实变函数(复习资料,带答案)

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=??;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===??; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=??;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =ο

3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B)

{}sup ()n n

f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若

()()n f x f x ?,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数

（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)

?

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则

'

E =______,o

E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都

_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则

()0E

f x >?

四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0ln()

lim cos x n x n e xdx n

∞-+?

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则

lim 0n n

n me ?=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．? 2、[]0,1； ? ； []0,1 3、

***()()m T m T E m T CE =?+?

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=??

-????∑成一有界数集。

三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分

2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，

[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…

4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x

是有界可测函

数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]

120,101

()3

f x dx x dx ==?? (8)

分

2．解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分

又因'

2ln 1ln 0t t

t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………………8分

五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =?=?

B M B ∴??Q 是无限集，可数子集 ………………2分 .A A M M ∴?Q :是可数集， ……………………………….3分 (\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=?=?=????=?=Q 且………..5分

,.E B B c ∴∴=:…………………………6分

2．,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使……….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥Q ………………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续，

x E ∴∈………………5分

E ∴是闭集.………………………….6分

3. 对1ε=，0δ??，使对任意互不相交的有限个

(,)(,)i i a b a b ?

当1

()n i i i b a δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f b f a =-<∑………………2分

将[,]a b m 等分，使11

n

i i i x x δ-=-<∑，对

:T ?101i x z z -=

()()1k

i i i f z f z -=-<∑，所以

()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分

所以1

()1,i i x x f V -≤从而()b

a

f m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界

变差函数………..6分

4、()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞

?≥==+∞= (2)

分

据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ?>?>??<，有

|()|e

f x dx ε

对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>??>≥<，从而

|()|n

n e n me f x dx ε?≤

n me ?=…………………6分

5．,n N ?∈存在闭集()1

,,()2

n n n F E m E F f x ?-<在n F 连续…………2分

令1n k n k

F F ∞∞

===UI ，则,,,()

n n n k

x F k x F n k x F f x ∞

=?∈??∈??≥∈?在F 连续………4分

又对任意k ,()[()][()]n n n k

n k

m E F m E F m E F ∞

∞

==-≤-?=?-

1

()2n k

n k

m E F ∞

=≤-<

∑………………………….6分 故()0,()m E F f x -=在F E ?连续…………..8分

又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的

可测函数……………………..10分

《实变函数》试卷二

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ）

(A) M (B) N (C) M N ? (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点

(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是

闭集；

(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；

4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集；

（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；

5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确

的

(A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积；

(B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11

[,2],1,2,n A n n n =-=L ，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

? ???∑

4、鲁津定理：

__________________________________________

5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8分×2=16分)

1、设,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，

是否L -可积，若可积，求出积分值。2、求极限

13220lim sin 1n nx nxdx n x

→∞+?. 五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. （6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.（8分）设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ?，使|()()|b

a f x x dx ?ε-

（答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A

二、1，()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤

4，设()f x 是E

上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，

使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>?>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,,,i i a b i n =L 只要()1n

i i i b a δ=-<∑，就有

1

|()()|n

i

i

i F b F a ε=-<∑

三、1．错误 记(0,1)中有理数全体

12{,,}R r r =L 1

2

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??==??=?L 为，

中无理数，

显然[01]0111?-是，到（

，）上的映射。……………5分 2．正确…设i E 为零测度集， **1

1

0()0i i i m E m E ∞∞

==≤≤=∑U ，所以，

*1

()0i i m E ∞==U 因此，1

i i E ∞

=U 是零测度集。……………5分

3．错误。例如：取(0,),E =+∞作函数列：

1,(0,]()1,2,0,(,)

n x n f x n x n ∈?==?∈+∞?L

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，

[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞

且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.……5分

4．错误……2分例如：cos ,01,()20,0.

x x f x x

x π?<≤?

=??=?显然是[]0,1的连续函数。

如果对[]0,1取分划1111

:0122132

T n n <

<<<<<-L ，

则容易证明21111

|()()|n

n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10

()V f =∞…5分

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集…………3分

因为()f x 是有界可测函数，所以()f x 在[]0,1上是L -可积的……….6分

因为()f x 与x ..a e 相等, 进一步，[]

1

0,10

1

()2

f x dx xdx ==

??…8分 2设322

()sin 1n nx

f x nxdx n x

=

+，则易知当n →∞时，()0n f x →………………2分

又22

|()|1n nx

f x n x

≤

+………………4分 但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的………6分 故有0

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞

∞

==??………………8分

五、1．,()x E f x c ?∈>……………………..1分

Q ()f x 在x 点连续，∴对()0,(,),f x c U x εδ=->?当

(,)y U x δ∈时，

有()()f y f x ε-<…………………3分

()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>，y E ∴∈…5分

因此(,)U x E δ?，从而E 为开集……………..6分 2．对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使

*1

()n m G E n

-<

…1分 令1

n n G G ∞

==I ，则G 是可测集……………3分

又因*

()m G E -*

1

()n m G E n

≤-<对一切正整数n 成立，因而

*()0m G E -=，即M G E =-是一零测度集，所以也可

测.………………5分

由()E G G E =--知，E 可测。………………6分 3、易知()()x

a g x f V =是[],a

b 上的增函数……………2分

令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有

2

1212121212121()()()()[()()]

()[()()]|()()|[()()]0

x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥

所以()h x 是[],a b 上的增函数……………4分

因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限增函数…….6分

4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于

任意的k Z +∈，存在可测集k E E ?，()n f x 在k E 上一致收敛于

()f x ，且1

(\)k m E E k

<

………3分 令*

1

k k E E ∞

==U ，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ………5分

*

1

1

(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k

∞

==≤<

U ，k=1,2L

所以*(\)m E E 0=……………………8分

5、证明：设[||],n e E f n =>由于()f x 在E 上..a e 有限，故

0,()n me n →→∞….2分

由积分的绝对连续性，对任何0,N ε?>?，使

|()|4

N

N e N me f x dx ε

?≤<

?………4分

令\N N B E e =，在N B 上利用鲁津定理，存在闭集N N F B ?和在

1R 上的连续函数()x ?使（1）(\);4N N m B F N

ε

<

（2）N x F ∈时，()()f x x ?=，且1

sup |()|sup |()|N

x F x R x f x N ?∈∈=≤………6分

所以

\|()()||()()||()()||()||()||()()|24

44

4

2

N

N

N

N

N N

b

a

e B e e B F N

f x x dx f x x dx f x x dx

f x dx x dx f x x dx N me N N

?????ε

ε

ε

ε

ε

ε

-≤-+-≤++-≤

+?+?

≤

+

+

=?

?????……

…...8分

《实变函数》试卷三（参考答案及评分标准）

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、设1

[,2(1)],1,2,n n A n n

=+-=L ，则（ B ）

(A) lim [0,1]n n A →∞

= （B ）=∞

→n n A lim (0,1]

(C) lim (0,3]n n A →∞

= （D ）lim (0,3)n n A →∞

=

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的（ D ） （A ）'

[0,1]E = (B) o

E =? (C) E =[0，1] (D) 1mE = 3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若B A ?，则B m A m **≤ （B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D ）凡开集、闭集皆可测

4、设}{n E 是一列可测集，ΛΛ????n E E E 21，且

+∞<1mE ，则有（ A ）

（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞

→∞=≤???

???lim 1

（C ）n n n n mE E m ∞

→∞=

???lim 1;（D ）以上都不对

5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的（ B ） (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导（C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设集合N M ?，则()M M N --=______N ____

2、设P 为Cantor 集，则 =P c ，mP =_0____，o

P =-___?_____。

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

___***()()m T m T E m T CE =?+?_______，则称E 是L 可测的

4、叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于个

..e a 有限的函数f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集

E E ?δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

5、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的 充要 条件是|)(x f |在E 上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”） 三、下列命题是否成立若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)

1、任意多个开集之交集仍为开集。 解：不成立 2分

反例：设G n =( n n 1

1,11+--- ),n=1,2,, 每个G n 为开集

但

I

∞

=-=1

]1,1[n n G 不是开集. 5分

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.解：不成立 反例:设E 是

Cantor 集，则0mE =， 但E =c ， 故其为不可数集 .5分 3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 …2分

例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]

()1,2,0,(,)n x n f x n x n ∈?==?∈+∞?L

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，

[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞

且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1 …5分 4、连续函数一定是有界变差函数。

解：不成立 2分

例如：cos ,01,

()20,0.

x x f x x

x π?

<≤?=??=?显然是[]0,1的连续函数。 如果对[]0,1取分划1111

:0122132

T n n <

<<<<<-L ，

则容易证明21111

|()()|n

n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10

()V f =∞ ……5分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()0,x x f x x ?=??为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在0x =处连续，即不连续点为正测度集 ……..3分 因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的 …6分

因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，

[

]

120,101

()3

f x dx x dx ==?? …8分

2、求极限 12

1

3220lim sin 1n nx

nxdx n x

→∞

+?

解：记1

2

3

22

()sin 1n nx f x nx n x

=+ 则)(x f n 在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R ）可积和（L ）可积. ……………..2分

又 ]1,0[,0)(lim ∈=∞

→x x f n n ……4分

1

11

22

3

222221|()||sin |||2

11n nx nx f x nx x n x n x -=≤≤?++

Λ,2,1],1,0[=∈n x ……….6分

且2

1

2

1-?x 在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue 控制收敛定理得 12

11

13

22

000lim()()lim sin 001n n n nx R f x dx nxdx dx n x →∞→∞===+??

? .8分 五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Q r r =L ,令

()x ?=12

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??

==??=?L 为，

中无理数， 显然[01]0111?-是，到（

，）上的映射 ……5分 所以(0,1)~[0,1] ……6分

2、（6分）设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

证明: .)(,00c x f E x >∈?即 ….1分 因f （x ）连续，故

c x f x x >?∈?>?）时，有(),(,00δδ. ………….4分

即E x ??)(0.所以0x 是E 的内点.

由0x 的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集. 6

分

3、（6分）设()f x 是可测集E 的非负可积函数，()g x 是E 的可测函数，且|()|()g x f x ≤，则()g x 也是E 上的可积函数。 证明：Q |()|()g x f x ≤，()(),()()g x f x g x f x +

-

∴≤≤ …………1分

[]()()()n

n

n

n

E E E

g x dx f x dx f x dx +

??∴≤

≤?????

Q ()f x 是可测集E 的非负可积函数 ∴ lim

n →∞

()()n

n

E E

g

x dx f x dx +

??≤????<+∞

∴()g x +是E 上的可积函数. ….. 4分

同理，()g x -也是E 上的可积函数.

∴()g x 是E 上的可积函数。 …… 6分

4、（6分）设()f x 在E 上积分确定，且()().f x g x a e =于E ，则()g x 在E 上

也积分确定，且()()E

E

f x dx

g x dx =??

证明：Q ()().f x g x a e =于E

∴[]0mE f g ≠=

∴[]

[]

()()0E f g E f g f x dx g x dx ≠≠==?

?

∴ []

[]

()()()E

E f g E f g f x dx f x dx f x dx =≠=+??

?

[]

[]

()()()E f g E f g E

g x dx g x dx g x dx =≠=+=?

?

?

Q ()f x 在E 上积分确定，∴()g x 在E 上也积分确定，且

()()E

E

f x dx

g x dx =?

?

5、（10分）设在E 上)()(x f x f n ?,而..)()(e a x g x f n n =成

立,Λ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ?

证明:记][n n n g f E E ≠=,由题意知0=n mE

由0)(1

1

=≤?∑∞

=∞

=n n n n mE E m 知0)(1

=?∞

=n n E m …2分

对任意0>δ,由于]|[|)(]|[|1

σσ≥-???≥-∞

=f f E E f g E n n n n

从而有

])|[|(])|[|()(]|[|1σσσ≥-=≥-+?≤≥-∞

=f f E m f f E m E m f g mE n n n n n

又因为在E 上)()(x f x f n ?,故

0])|[|(lim =≥-∞

→σf f E m n n ……8分

所以0])|[|(lim ])|[|(lim 0=≥-≤≥-≤∞

→∞

→σσf f E m f g E m n n n n

于是: 0])|[|(lim =≥-∞

→σf g E m n n

故在E 上有)()(x f x g n ? ……10分

《实变函数》试卷四（参考答案及评分标准）

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设P 为Cantor 集，则 C

（A ）=P 0 (B) 1=mP (C) P P ='

(D) P P =ο

2. 下列说法不正确的是( C )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B)

0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚

点(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚(D) 内点必是聚点

3.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C )

(A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上.有限

(C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积

4. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ????L L ，则有（B ）

（A ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E mE ∞=→∞

??

?= ???

（C ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞

??

?= ???;（D ）以上都不对

5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的( D )

(A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积 (C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11[,2],1,2,n A n n n =-=L ，则=∞→n n A lim _（0，2）________。

2、设E R ?,若,E E ?'则E 是 闭 集；若0

E E ?，则E 是 开__集；若'E E =，则E 是___完备_____集.

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

?≤ ???∑

4、鲁津定理：___设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任

意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函

数，且(\)m E E δδ<________，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切划分，

使11|()()|n i i i f x f x -=??

-????∑成一有界数集，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三.下列命题是否成立若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ?B 是可数集. 解：成立 2分 因A 可数,所以可设A={a 1,a 2,…,a n ,…},

又B 至多可数,设B={b 1,b 2,…,b n }(当B 有限时),或 B={b 1,b 2,,b n,}(当B 可数时) 当B 有限时,

{}ΛΛΛ,,,,;,,,2121n n a a a b b b B A =?

当B 可数时,{}ΛΛ,;,,,,2211n n a b a b a b B A =? 所以B A ?可数. ……5分 (注:可分φ=?B A 和φ≠?B A 讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法).

2、若0=mE ，则0=E m .

解：不成立. …….2分

反例：E 为]1,0[中的全体有理点集，则有0=mE ，而

1=E m ……5分

注：其余例只要正确即可。

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数

解：不成立.…………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的 可测函数………………………5分

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则

()0E

f x >?

解：不成立.………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?…5分

四.解答题(8分×2=16分) 1、（8分）设

,()1,x x f x x ?=?

?

为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连

续，即不连续点为正测度集…………………..3分

因为()f x 是[]0,1上的有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分

因为()f x 与x ..a e 相等，进一步，[]

1

0,10

1

()2

f x dx xdx ==

??…8分

2、（8分）求0ln()lim cos x

n x n e xdx n ∞

-+?

解：设ln()()cos x n x n f x e x n -+=，

则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分

又因'

2ln 1ln 0t t

t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………4分 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………8分

五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥Q …………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续，

x E ∴∈…………………………5分

E ∴是闭集.……………….6分

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可

测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使

*1()n m G E n -<…1分 令1

n n G G ∞

==I ，则G 是可测集 …3分

又因*()m G E -*1

()n m G E n

≤-<

对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，

即M G E =-是一零测度集，所以也可测.…………5分

由()E G G E =--知，E 可测。 6分

3.（6分） 设)}({x f n 为E 上可积函数列，e a x f x f n n

.)()(lim =.

于E ，且?

n k dx x f |)(|，k 为常数，则)(x f 在E 上可积.

由e a x f x f n n

.)()(lim =于E 得e a x f x f n n

.|)(||)(|lim =于E .1分

再由Fatou 引理

??

?∞<≤≤=∞→∞

→E

E E

n n n n k dx f dx f dx f ||lim ||lim || ….4分

所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ..6分 4.（6分）设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”

一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x .

证明： 因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以

对于任意的k Z +

∈，存在可测集k E E ?，()n f x 在k E 上一致收敛于()f x ，且1

(\)k m E E k

<

…2分 令*

1

k k E E ∞

==U ，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……4分

*

1

1

(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k

∞

==≤<

U ，k=1,2L 所以*(\)m E E 0=………6分

5.（10分）试用Fatou 引理证明Levi 定理.

证明：设{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测函数，且在E 上有Λ,2,1),()(1=≤+n x f x f n n ，令

)(lim )(x f x f n n

= …………2分

由{}n f 为单调可测函数列知，)(x f 可测，且)()(x f x f n ≤ 于是

??

≤E

E

n dx x f dx x f )()(

从而 ??≤E

E

n n

dx x f dx x f )()(lim …（*） ……6分

另一方面，因{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测

函数，由Fatou 引理知

dx x f dx x f dx x f E

n n

E

n n

E

???

≤=)(lim )(lim )( （**） …8分

由（*）、（**）两式即证

??=E

E

n n

dx x f dx x f )()(lim ….…10分