线)(,b a b x a x <==，x 轴及曲线)(x f y =所围成的曲 边梯形的面积。（如下左图）

② 若在[b a ,]

上，0)(≤x f ，如上中间图，则?

-

=b

a

dx x f S )(;

此时，定积分的几何意义：直线)(,b a b x a x <==，x 轴及曲线)(x f y =所围成的曲 边梯形的面积的相反数。（如上中间图）

③ 如上右图，由曲线)()(),(),(2121x f x f x f y x f y ≥==，及直线x=a ，x=b （a ＜b ）， 围成图形的面积公式为：.

2. 由直线)(,b a b x a x <==及曲线))()()((),(x g x f x g y x f y ≥==围成的平面图形的面积： ??

-=

b

a

a

dx x g dx x f S )()(b

（同1条中的③）

3. 任意平面图形的面积

由任意曲线围成的平面图形总可以分割成若干个曲边梯形，应用定积分解决了求曲边梯形 的面积问题，在理论上就解决了求任意平面图形的面积问题.

★4.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤

（1）画出图形.

（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限.

（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置（积分变量为x ） 或左、右位置（积分变量为y ）. （4）写出平面图形面积的定积分表达式.

（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.

⊙ 例1：计算由曲线x y 22=和直线4-=x y 所围成的图形的面积.

（Ⅰ） 解法一

画图如下左图，解得交点坐标为（2，-2），（8,4） ??=--+--=

4

2

2

18))4(2())2(2(

dx x x dx x x S

（II ） 解法二

画图如上右图，解得交点坐标为（2，-2），（8,4） （ 以y 为积分变量） ?

-=-

+=

4

2

2

18)2

14(dy y y S ⊙ 例2：计算由曲线

32,2

+==x y x y 围成的图形的面积. 解：画图，求得交点（-1，1）及（3,9） 3

32

)32(3

1

2=

-+=

?

-dx x x S ⊙ 例3.计算由曲线

)2(2),1(422--=--=x y x y 围成的图形的面积.

解法一：3

8

)4424(22

1

=

---=?

?

dx x dx x S （积分变量为x ）

解法二: ?

=---

=2

223

8

)]411(212[2dy y y S （积分变量为y ）

要点二：定积分在物理中的应用

1. 物体做变速直线运动的位移：做变速直线运动的物体所经过的位移s ，等于其速度 )0)()((≥=t v t v v 在时间区间[b a ,]上的定积分，即?=

b

a

dt t v s )(.

2. 变力做功：一物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同的方向从 a x =移动到b x =，可以得到变力)(x F 做的功?=

b

a

dx x F W )(.

⊙ 例4：一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，求汽车在这1min 内行驶的路程

解：???

=+-++=

60

40

4010

10

)(1350)905.1(303m dt t tdt tdt s

⊙ 例5：如右图，阴影部分面积为（ B ）

A ．[()()]b

a

f x

g x -?d x

B ．[()()][()()]c b

a

c

g x f x dx f x g x -+-??d x

C ．[()()][()()]b

b a

c

f x

g x dx g x f x -+-??d x

D ．[()()]b

a

g x f x +?d x

⊙ 例6：求函数

dx

a ax x a f )46()(1

022?++=的最小值

解：∵

1

02231

022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++?2

2

3

2

2

12

(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++?

∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．

练习题

1. 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为

A ．1 B. 2 C.2

2

D. 3

解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则 k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－1

2

(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 2. 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 解析：y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)， 3、曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )

A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2

D.e 2

2

解析：∵点(2，e 2)在曲线上， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，

∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0. 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，

∴S △＝12×1×e 2

＝e 2

2

. 答案 D

4、?--3

1

2)4(dx x x ；

5.3

2

|312|x

dx -?

=

6. 计算抛物线2y x =与直线230x y --=所围成平面图形的面积。

323