山东淄博市2017年中考数学试题含答案

绝密★启用前 试卷类型：A

山东省淄博市二〇一七年初中学业水平考试

数学试题

（试卷满分为120分，考试时间为120分钟）

2017年山东省淄博市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1．2

3-

的相反数是（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23

-

3．下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．下列运算正确的是（ ）

A ．2

3

6

a a a ?= B ．235()a a -=-

C ．10

9

a a a ÷=（a ≠0） D ．4222()()bc bc

b

c -÷-=- 5．若分式

||1

1

x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．2 6．若a +b =3，2

2

7a b +=，则ab 等于（ ）

A ．2

B ．1

C ．﹣2

D ．﹣1

7．将二次函数2

21y x x =+-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ） A ．2(3)2y x =+- B ．2

(3)2y x =++ C ． 2(1)2y x =-+ D ．2

(1)2y x =--

8．若关于x 的一元二次方程2

210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k ＞﹣1且k ≠0 C ．k ＜﹣1 D ．k ＜﹣1或k =0

9．如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（）

A．2+πB．2+2πC．4+πD．2+4π

10．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）

A．3

8

B．

5

8

C．

1

4

D．

1

2

11．小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（）

A．B．

C．D．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF ∥BC交AC于点F，则EF的长为（）

A ．

52 B ．83 C ． 103 D ．154

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

13．分解因式：3

28x x -= ．

14．已知α，β是方程2

340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为 ． 15．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：

则计算器显示的结果是 ．

16．在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE +DF = ． 17．设△ABC 的面积为1．

如图1，分别将AC ，BC 边2等分，D 1，E 1是其分点，连接AE 1，BD 1交于点F 1，得到四边形CD 1F 1E 1，其面积S 1=

1

3

． 如图2，分别将AC ，BC 边3等分，D 1，D 2，E 1，E 2是其分点，连接AE 2，BD 2交于点F 2，得到四边形CD 2F 2E 2，其面积S 2=

16

； 如图3，分别将AC ，BC 边4等分，D 1，D 2，D 3，E 1，E 2，E 3是其分点，连接AE 3，BD 3交于点F 3，得到四边形CD 3F 3E 3，其面积S 3=110

； …

按照这个规律进行下去，若分别将AC ，BC 边（n +1）等分，…，得到四边形CD n E n F n ，其面积S = ．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

18．解不等式：

27

23

x x --

≤．

19．已知：如图，E，F为?ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．

20．某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

21．为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：

说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…

根据上述信息，解答下列问题：

（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数，中位数；

（2）请补全空气质量天数条形统计图：

（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；

（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？

22．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数

k

y

x

（k

＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．

①求OF的长；

②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

23．如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．

（1）求证：△BFN∽△BCP；

（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．

24．如图1，经过原点O的抛物线

2

y ax bx

=+（a≠0）与x轴交于另一点A（3

2

，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC ∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年山东省淄博市中考数学试卷

参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1-5．CADCA 6-10．BDBAB 11-12．DC

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

13．（4分）2x（x﹣2）（x+2）

14．（4分）0

15．（4分）959

16．（4分）2错误！未找到引用源。

17．（4分）错误！未找到引用源。

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

18．（5分）解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），

去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，

移项合并得：5x≤20，

解得：x≤4．

19．（5分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC．

∴∠BAE=∠DCF．

在△AEB和△CFD中，错误！未找到引用源。，

∴△AEB≌△CFD（SAS）．

∴BE=DF．

20．（8分）解：设汽车原来的平均速度是x km/h，

根据题意得：错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。=2，

解得：x=70

经检验：x=70是原方程的解．

答：汽车原来的平均速度70km/h．

21．（8分）解：（1）在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这

组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；

故答案为：90，90．

（2）由题意，得

轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．

（3）由题意，得

优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，

良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，

轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°

（4）该市居民一年（以365天计）中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．22．（8分）解：（1）∵反比例函数y=错误！未找到引用源。（k＞0）的图象经过点D（3，1），∴k=3×1=3，

∴反比例函数表达式为y=错误！未找到引用源。；

（2）①∵D为BC的中点，

∴BC=2，

∵△ABC与△EFG成中心对称，

∴△ABC≌△EFG，

∴GF=BC=2，GE=AC=1，

∵点E在反比例函数的图象上，

∴E（1，3），即OG=3，

∴OF=OG﹣GF=1；

②如图，连接AF、BE，

∵AC=1，OC=3，

∴OA=GF=2，

在△AOF和△FGE中

∴△AOF≌△FGE（SAS），

∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，

∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，

∴EF∥AB，且EF=AB，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∴AF=EF，

∴四边形ABEF为菱形，

∵AF⊥EF，

∴四边形ABEF为正方形．

23．（9分）（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P 重合，

∴MN垂直平分线段BP，

∴∠BFN=90°．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠C=90°．

∵∠FBN=∠CBP，

∴△BFN∽△BCP．

（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图

所示．

②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．∵△MDP为直角三角形，

∴AP为⊙O的直径，

∵BM与⊙O相切，

∴MP⊥BM．

∵MB=MP，

∴△BMP为等腰直角三角形．

∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，∴∠PMD=∠MBA．

在△ABM和△DMP中，错误！未找到引用源。，

∴△ABM≌△DMP（AAS），

∴DM=AB=4，DP=AM．

设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，

BM=错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。．

∵BM=MP=2OE，

∴2错误！未找到引用源。=2×（4﹣a），

解得：a=错误！未找到引用源。，

∴DP=2a=3．

24．（9分）解：（1）∵B（2，t）在直线y=x上，

∴t=2，

∴B（2，2），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；

（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，

∵点C是抛物线上第四象限的点，

∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），

∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，

∴S

=S△CDO+S△CDB=错误！未找到引用源。CD?OE+错误！未找到引用源。CD?BF=错误！未找△OBC

到引用源。（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，

∵△OBC的面积为2，

∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，

∴C（1，﹣1）；

（3）存在．

设MB交y轴于点N，如图1，

∵B（2，2），

∴∠AOB=∠NOB=45°，

在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB（ASA），

∴ON=OA=错误！未找到引用源。，

∴N（0，错误！未找到引用源。），

∴可设直线BN解析式为y=kx+错误！未找到引用源。，

把B点坐标代入可得2=2k+错误！未找到引用源。，解得k=错误！未找到引用源。，

∴直线BN的解析式为y=错误！未找到引用源。x+错误！未找到引用源。，

联立直线BN和抛物线解析式可得错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，

∴M（﹣错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），

∵C（1，﹣1），

∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），

∴OB=2错误！未找到引用源。，OC=错误！未找到引用源。，

∵△POC∽△MOB，

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2，∠POC=∠BOM，

当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

∵∠COA=∠BOG=45°，

∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，

∴△MOG∽△POH，

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2，

∵M（﹣错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），

∴MG=错误！未找到引用源。，OG=错误！未找到引用源。，

∴PH=错误！未找到引用源。MG=错误！未找到引用源。，OH=错误！未找到引用源。OG=错误！未找到引用源。，

∴P（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）；

当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

同理可求得PH=错误！未找到引用源。MG=错误！未找到引用源。，OH=错误！未找到引用源。OG=错误！未找到引用源。，

∴P（﹣错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）或（﹣错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）．