初中数学思想方法的教学与应用

初中数学思想方法的教学与应用（讲稿）

新邵县教研室肖贞武

前言

自从应教师进修学校的邀请担任教师继续教育初中数学科任课教师后，就一直在思考：该和初中数学教学的同行们聊些什么呢？哪些才是我们一线教师真正所需要的？是最新最时髦的新课程改革、新课程理念？还是创建高效课堂、充分调动学生积极性让学生自主、自立的导学案教学？说实在的：我对这些也一头雾水，虽然也曾参加省市级的新课标培训，参观考察学习过高效课堂教学的省市甚至国家级课改示范学校，欣赏那些看似热热闹闹、精彩纷呈的课堂教学实录，但觉得那些离我们好像还很遥远，我们用不来也用不了。静下心来却发现：这些年我们搞课改或创建高效课堂，学人家形式化的东西多了，虚幻的成浓了。离教学最本质的东西远了。教学的本质到底是什么？很显然，教学最本质的东西就是传授知识，提高素质，培养能力。那么，数学教学的本质又是什么呢？众所周知：“数学是思维的体操。”数学思想方法是数学的精髓，它是数学中最本质最有价值的东西。它是知识转化为能力的桥梁。所以从某种意义上说，数学教学的本质就是数学思想方法的教学，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，更应重视数学思想方法的参透，注意对学生进行数学思想方法的培养。

一、数学思想方法是什么？

初中数学《新课程标准》中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

新课程把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，在《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。

数学思想方法是数学学科的精髓，也是数学素养的重要内容之一，只有充分掌握领会数学思想方法，才能用效地应用知识，形成能力。那么，数学思想方法是什么呢？其实它包换两个方面，即思想和方法。

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。

通俗的说：数学思想，就是对数学知识本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是用数学解决问题的指导思想。数学方法则是在数学提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。

数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响,使学生终生受益。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到至关重要的作用。

二、初中阶段主要的数学思想方法有哪些？

纵观初中新课标教材，涉及到的数学思想方法大体可分为三种类型。第一类是技巧型思想方法（也称低层次数学思想方法），包括消元、降次、换元、配方、待定系数法等，这类方法具有一定的操作步骤。比较容易为学生所接受。第二类

是逻辑型的思想方法（也称较高层次数学思想方法），包括类比、抽象、概括、归纳、分析、综合、演绎、特殊化方法、反证法等，这类方法都具有确定的逻辑结构，是普通适用的逻辑推理论证模型。第三类是宏观型思想方法（也称高层次数学思想方法），主要包括用字母表示数、数形结合、分类讨论、归纳猜想、化归转换、数学模型等，这类方法较多地带有思想观点的属性，揭示数学发展中极其普遍的方法，对数学发展起导向功能。学生较难领悟，需要教师在平时的教学中反复渗透。

用图框表示是：

初中数学中蕴涵的数学思想方法很多，但在初中阶段最基本最主要的有：化归转换的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。

1.化归转化思想方法

化归转化思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的数学思想方法，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题、解决问题。

转化与化归的原则：

（1）熟悉化原则：即陌生问题--熟悉问题，也就是常说的通过旧知解决新知

（2）简单化原则：即复杂问题--简单问题，

（3）具体化原则：即抽象问题--具体问题或直观问题

（4）极端化原则：即运用极端化位置或状态的特性引出一般位置上或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。

（5）和谐化原则：即对问题进行转化时要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式和形内部固有和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

数学思想

和方法 技巧型思想方法 逻辑弄思想方法 宏观型数学思想方法

消元法、配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等 分析法、综合法、归纳法、反证

法等

函数和方程思想、分类讨论思想、

数形结合思想、化归思想等

转化与化归的主要途径有：

（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学模型的转化.

2.数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合千般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

数形结合的主要途径：

（1)形转化为数：即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.

（2)数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题.

（3)数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.

3.分类讨论的思想和方法

由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.

分类的要点方法：

（1）分类是按一定的标准进行的，分类的标准不同，分类的结果也不相同；（2）要注意分类的结果既无遗漏，也不能交叉重复；

（3）分类要逐级逐次地进行，不能越级化分。

分类讨论的步骤

同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：

第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；

第二，正确选择分类标准,合理分类；

第三，逐类、逐段分类讨论；

第四，归纳并做出结论.

4.函数与方程思想

方程思想（方程模型）就是从分析问题的数量关系入手，适当设定求知数，把所研究问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方式。

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些量。

函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y ＝f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数；正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，所以将二者统称为函数方程思想。

三、数学思想方法有什么用？

一般来说，数学教材中蕴含着两条主线：其一是按逻辑体系编排的知识所构成的显性主线，它是数学学科的外在形式，也是教师教和学生学的主要依据；另一条是蕴含于知识的发生、发展和应用过程中的思想方法所构成的隐性主线，它是数学发展的内在动力，是数学知识的“灵魂”。数学思想方法是数学最本质、最具价值的内容，因为它是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中，经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识。如：集合思想、数形结合思想、化归思想、整体思想、和极限思想等。在数学教学过程中，教师应注意挖掘和提炼知识的发生、发展和应用过程中所蕴涵的思想方法。数学教材中的每

一章节，都体现着知识和思维的有机结合。由于认知能力及思维发展的限制，学生往往只注意数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点和思想与方法。因此，在教学中若能挖掘出数学概念、定理中所蕴含的数学思想；在数学推理与问题解决中，有意识地展现数学方法，不仅可以开启思路、提高解题效率，还可以强化方法意识，使学生的思维品质得到升华。因此，数学的学习既是知识的学习又是方法的学习。在教学中探索数学思想方法的最终目的是提高学生的思维品质和整体素质。

另外，从教育的角度来看，数学思想方法比数学知识更为重要，这是因为：数学知识是定型的，静态的，而思想方法则是发展的，动态的，知识的记忆是暂时的，思想方法的掌握是永久的，知识只能使学生受益于一时，思想方法将使学生受益于终生。增强数学思想方法的培养比知识的传授更为重要，数学思想方法的掌握对任何实际问题的解决都是有利的。因此，数学教学必须重视数学思想方法的教学。

实践证明，培养初中生的数学思想方法，有效地激发了学生的学习兴趣，充分调动了学生学习积极性和主动性，能使学生的认知结构不断地完善和发展，使学生将已有的思想方法运用在学习新知识的过程中，能够把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力。

所以，数学思想方法的作用可以从以下四个方面来阐述说明：

1、现实生活的需要决定数学思想方法有着重要的作用

时代的前进依赖于科技的发展，现代科技日新月异，改革开放的大潮促进着社会主义市场经济的迅猛发展，现代科技及经济发展成熟的标志是数学化，例如市场经济中经济统计学、金融学等领域就极需要数学的支撑，在探索科技与经济发展的过程中，当然需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠数学的思想与方法的运用，以便从数学的角度去思考周围的实际问题，建立数学模型，从而来预测发展的前景，决策下一步的行动……可以说，时代的发展越来越依赖于数学思想和方法的作用。数学思想方法是适应新时代的必然要求。

2、学生发展的需要

数学是思维的体操这是众所周知的，数学思想方法哺育着人养成诚实、正直、严肃认真、踏实细微、机智、顽强等当今时代迎接挑战不可缺的精神。著名数学家波利亚曾统计，中学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的占27%，基本不用或很少用数学的占70%，当然，现在的情形有所改变，总之对大多数学生来说，数学思想方法比形式化的数学知识更重要，因为前者更具有普遍性，社会各部门、各行业对数学知识的要求的深度与广度的差异是很大的，但对人的素质的要求是共性的，如要求走向社会的人，具备严谨的工作态度，具有善于分析情况，归纳总结，综合比较，分类评析，概括判断的工作方法，实际工作者，科研工作者，特别是决策部门工作人员更需要逻辑论证，严密推测的科学方法与工作作风，这一切都是在数学思想方法的渗透，训练中得以培养的。3、新课标的要求

新课程把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。

数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，只有充分掌握领会数学思想方法，才能用效地应用知识，形成能力。

4、高效课堂的需要

实践证明，培养初中生的数学思想方法，能有效地激发了学生的学习兴趣，充分调动了学生学习积极性和主动性，能使学生的认知结构不断地完善和发展，使学生将已有的思想方法运用在学习新知识的过程中，能够把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力。这主要表现在以下五个方面：

（1）.掌握了数学思想方法能够使数学知识更容易被理解

（2）.掌握了数学思想方法有利于数学知识的记忆

（3）.掌握了数学思想方法有利于“原理和态度的迁移”

（4）.数学思想方法可以指导基础知识教学

（5）.数学思想方法可指导解题练习

四、怎样培养学生的数学思想方法。

首先看一个教学案例：一位数学教师在初三的一节复习课上，为了让学生更好地掌握一个考点“求一个已知点关于坐标的轴对称点的坐标”，教师在黑板上写了三条求对称点坐标的结论：若两个点关于X轴对称，则对称点的横坐标不变，纵坐标为相反数；若两个点关于y轴对称，则对称点的横坐标为相反数，纵坐标不变；若两个点关于原点对称，则对称点的横坐标、纵坐标都为相反数。学生在做每一个相关题时，都要抬起头来看看结论再做题。但当教师将黑板上结论擦掉后，一些学生就不知所措，此节课容量小、效益低。对这样的课，我们应当认真反思：让学生死记硬背许多结论，只能加重学生记忆负担，没有教给学生合理的思考方法，学生只能机械模仿。这节课，教师实际上只需强调两个字：画图！一切问题将迎刃而解，让学生在坐标系内画出符合条件的两个点，观察横、纵坐标的变化，既可求得对称点的坐标。这种方法体现的就是数形结合思想。解决这个问题本来是非常简单的一件事，结果因为教法不当，变成一件复杂的事例。可见，教师有无数学思想方法教学意识，直接影响学生学习效果。

此例虽是个别的，但这种重结果轻方法的教学，重眼前应试效益，轻学生长远发展的教学现象还是比较普遍的。长此以往，学生的学习方法怎能得到培养，学生的思维能力怎能得到提高。那么，怎样培养学生的数学思想方法呢？

（一）数学思想方法的培养应遵循的原则

1、渗透性原则

九年制义务教育教材的编排是按知识的逻辑纵向展开的。大量的数学思想方法是蕴涵在数学知识之中，因此，在具体知识的教学中，精心设计学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，使它们在潜移默化中达到理解和掌握。

如：数形结合思想方法的渗透是从初一的数轴---平面直角坐标系---函数和图像和性质等展开的

2 、层次性原则

要使学生把握数学方法，首先教师要准确、清晰地把握好初中数学教材中的

数学思想方法的水平层次。一要把握好学生认知数学思想方法的水平层次；对初中数学方法可分为了解、理解、掌握三个层次。了解：对数学思想方法的含义有感性的初步的认识，能在有关的问题中识别它们。理解：对数学思想方法达到了理性认识，不仅能够说出它们是什么，而且能够知道它们的基本观点，有什么用途。掌握：在理解的基础上，通过训练掌握其实质，能用它去解决一些问题。二要把握好某一数学方法在不同教材、不同阶段的水平层次。同一种数学思想方法在不同的年级（或不同的章节）中，要求的层次也不相同。

3 、反复性原则

从一个较长的学习过程看，学生对各种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个低级到高级的螺旋上升过程，如对同一数学思想方法，应该注意在不同知识阶段的再现，加强对数学思想方法的认识。

数学思想方法的学习一般分为三个阶段：模仿阶段，初步应用阶段，自觉应用阶段。教学的任务是促进前两个阶段的形成，尽快达到第三个阶段。在教学中应制定有关数学思想方法的分层目标，在不同的年级、不同的章节有重点渗透的思想方法。学生接触较多的数学问题后，数学思想方法的学习逐渐过渡到初步应用阶段，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也能够概括总结出来。（二）在知识的传授全过程中，注重培养学生的数学思想

数学思想是形成数学能力，数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识的技能、方法的灵魂，因此，在运用知识的全过程中，从分析探求思路，到优化实施解答，最后反思验证结论都要重视应用数学思想。

1 、在概念形成过程中渗透数学思想

中学数学教材中处处渗透着基本数学思想方法，数学概念、公式、法则等知识写在教材中，是有“形”的，而基本的数学思想方法在教材中是无“形”的。它以隐藏的形式存在于字里行间，并且不成体系散见于教材各章节之中，需要通过教师的指点，学生才能领会、掌握。

2 、在公式定理证明过程中渗透数学思想

3 、在例题教学中渗透数学思想

数学思想方法的培养要通过学生对具体数学问题的处理，因此，在例题教学中，要引导学生应用数学思想方法探索某些问题的解题方法，训练学生的数学思想技能，同时安排相应的题型进行训练。

4 、在练习过程中渗透数学思想

（三）培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问题的能力

在教学中要注意培养学生的应用意识，注意将科技或生活问题与数学教学相结合。随着知识经济的到来，在接受教育的全过程中，要学习许多数学知识，这不是将来要用到这些知识去解决具体的数形问题，而是需要吸取数学知识中蕴含的数学思想方法，在学习数学知识的同时学到深邃的科学思维方法。因此，我在教学中，不仅传授知识，同时还教学生学习的方法，引导学生把要解决的现实问题转化为数学问题。

数学思想方法是人们在一生中运用最广泛的知识，应把握时机，使学生领悟并逐步学会运用这些思想方法解决实际问题。通过初中数学思想方法培养的实验，使学生学会学习和学会创新，培养了学生终身学习和发展的意识和能力。

五、思想方法教学注意事项

数学知识的发生过程，实际上也是思想方法的发生过程、思考过程。因此，概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都蕴藏着向学生渗透数学思想方法，训练思维的极好机会。

1：展开概念——不要简单地给出定义。

概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，依据数学思想方法指导。因此概念教学应完整地体现这一生动过程，引导学生揭示概念本质特征，让学生对理解概念有一定的思想准备，同时也培养学生从具体到抽象的思

维方法。

2：着重过程——不要过早下结论。

教学中引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式等结论的探索、发现、推导过程，弄清每个结论的因果关系。

3：小结、复习——不要仅罗列知识。

揭示知识之间的内在联系是小结、复习的功能之一，而要揭示内在联系，有效的方法是利用对比、类比、化归、转换等，讲清来龙去脉，从整体上对内容有清晰的认识，形成知识结构图。在复习小结中还可以总结这章所涉及的数学思想方法，从知识发展的过程来观察思想方法所起的作用。

4：例题、习题——要会反思。

对于例、习题，不要就题论题，而要教会学生解完题后进行反思。反思⑴解法是怎样想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？⑵能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？⑶通过解决这个题，我们应该学什么？这种反思能较好地概括思维本质，从而上升到数学思想方法上来。著名数学教育家弗赖母登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力。”我们要让学生养成反思的习惯。