2021年高三12月阶段性检测(数学理)

2021年高三12月阶段性检测（数学理）

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选

项中只有一个是符合题目要求的．

1. 若集合，集合，则等于( )

A． B． C． D．

2. 若，，则 ( )

A．， B．， C. ， D. ，

3. 在中, ，三边长，，成等差数列，且，则的值是( )

A． B． C．D．

4. 设函数，则不等式的解集是( )

A． B．

C． D．

5. 若，则等于( )

A． B． C． D．

6. 已知条件，条件，则是成立的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

7.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )

A． B． C． D．

8．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程

为( )

A. B. C. D.

9. 已知是定义在上的奇函数，且恒成立，当时，则的值为( )

A. B. C． D．

10. 已知函数的部分图象如图所示，则的图象可由函数的图象（纵坐标不变）变换如下(

)

A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位

B.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

C.先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

11. 下列说法不正确的是( )

A．函数的零点与的零点之差的绝对值不超过

B．函数为偶函数的充要条件是：

C．若，，则

D. 命题p:“”的否定形式为“

12. 如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数

的部分图象，则可能是( )

A. B.

C． D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上

13. 已知平面向量，，与垂直，则＝

14. 设,满足约束条件

320

20

x y

x y

x

y

--≤

?

?-+≥

?

?

≥

?

?≥

?

，若目标函数，的最大值为，则的最小值为

_______________

15. 已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上，，后顺次成为等比数列的前三项. 求数列的通项公式=_______________

16. 椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为

三、解答题：本题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内

17. （本小题12分）

中，角、、所对应的边分别为、、，若.

(1)求角；

(2)若，求的单调递增区间.

18. （本小题12分）

设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，为数列的前项和，求 .

19.（本小题12分）

已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另

一点,且.

（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；

（Ⅱ）过圆心的直线交抛物线于、两点,求的值。

20．（本小题12分）

某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲。该公司计划用（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润（百万元）与成正比的关系，当时.又有，其中是常数，且.

（Ⅰ）设，求其表达式，定义域（用表示）；

（Ⅱ）求总利润的最大值及相应的的值.

21．（本小题12分）

设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.

(1)求椭圆的焦距；

(2)如果，求椭圆的方程．

22. （本小题14分）

已知函数，斜率为的直线与相切于点.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。

（Ⅲ）证明：.

参考答案

由，得，

故的单调递增区间为，. ………12分 18.解：（Ⅰ）由111112,1,2,,1n n b S n b S S b b =-==-==令则又所以,………1分 1122,()n n n n n n n n b S b b S S b --≥=--=--=-当时，由可得, …………3分 , ………………………………………………4分

{}1111

122

n n n b b b -==所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.……6分

（Ⅱ）数列为等差数列，公差,……8分

从而， ……………………………………9分

2341

113572321

2222222n n n n n T ---=++++

+ 23411222222112222222n n n n T --=+++++- == …………11分

从而.……………………………………………………12分 19．解： （Ⅰ）因为,即,

所以抛物线C 的方程为………-------------------------- 2分 设⊙M 的半径为,则,

所以的方程为……………… 4分 （Ⅱ），设，

（1）当斜率不存在时，，则--------6分 （2）当斜率存在时，设PQ 的方程为， 则消得，，

所以，-------------------------------------------8分 由因为，所以，故。--------------------10分 所以

所以。-------------------------------------------------12分 20解：（Ⅰ）

当时，……………………2分 定义域：

……………………4分 （Ⅱ）

……………………5分

讨论：若，即时……………………6分 在单调递增，在上单调递减.

所以……………………………8分

若，即时………………………………9分 ，所以在上为增函数。 ………11分 综上述：当时，；当时，……12分

21解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)

∵k l ＝tan60°＝3,∴l 的方程为y ＝3(x －c ) ------2分 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴

|－3c －3c |3

2

＋－1

2

＝3c ＝2 3 ∴c ＝2 ∴椭圆C 的焦距为4------4分

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)-----------------5分

由???

y ＝3x －2x 2

a 2

＋y 2b 2

＝1

消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0

由韦达定理可得?

??

?

?

y 1＋y 2＝－43b 2

3a 2＋b

2 ①

y 1

·y 2

＝－3b 2

a 2

－4

3a 2

＋b 2

②

----------7分

∵AF 2

→＝2F 2

B →

，∴－y 1

＝2y 2

，代入①②得???

??

－y 2

＝－43b

2

3a 2

＋b 2

③－2y 2

2

＝－3b 2

a 2

－4

3a 2

＋b

2

④

9分

③2④得1

2＝48b 4

3a 2＋b 22·3a 2＋b 23b 2a 2－4＝16b 2

3a 2＋b 2a 2－4

⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ----------11分 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2

5

＝1. ------------------12分

22.解：（Ⅰ）由题意知：

………………………………2分

解得：； 解得：

所以在上单调递增，在上单调递减………………4分 （Ⅱ）=

[]1(1)(1)

(1)(1)a x x ax a x a x x

??

---??---??==

得：………………………………6分

+ - + 极大值 极小值 若即，，则， 在上单调递增，无极值点………………………………8分 + - + 极大值 极小值 综上述：

当时，的极小值点为，极大值点； 当时，无极值点；

当时，的极大值点为，极小值点………………10分

26245 6685 暅27862 6CD6 泖ZB337408 9220 鈠29286 7266 牦e35091 8913 褓28031 6D7F 浿€37323 91CB 釋