中国海洋大学实变函数复习题总汇
第一章重点:
●集合的交、并、差、余运算，对偶定理
●上、下限集的定义、求法
●有关函数集合的表示
●对等的判定建立、定理
●可数集的性质、判定
●基的判定
●具体集合的基
习题：12,20,21，22，26,28,29
第二章重点:
●边界点、内点、聚点、边界、导集、闭包等的含义和求法
●稠密集、疏朗集、孤立集的定义、性质
●开集、闭集的定义、性质、判定、构造
●Cantor集的性质
习题：5,6,7,13,16,28
第三章重点:
●外测度的性质（非负性、单调性、次可加性、次可数可加性、条件可加性、平移不变形）●测度的性质（非负性、单调性、可加性、可数可加性、平移不变形、上下连续性）
●可测集全体M关于交、并、差、余的可列运算及极限封闭，是 代数。
●可测集全体M的构成、构造（与开集闭集的关系）
习题：1，2，13,25,33
第四章重点:
●可测函数的定义、性质、判定
●可测函数全体是线性空间，关于极限封闭，与简单函数的关系
●依测度收敛，几乎处处收敛，一致收敛的定义，它们之间的关系(Egoroff, Lebesgue, Riesz
定理)。
●可测函数的构成（与连续函数的关系，Lusin定理）
习题：4，7，12，18,20,26
第五章重点:
●积分与可积的定义、性质、运算
●极限定理（Levi定理, Fatou引理, Vitali定理,Lebesgue控制收敛性定理）
●积分的绝对连续性。
●R-积分和L-积分间的关系
习题：1，2，10，12，14
12 设实函数列{})(x f n 在E 上定义，又设{})(inf )(1x f x h n n ≥=. 证明对R a ∈?，成立
[] ∞
=<=<1][n n a f E a h E .
证明：因))(()(n x f x h n ?≤，故当()n f x a <时，必有()h x a <，这表明
[])]([n a h E a f E n ?
=
另一方面，任取][a h E x <∈，由下极限的定义，知存在n ，使a x f n <)(（若否，则对任意的n ，有()n f x a ≥，这表明inf{()}()n f x h x a =≥，矛盾）. 当然有[]
∞=<∈
1
n n a f E x ，
故[]
∞=
<1
][n n a f E a h E . 综上，左等于右.
20 空间中坐标为有理数的点的全体K 成一可数集.
证明：显然{}(,,):,,K a b c a b c Q Q Q Q =∈=??是三个可数集的乘积，从而是可数集. 21 1
R 中以互不相交的的开区间为元素的集合为至多可数集.
证明：设该集合为K . 因为对任意的开区间K b a ∈),(，存在有理数),(b a r ab ∈. 这样，可作一映射Q K f →:，使得()ab r b a f =),(. 由于K 中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此Q K f K ?)(~，也就说明了K 是一至多可数集. 22 1R 上单调函数)(x f 的不连续点的全体A 为至多可数集.
证明：不妨设函数单增. 任取断点A x ∈0. 由于函数单调，所以在0x 点的左极限)(0x f -和右极限)(0x f +都存在，且)()(00x f x f ++<. 让断点0x 对应于开区间()
)(),(00x f x f ++，由于函数单增，所以不同断点所对应的开区间是不相交的. 再利用21题即得. 26 ]1,0[中无理数的全体成一不可数集.
证明：反证法. 假设]1,0[中无理数的全体K 是至多可数集，而]1,0[中有理数的全体0Q 是可数集，这样0[0,1]K Q = 是可数集（可数集和至多可数集的并是可数集）. 这与]1,0[是不可数集矛盾.
28 证明c a
=2，其中a 为可数基数，c 为连续基数.
证明：设},,,,{21 n r r r A =，即证明A 的所有子集的全体A
2的势为c . 作从A
2到二进位小数全体K 的映射:2A
f K →为 n a a a B f 21.0)(=，其中当B r n ∈时，1=n a ；
当B r n ?时，0=n a . 因为不同的集合的元素不完全相同，所以该映射是单射，故
c K A =≤2. 另一方面，作映射:2A g K →为B a a a g n =).0(21 ，其中
{}:1,1,2,i i B r a i === 若，该映射也是单射，因此c K A =≥2. 综上，有c K A ==2.
29 ]1,0[上连续函数的全体[0,1]C 的基数是c .
证明：因常函数都是连续函数，故[0,1]C R c ≥=. 设0[0,1]Q Q =?，则它是可数集. 不妨设{}012,,...,,n Q r r r =
. 对任意的[0,1]f C ∈，让其对应于R ∞
中的实数组 {}12(),(),...,(),n f r f r f r ，则这个对应是从[0,1]C 到R ∞的一个单射. 事实上，若g f ,是
对应于同一数组的两个连续函数，即(),...2,1,)(==i r g r f i i . 对任意的实数]1,0[∈a ，存在
有理数序列{}
]1,0[?k i r ，使得)(∞→→k a r k i . 这样由函数的连续性得到
)()(lim )(lim )(a g r g r f a f k k i k i k ===∞→∞→，也即f g ≡，也就是说该对应是一个单射.
因此[0,1]C 和∞
R 的某子集对等，故有[0,1]C R c ∞
≤=. 综上，[0,1]C c =.
5. 证明：A B A B ?=?.
证明：因为()'''A B A B = ，所以有
()()()()()()'''''A B A B A B A B A B A A B B A B ?=??=??=??=? .
6. 在1
R 中，设[0,1]E Q =?，求',E E . 解： '[0,1]E E ==
7. 在2
R 中，设{}
22(,):1E x y x y =+<，求',E E .
解： {}
22
'(,):1E E x y x y ==+≤
11. 证明以下三个命题等价:(1) E 是疏朗集.(2) E 不含任何邻域.(3) c E )(是稠密集. 证明： (1)→(2)：反证法 假设存在E r x O ?),(, 按闭包的等价定义, ),(r x O 中任意点的任意邻域中都含有E 中的点, 与疏朗集的定义矛盾.
(2)→(3)：由假设, 对x ?, 0δ?>, 有E x O ?),(δ, 从而()
?≠c
E
x O ),(δ，即任
一点的任一邻域中都有c E )(中的点，也即c E )(是稠密集.
(3)→(1)：反证法 若E 不是疏朗集，则存在),(δx O ，使得),(δx O 中没有子邻域与E 不相交. 这实际上意味着对任意的),(),(δx O r y O ?都有?≠?E r y O ),(, 由r 的任意小性知道E y ∈, 再由y 的任意性知道E r y O ?),(, 由此知道()
c
E 不是稠密的. 由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q . 13. 证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.
证明：由第11题知若E 是疏朗集，则c E )(是稠密集. 而由于E E ?，故()
c
c E E ?，
从而由c E )(是稠密集得到c
E 是稠密的. 反例：Q 和c Q 都是稠密集.
16. 孤立集n
R E ?必是至多可数集.
证明：令(0,)k E E O k = ，则{}k E 是有界集列，且1
k k E E ∞==
，故只需要证明每
个k E 是至多可数集即可. 注意到k E 也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记k E 为E .
这样，问题转为证明：有界的孤立集E 是至多可数集. 任取x E ∈，由孤立性，存在
()0x δ>使得
{}(,())O x x E x δ= . （*） 得到满足（*）式开球族{}(,()):O x x x E K δ∈=. 明显的，E 和开球族K 对等. 对K 中的球按半径分类.
令n K 是K 中半径大于
1
n
的球的全体. 则1n n K K ∞== ，若能证明每个n K 都是有限集，就得到K 是至多可数集，从而E 是至多可数集.
下证明：n K 都是有限集. 注意到n K 中每个球的半径大于1
n ，且每个球的球心不在其他
的球中（由（*）式），这表明各个球心之间的距离大于1
n
. 另一方面，这些球心是一致有界
的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知n K 中只能有有限个球. 28. 证明：1
R 中既开又闭的集合只能是1
R 或?.
证明：设A 是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设),(b a 是A 的一个构成区间.若a 有限, 则A a ?; 另一方面，由A 是闭集得A A b a b a a ??=∈')',(],[, 得到矛盾. 所
以a =-∞，同理得b =+∞. 因此1A R =，所以1R 中既开又闭的集或是空集或是1
R . 实际上：n R 中既开又闭的集或是空集或是n
R .
证明: 反证法. 设n R A ?是既开又闭的非空又非n
R 的集合. 则必存在n
x R ∈，但
x A ?. 一方面因为A 是非空闭集, 所以存在A y ∈, 使得()()0,,>=y x A x ρρ. 另一方
面, 因为A 又是开集, 所以y 是内点，而取得非零距离的点绝不能是内点（只能在边界上达到非零的距离），就导出了矛盾, 所以n
R 中既开又闭的集或是空集或是n
R . 1若E 有界，则∞ . 证明：因E 有界，故存在0M >，使得,x M x E {}12(,,,):,1,2,,n i I x x x x M i n =<= 中. 取开覆盖为 ,,,21I I I ，其中从第二项开始 全是空集. 则有()* 1 2n i m E I I I M ∞ =≤+==<∞∑. 2可数点集的外测度为零. . 证明：设可数点集{} ,,,,21n a a a E =，则{} ∞ -=1 n n a E . 由外测度的次可数可加性和 单点集的外测度为零得到{}()0}{01* 1 * * =≤=≤∑∞=∞ -n n n n a m a m E m ，于是0*=E m . 13 设1E 可测且1mE <∞. 证明：若*1221,E E m E mE ?=，则2E 可测. 证明：因1E 可测，在可测性的Caratheodory 条件中取2T E =得 ()()12*12*2*\E E m E E m E m += . 因12E E ?，所以112E E E = ，又∞<=12* mE E m ， 代入上等式得到()0\12* =E E m . 这表明12\E E 是零测集，故是可测集. 而()1212\E E E E =，右边是两个可测集的并，故2E 可测. 25 E 可测的充要条件是：对0ε?>，存在开集E G ?和闭集E F ?，使得()\m G F ε<. 证明：必要性：因为E 可测，所以对任意的0>ε, 存在开集E G ?, 使得 ()2 \ε < E G m ，同时存在闭集E F ?, 使得()2 \ε < F E m ，此时 ()()()εε ε =+ < +=2 2 \\\F E m E G m F G m . 充分性：取n 1 = ε, 则得到一列开集{}n G 和一列闭集{}n F , 使得n n F E G ??且()n F G m n n 1 \< . 令 ∞==1n n G H ， ∞==1n n F K . 则K E H ??，且K H ,可测，同时)(\\n F G K H n n ??，这表明K H \是零测集. 因为K H K E \\?，故K E \也是零测 集. 而()K K E E \=，故E 可测. 33 反证法：若否，则该零测集中会含有开球，此与集合是零测集矛盾. 4．有界闭集E 上的连续函数()f x 是有界函数 证明：只需证明函数的最大最小值可达即可. 以最大值为例. 令sup{():}M f x x E =∈，则存在点列{}n x E ?，使得()n f x M →. 因为E 是有界闭集，所以有界点列{}n x E ?必有在E 中收敛的子列，不妨设{}n x 自身收敛到x E ∈. 另一方面，由于函数()f x 连续，故()()n f x f x →. 由极限的唯一性知()M f x =<+∞，也即最大值可取到. 同理，最小值也可达到. 因此函数()f x 必是有界的. 实际上，有界闭集E 上的连续函数()f x 是一致连续函数. 证明：对0ε?>. 由于函数连续，任取x E ∈，则()0x δ?>，使得当(,()) y E O x x δ∈ 时，必有 ()()2 f x f y ε -< （*）. 这样，也就得到E 的一族开覆盖{}(,()):O x x x E δ∈，其中()x δ使得（*）式成立. 由于E 是有界闭集，故必有从属于{}(,()):O x x x E δ∈的Lebesgue 数0δ>，即对任意的 0x E ∈，必存在某个x E ∈，使得0(,)(,())O x O x x δδ?. 任取12,x x E ∈，12x x δ-<. 由上述所言，必存在x E ∈，使1(,)(,())O x O x x δδ?，则也有2(,())x O x x δ∈. 由（*）式，得到 1212()()()()()()2 2 f x f x f x f x f x f x ε ε ε-<-+-< + =. 也就证明了一致连续性. 7．设mE <∞，f 是E 上几乎处处有限的可测函数. 证明：对0ε?>，存在闭集 F E ?，使得(\)m E F ε<，且f 在F 上有界. 证明：设[],[]n E E f E E f n ∞==∞=>，则{}n E E ?是单减的可测集列，且 lim n n E E →∞∞=. 因为mE <∞，所以lim n n mE mE →∞∞=. 又因为f 是E 上几乎处处有限 的可测函数，故lim 0n n mE mE →∞∞==. 因此对0ε?>，存在N ，使得当n N ≥时 2 n mE ε < ，特别的，2 N mE ε < . 在\N E E 上，恒有()f x N ≤. 根据可测集的构造，存在 闭集\N F E E ?，使得()(\)\2 N m E E F ε < . 这样， ()()()()F E E E F E E E F E N N N N \\\\\ ==， 因而()()()\\\22 N N m E F mE m E E F εε ε≤+<+=，且在闭集F 上，有()f x N ≤ 12．构造反例说明：由f 可测得不到f 可测. 反例：设[0,1]E =，A 是[0,1]E =的不可测子集，\()()()A E A f x x x χχ=-. 则1f ≡是 E 上的可测函数，而[0]E f A >=不是可测集，因而f 不是E 上的可测函数. 18．设f 和{}1n n f ∞ =均是可测集E 上几乎处处有限的可测函数. 对0,δ?> 存在可测子集 E E δ?，使得()\m E E δδ<，且在E δ上{}n f 一致收敛到f . 证明：在E 上{}n f 几乎处 处收敛到f . 证明：由题设知，对任意的i N ∈，存在可测子集i F E ?，使得()1 \i m E F i <, 且在i F 上{}n f 一致收敛到f . 令1 i i F F ∞== . 则{}n f 在F 上收敛到f . 由测度的单调性得 1 (\)(\),i m E F m E F i i ≤≤?，故而(\)0m E F =. 因此，在E 上{}n f 几乎处处收敛到f . 20．设在E 上，有f f n ?且g f n ?，证明在E 上)(x f 和)(x g 几乎处处相等. 证明：不妨假定函数)(),(x g x f 是处处有限的. 这样有 []????? ? ≥-=≠-∞=k g f E g f E k 101 . 所以只需证明右边的每个集合是零测集就行了. 注意到若k b a 1 > -，则由于b a b a -≥+，故必有k a 21≥或k b 21≥. 因而当 k x g x f 1)()(≥-时，必有k x f x f n 21)()(≥-或k x f x g n 21 )()(≥-. 因此对任意的n 有 ????? ? ≥-??????≥-???????≥-k f g E k f f E k g f E n n 21211 由依测度收敛性知上式右边两个集合的测度当∞→n 时趋于零，故对任意的k 都成立 01=????? ? ≥-k g f mE . 完成证明. 26. Lusin 定理的逆定理：设f 是可测集n R E ?上的广义实函数，若对0>?ε，存在闭集 E F ?，使得()ε 证明：由题设得，对任意的n ，存在闭集E F n ?使得()n F E m n 1 \<且f 在E F n ?上连续. 当然这时f 在n F 上可测且处处有限. 令 ∞== 1n n F F ，则由可测函数的性质知f 在F 上可测同时还是处处有限的. 而()( ) ())(1 \\ \1n n F E m F E m F E m n n n ?< ≤=∞ = ，这表明()0\=F E m . 因此f 在E 上可测且几乎处处有限.。 1 求]1,0[上Dirichlet 函数)(x D ，Riemann 函数)(x R 的积分. 答： [0,1] [0,1] ()()0D x dx R x dx = =? ? . 2 设∞ ,,0110+∞→<<<<<=+k k k y y y y y 满足 ).(1k y y k k ?<-+δ 令)(][1k y f y E E k k k ?<≤=+. 证明：()f x 在E 上可积的充要条件是, ∞<∑ ∞=k k k mE y 且?∑ =∞=→+ E k k k dx x f mE y )(lim 0 0δ. 证明：因为考虑积分，故不妨设()f x 在E 上处处有限. 这时k k E E +∞==0 ，且+∞ =0}{k k E 是 互不交的可测集列，故而 .0∞<=∑∞ =k k mE mE （1） 因()f x 在E 上非负可测，由积分域的性质得 .)()(0∑?? ∞ ==k E E k dx x f dx x f （2） 由于在k E 上成立1)(+<≤k k y x f y ，由积分的单调性得 .)(1k k k k k E k k mE mE y mE y dx x f mE y k δ+≤≤≤+? 结合(1)(2)式得到 .)(0000mE mE y mE mE y dx x f mE y k k k k k k k k E k k k δδ+=+≤≤∑∑∑?∑∞ =∞=∞=∞= 因为∞ ∞<∑ ∞=k k k mE y 其实也表 明了?∑ =∞=→+ E k k k dx x f mE y )(lim 0 0δ. 10 设∞ ),2,1,0(]1[ ±±=<≤-=n n f n E E n . 证明：()f x 在E 上可积的充要条件是 +∞<∑ +∞-∞ =n n mE n . 证明：类似于第2题. 不妨设()f x 在E 上处处有限. 这时n n E E +∞-∞ == ，且+∞-∞=n n E }{是互不交的可测集列，故而 .∞<=∑+∞ -∞=n n mE mE （1） 因()f x 在E 上可测，所以()f x 在E 上可积的充要条件是)(x f 在E 上可积. 因而问题转为证明：)(x f 在E 上可积的充要条件是+∞<∑ +∞-∞ =n n mE n . 由积分域的性质得 ∑? ∑? ∑? ? +∞ =-∞=+∞ -∞=+==10 )()()()(n E n E n E E n n n dx x f dx x f dx x f dx x f （2） 由于在)1(≥n E n 上有n x f n <≤-)(1，在)1( (),1,)(≥?≤≤-?n nmE dx x f mE nmE n E n n n (),1,)( n mE mE n dx x f mE n n n E n n 代入(2)式就得到 ()()∑∑?∑∑ +∞ =-∞=+∞ =-∞ =++≤≤-+10 101)(1n n n n E n n n n nmE mE n dx x f mE n mE n . 结合(1)式得到 mE mE n dx x f mE mE n n n E n n +≤≤-∑?∑ +∞ -∞=+∞-∞ =)(. 也就得到：)(x f 在E 上可积的充要条件是 +∞<∑ +∞-∞ =n n mE n . 12 设∞ ?? ∞→=E n n E dx x f dx x f )(lim )(. 证明：由假设得到()f x 在E 上可测. 由一致收敛性知：对N ?>?,0ε，使得 .,,1)()(N n E x mE x f x f n ≥?∈?+≤ -ε (1) 当然()n x f x f n ?-)()(都非负可测，利用(1)式和积分的单调性得到 .,11)()(N n mE mE dx mE dx x f x f E E n ≥?<+= +≤-? ? εε ε 因此()N n x f x f n ≥?-)()(是可积的，且 .0)()(lim =-?∞→dx x f x f E n n (2) 又由于 ()E x N n x f x f x f x f n n ∈?≥?+-≤,,)()()()(. 根据()N n x f x f n ≥?-)()(及)(x f n 的可积性即知)(x f 在E 上可积；又()f x 在E 上可测, 也就得到()f x 在E 上可积. 而 (),)()()()()()(dx x f x f dx x f x f dx x f dx x f E n E n E E n ???? -≤-= - 再结合(2)式得到 ?? ∞→=E n n E dx x f dx x f )(lim )(. 14 设)(x f 是可测集E 上的可积函数，令[] n f E e n ≥=. 证明：()lim 0n n n me →∞=. 1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即 实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例 黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11 （5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分) 2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A） 试卷共8 页第 1 页 实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页 ()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论： 2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在 （2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造； ⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用； 《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ??? 本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞ 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有 实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e 9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且 11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明 卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限 1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？ 实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 《实变函数》复习题 黔南民族师范学院数学系 2006年7月 第一章 集 合 论 基 础 一、填空题 1.设?? ????≤≤+?=i x i x A i 1111,，则U =_________________. N i ∈∞ =1i i A 2.设??? ? ??+<≤=i x x A i 110,，则_________________. N i ∈=∞ =I 1i i A 3.??????+?=+1212,012m A m ,??? ???+=m A m 211,02,L ,2,1=m ,则 =n n A lim ____________，=n n A lim ______________. 4.,,2,1),,0(1 ,0(212L ===?m m A m A m m 则 =n n A lim ____________， =n n A lim _______________. 5.欲使{自然数全体}～{正奇数全体},只须令映照=)(n ?___________，为自然数. n 6.欲使～),0(+∞),(+∞?∞，只须令映照=)(x ?___________＿＿,x 为正实数. 7.设M ={代数数全体},则M =________＿__，=M R \1 ___________________. 8.设{实数列全体}，则的势为___________. E ∞=E ∞ 9.设[0,1]中无理数全体所成集为E ，则=E _________. 10.设集合A 、B 、满足：，若C A B C ??A ～，则___________________. C 二、证明题 《实变函数》 一、单项或多项选择题 1、下列正确的是(234 (3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24 ) (1) 无理数集是可数集； (2) 超越数构成的集合是不可数集； (3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等; (4) 0表示全体有理数集，则Q?。也是可数集. 3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则( 2 3 n 6、设几九 wM(X),则(12 3 4 (3) /2 G M(X) 7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是 8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1 (1) 若人 则￡—/,心.; (1) A\(B\C) = (A\B)\C (2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC ) (4)⑷B)\C = A\(BUC ) (1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0} (4) A 为疏集 4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集 ) (2) (3)任意可测函数/在A 上可积 (4) 4为疏集 5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3 (1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数 (3) /在上处处不连续 (4) /在/?上为可测函数 ⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续 (4)兀在［of 上非厶可积 《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63) 《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
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