湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式

§４．３．２ 空间两点间的距离公式

一、教材分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.

二、教学目标

１．知识与技能

使学生掌握空间两点间的距离公式

２．过程与方法

３．情态与价值观

通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程

三、教学重点与难点

教学重点：空间两点间的距离公式.

教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

四、课时安排

１课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式

五、教学设计

（一）导入新课

思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容.

思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.

４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？

⑥试根据２３推导两点之间的距离公式.

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

讨论结果：１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图１

２如图１,设A （x,y,z ）是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO ２=BD ２+OD ２,AO ２=AB ２+BO ２=AB ２+BD ２+OD ２=z ２+x ２+y ２,因此A 到原点的距离是d=2

22z y x ++.

３利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.

４由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.

５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.

图２

⑥如图２,设P １（x １,y １,z １）,P ２（x ２,y ２,z ２）是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P １P ２作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M （x １,y １,0）,N （x ２,y ２,0）,于是可以求出|MN|=2

12212)()(y y x x -+-.

再过点P １作P １H⊥P ２N,垂足为H,则|MP １|=|z １|,|NP ２|=|z ２|,所以|HP ２|=|z ２—z １|.

在Rt△P １HP ２中,|P １H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P １P ２|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P １（x １,y １,z １）,P ２（x

２,y ２,z ２）之间的距离为|P １P ２|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.

于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.

（三）应用示例

例１ 已知A （３,３,１）,B （１,0,５）,求：

（１）线段AB 的中点坐标和长度；

（２）到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.

解:（１）设M （x,y,z ）是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=２,y=203+=23,z=2

15+=３．所以AB 的中点坐标为（２,23,３）. 根据两点间距离公式,得

d （A,B ）=29)15()30()31(222=-+-+-,

所以AB 的长度为29.

（２）因为点P （x,y,z ）到A,B 的距离相等,

所以有下面等式：

222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .

化简得４x+6y —8z+7=0,

因此,到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）的坐标满足的条件是４x+6y —8z+7=0．

点评:通过本题我们可以得出以下两点：

１空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.

２到A,B 两点的距离相等的点P （x,y,z ）构成的集合就是线段AB 的中垂面.

变式训练

在z 轴上求一点M,使点M 到点A （１,0,２）,B （１,—３,１）的距离相等.

解:设M （0,0,z ）,由题意得|MA|=|MB|,

2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,

整理并化简,得z=—３,所以M （0,0,—３）.

例２ 证明以A （４,３,１）,B （7,１,２）,C （５,２,３）为顶点的△ABC 是一等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.

证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(2

22=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(2

22=-+-+-. 由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.

点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.

变式训练

三角形△ABC 的三个顶点坐标为A （１,—２,—３）,B （—１,—１,—１）,C （0,0,—５）,试证明△ABC 是一直角三角形.

活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.

解:因为三个顶点坐标为A （１,—２,—３）,B （—１,—１,—１）,C （0,0,—５）,所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=３, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=３．

又因为|AB|２+|CA|２=|BC|２,所以△ABC 是直角三角形.

例３ 已知A （x,５—x,２x —１）,B （１,x+２,２—x ）,则|AB|的最小值为（ ）

Ａ．0 Ｂ．735 Ｃ．75 Ｄ．7

8 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.

解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =7

3575)78

(142≥+-x . 当x=7

8时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为Ｂ．

答案：B

点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法.

（四）知能训练

课本本节练习１、２、３、４．

（五）拓展提升

已知三棱锥P —ABC （如图４）,PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B （３m,m,0）,C （0,２m,0）,P （0,0,２n ）,画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.

图３

解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图３：

以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE⊥Ox,垂足为E,∵B（3m,m,0）,∴E（3m,0,0）.

在Rt△AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m, ∴tan∠BAE=m

m AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=３0°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为３0°.

（六）课堂小结

１．空间两点间的距离公式的推导与理解.

２．空间两点间的距离公式的应用.

３．建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.

（七）作业

习题４．３A组３,B组１、２、３．