知识讲解动能和动能定理基础

【学习目标】

1．通过设计实验探究功与物体速度的变化关系.

2．明确动能的表达式及含义．

3．能理解和推导动能定理．

4．掌握动能定理及其应用．

【要点梳理】

要点一、探究功与速度变化的关系

要点诠释：

1.探究思路

让小车在橡皮绳的弹力下弹出，沿木板滑行。由于橡皮绳对小车做功，小车可以获得速度，小车的速度可以通过打点计时器测出。这样进行若干次测量就可以得到多组数据，通过画图的方法得出功与速度的关系。

2. 操作技巧

（1）功的变化我们可以通过由一根橡皮绳逐渐增加到若干根的方法得到。

（2）要将木板倾斜一定角度，使小车在木板上沿斜面向下的重力的分力与其受的摩擦力相等，目的是让小车在木板上可以做匀速直线运动。

3.数据的处理

以单根橡皮绳做的功为横坐标，以速度的平方为纵坐标描点连线，画出图象。

4.实验结论

画出2W v -图象，图象为直线，即2W v ∝。

要点二、动能、动能的改变

要点诠释：

1.动能：

(1)概念：物体由于运动而具有的能叫动能．物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半．

(2)定义式：212

k E mv =，v 是瞬时速度． (3)单位：焦(J)．

(4)动能概念的理解．

①动能是标量，且只有正值．

②动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能．

③动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系研究物体的运动．

2.动能的变化：

动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负．“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量．动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功．

要点三、动能定理

要点诠释：

(1)内容表述：外力对物体所做的总功等于物体功能的变化．

(2)表达式：21k k W E E =-，W 是外力所做的总功，1k E 、2k E 分别为初、末状态的动能．若初、末速

度分别为v 1、v 2，则12112k E mv =，22212

k E mv =．

(3)物理意义：

动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化．变化的大小由做功的多少来量度．动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系，即做功的过程是能量转化的过程．等号的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，并不意味着“功就是动能增量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起物体动能的变化”．

(4)动能定理的理解及应用要点．

动能定理虽然可根据牛顿定律和运动学方程推出，但定理本身的意义及应用却具有广泛性和普遍性． ①动能定理既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程．

②动能定理既适用于物体做直线运动情况，也适用于物体做曲线运动情况．

③动能定理的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的一个系统．

④动能定理的研究过程既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对运动的全过程． ⑤动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度．

⑥在21k k W E E =-中，W 为物体所受所有外力对物体所做功的代数和，正功取正值计算，负功取负值

计算；21k k E E -为动能的增量，即为末状态的动能与初状态的动能之差，而与物体运动过程无关．

要点四、应用动能定理解题的基本思路和应用技巧

要点诠释：

1.应用动能定理解题的基本思路

（1）选取研究对象及运动过程；

（2）分析研究对象的受力情况及各力对物体的做功情况：受哪些力哪些力做了功正功还是负功然后写出各力做功的表达式并求其代数和；

（3）明确研究对象所历经运动过程的初、末状态，并写出初、末状态的动能1K E 、2K E 的表达式；

（4）列出动能定理的方程：21K K W E E =-合，且求解。

2.动能定理的应用技巧

（1）由于动能定理反映的是物体在两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制。

（2）一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而往往用动能定理求解简捷；可是有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解。可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识。

要点五、动能定理与牛顿第二定律的联系和区别

在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系．而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立．动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体． 要理解动能定理与牛顿第二定律的联系与区别，应该从两者反映的物理规律的本质上加以认识．我们知道力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，而两者都是来描述力的这种作用效果的．前者对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而后者注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果．

动能定理是从功的定义式出发，结合牛顿第二定律和动力学公式推导出来的，所以它不是独立于牛顿第二定律的运动方程，但它们有较大的区别：牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系；动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效

果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系，因而它们是研究力和运动的关系的两条不同途径．把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究，是研究方法上的一大进步．

动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功．力可以是各种性质的力，既可以是同时作用，也可以是分段作用，只要能够求出作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在．

【典型例题】

类型一、对“探究功与速度变化的关系”实验的考查

例1、关于“探究功与速度变化的关系”实验中，下列叙述正确的是( )

A ．每次实验必须设法求出橡皮筋对小车做功的具体数值

B ．每次实验中，橡皮筋拉伸的长度没有必要保持一致

C ．放小车的长木板应该尽量使其水平

D ．先接通电源，再让小车在橡皮筋的作用下弹出

【解析】实验中没有必要测出橡皮筋做的功到底是多少，只要测出以后各次实验时橡皮筋做的功是第一次实验时的多少倍就已经足够了，A 错；每次实验橡皮筋拉伸的长度必须保持一致，只有这样才能保证以后各次实验时，橡皮筋做的功是第一次实验时的整数倍，B 错；小车运动中会受到阻力，只有使木板倾斜到一定程度，使重力沿斜面方向的分力与阻力相平衡，才能减少误差，C 错；实验时，应该先接通电源，让打点计时器开始工作，然后再让小车在橡皮筋的作用下弹出，D 正确．

【答案】D

类型二、对动能、动能变化的理解

例2、一质量为0.1 kg 的小球，以5m/s 的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )

A ．△v ＝10 m/s

B ．△v ＝0

C ．△E k ＝1 J

D ．△

E k ＝0

【思路点拨】 本题考察动能的变化k E

【答案】A 、D

【解析】速度是矢量，故△v ＝v 2-v 1＝5m/s ＝10m/s ．而动能是标量，初末两态的速度大小相等，故动能相等，因此△E k ＝0．选A 、D ．

【总结升华】物体速度大小变化相等时，物体的动能变化大小是不相同的。

举一反三

【变式】关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化，下列说法正确的是( )．

A ．运动物体所受的合外力不为零，合外力必做功，物体的动能肯定要变化

B ．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变

C ．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零

D ．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化

【答案】B

【解析】关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化三者之间的关系有下列三个要点：

(1)若运动物体所受合外力为零，则合外力不做功(或物体所受外力做功的代数和必为零)，物体的动能绝对不会发生变化．

(2)物体所受合外力不为零，物体必做变速运动，但合外力不一定做功；合外力不做功，则物体动能不变化．

(3)物体的动能不变，一方面表明物体所受的合外力不做功；同时表明物体的速率不变(速度的方向可以不断改变，此时物体所受的合外力只是用来改变速度方向产生向心加速度，如匀速圆周运动)． 根据上述三个要点不难判断，本题只有选项B 是正确的．

类型三、动能定理求匀变速直线运动问题

例3、如图所示，质量为m 的物体，从高为h 、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求：

(1)物体滑至斜面底端时的速度；

(2)物体在水平面上滑行的距离．

【思路点拨】物体在斜面上做匀加速运动，在水平面上做匀减速运动，两过程可分别应用动能定理求解。

【答案】（1）v =2）h

l μ=

【解析】(1)由动能定理可得212

mgh mv =，解得v =． (2)设物体在水平面上滑行的距离为l ，由动能定理得2102

mgl mv μ-=-，解得22v h l g μμ==． 此题也可对整个过程运用动能定理求解：00mgh mgl μ-=-，整理得h

l μ=．

【总结升华】该题用牛顿运动定律也能求解，但用动能定理不涉及中间过程，所以解法更为简单，特别是对全程应用动能定理时更简单．

举一反三

【高清课程：动能和动能定理 例6】

【变式1】如图所示，质量为m 的物体从斜面上的A 处由静止滑下,在由斜面底端进入水平面时速度大小不变,最后停在水平面上的B 处。量得A 、B 两点间的水平距离为s ，A 高为h ，已知物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，则此动摩擦因数μ= 。

【答案】=μh s

【变式2】如图所示，ABCD 是一条长轨道，其中AB 段是倾角为θ的斜面，CD 段是水平的．BC 是与AB 和CD 都相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计．一质量为m 的小滑块在A 点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D 点，A 点和D 点的位置如图所示．现用一沿着轨道方向的力推滑块，把它缓慢地由D 点推回到A 点时停下．设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于( )

A ．mgh

B ．2mgh

C ．1sin h mg μθ?

?+ ???

D ．cot mgl mgh μμθ+ 【答案】B

【解析】小滑块在斜面上和在平面上运动时都受到三个力，即重力、支持力和摩擦力．整个过程中，支持力由于与速度方向始终垂直，故不做功．从A 到D 的过程中，由动能定理，有

0f G F W W -=，故f F G W W mgh ==．

当它返回时，从D 到A 的过程中，重力和摩擦力均做负功，因推力平行于轨道，所受摩擦力大小跟A 到D 相同，做的功也相等，均为f F W -．

从D 到A 的返回过程，根据动能定理，有

0f

F F W mgh W --=． 故2f

F F W mgh W mgh =+=． 【总结升华】本题中，往返两过程均克服摩擦力做功，且相等，所以不必通过求力和位移找摩擦力做功的表达式．

类型四、动能定理求曲线运动问题

例4、某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以a v ＝5 m/s 的水平初速度由a 点弹出，从b 点进入轨道，依次经过“8002”后从p 点水平抛出．小物体与地面ab 段间的动摩擦因数μ＝，不计其他机械能损失．已知

ab 段长L ＝1.5 m ，数字“0”的半径R ＝0.2 m ，小物体的质量m ＝0.0l kg ，g 取10 m/s 2．求：

(1)小物体从p 点抛出后的水平射程；

(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．

【思路点拨】解题的关键是抓住小球到最高点恰无作用力，此时重力作为向心力，在应用动能表达式时，搞清初、末状态．

【解析】(1)设小物体运动到p 点时的速度大小为v ，对小物体由a 运动到p 过程应用动能定理得：

2211222

a mgL Rmg mv mv μ--=-． ① 小物体自p 点做平抛运动，设运动时间为t ，水平射程为s ，则2122

R gt =， ② s ＝vt ． ③

联立①②③式，代入数据解得s ＝0.8 m ． ④

(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F ，取竖直向下为正方向，

2

mv F mg R

+=．⑤ 联立①⑤式，代入数据解得F ＝ N ．

方向竖直向下．

【总结升华】本题的物量情景新颖，实质考查的是平抛运动、圆周运动的有关知识及动能定理的运用，小球在数字“2008”中运动的过程中4个最高点时的速度是相同的，可以根据具体情况选取不同的过程列方程，解得的结果相同．

【高清课程：动能和动能定理 例5】

【变式】质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）

【答案】C

类型五、动能定理求多过程问题

例5、如图所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2 m/s 的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝10kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2 m 的

高处．已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=，g 取10 m/s 2．

(1)试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动

(2)工件从传送带底端运动h ＝2 m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功

【思路点拨】对于传送带问题，关键是弄明白物体在不同运动过程中的受力情况。

【解析】(1)工件刚放上皮带时受滑动摩擦力：F ＝μmg cosθ，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律：F-mg sin θ＝ma 可得：

sin F a g m θ=-(cos sin )g μθθ=-10sin 30?=?-????

°°＝2.5m/s 2． 设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：

2202m 0.8m 4m 22 2.5sin v h x a θ

===<=?． 故工件先以2.5 m/s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动．

(2)在工件从传送带底端运动至h ＝2 m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功W F ，由动能定理得2012

F W mgh mv -=， 可得：2201110102J 102J 220J 22F W mgh mv =+

=??+??= 【总结升华】本题第(2)问也可直接用功的计算式来求：

设工件在前0.8m 内滑动摩擦力做功为W F1，此后静摩擦力做功为W F2，则有

1cos 1010cos300.8J 60J ==???=μθF W mg x °， 2sin 1010sin 30(40.8)J 160J sin F h W mg x θθ??=-=???-= ???

°． 所以，摩擦力对工件做的功一共是

1260J 160J 220J F F F W W W =+=+=．

当然，采用动能定理求解要更为简捷些．

举一反三

【高清课程：动能和动能定理 例8】

【变式】质量为m 的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为,tan <μμθ，斜面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板,滑块滑到底端与它碰撞时没有机械能损失,如图所示．若滑块从斜面上高为h 处以速度v 0开始沿斜面下滑,设斜面足够长,求：滑块在斜面上滑行的总路程是多少

【答案】2022cos +=μθ

v gh S g

类型六、应用动能定理求解变力做功的问题

例6、一辆汽车在平直的公路上从速度0v 开始加速行驶，经过一段时间t ，前进了距离s ，此时恰好到其最大速度max v 。设此过程中汽车发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受的阻力恒为F ，则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）

A.max Fv t

B.Pt

C.22max 01122mv Fs mv +-

D.0max 2

v v Ft + 【思路点拨】当汽车以额定功率行驶时汽车牵引力为变力，即汽车牵引力做功为变力做功。

【答案】ABC

【解析】汽车在恒定功率作用下做变牵引力的加速运动，所以发动机做的功为变力做功。 根据W P t

=，可得W Pt =；而max P F v Fv '==，所以汽车做功还可写为max W Fv t =； 根据动能定理22max 01122W Fs mv mv -=-，得22max 01122

W mv Fs mv =+-；故ABC 选项正确。 【总结升华】变力做功问题不能直接用W Fs =求得，而是运用动能定理或能量守恒来解决。

举一反三

【高清课程：重力势能和弹性势能 例4】

【变式】在光滑的水平面上，物体A 以较大的速度v A 向右运动，与较小速度v B 向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B 发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（ ） A 、 v A > v B

B 、 v A < v B

C 、 v A = v B

D 、无法确定

【答案】C