求极限方法汇总(含例题及考研真题)

1、常用等价无穷小：当0x →时， sin x x :，tan x x :，arcsin x x :， 2

11cos 2

x x -:，ln(1+x)~x ，ex-1~x ，(1+x)a-1~ax ，ax-1~xlna ） 2、泰勒公式（麦克劳林公式） n

n x n f x f x f f x f !

)0( !2)0()0()0()()(2+???+''+

'+≈ n x x n x x e !

1 !2112+???+++≈

)()!12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+???++-=-- 3、洛必达法则

定理1 （洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(x g x f 满足条件： (1) ;0)(lim ,0)(lim ==x g x f

(2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='')

()

(lim

(或∞) 则 A x g x f x g x f =='')

()

(lim )()(lim

(或∞). 定理2 （洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(x g x f 满足条件： (1) ;)(lim ,)(lim ∞=∞=x g x f

(2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='')

()

(lim

(或∞) 则 A x g x f x g x f =='')

()

(lim )()(lim

(或∞). 4、定积分定义

定积分是用极限来定义的

∑?

=→?=n

i i i b

x f dx x f 1

)(lim )(ξλ

5、两个重要极限

1sin lim 0=→x x x ，e x

x x =+∞→)11(lim

1（2010数学一）

2013

(1) 设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2

x π

α<，则当0x →时，()x α是

( )

(A) 比x 高阶的无穷小 (B) 比x 低阶的无穷小 (C) 与x 同阶但不等价的无穷小 (D) 与x 等价的无穷小【答案】(C)

【解析】cos 1sin ()x x x α-=?Q ，（已知条件）2

1cos 1~2

x x --

21sin ()~2x x x α∴?- 1

sin ()~2

x x α∴-

又sin ()~()x x ααQ （sin x x :） 1

()~2

x x α∴-

∴()x α与x 同阶但不等价的无穷小. 所以选（C ）.

3（2010数学三）若1])1

(1[lim =--→x o x e a x x 则a =

A0 B1 C2 D3 答案：C

6（2010数学三）求极限x

x x x ln 11)

1(lim -+∞

→

答案：

ln 11ln 2ln ln )

1(lim 1

ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim

,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(lim

ln ln -+∞

→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-?=-→+∞→-?-=-e x x

x x x

x e x e x

x x x e xe x e x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x 故而当Θ

e^x-1~x

9（2011数学一）求极限1

0ln(1)lim x

x x x -→+??

???

【答案】1

【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞

形式的极限。计算时先按1∞

未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。

(00

1,0,∞∞形式未定式，可以采用()ln ()()

g x f x f x e =g(x)

形式运用洛必达法则)

【解析】：1

00ln(1)ln(1)lim lim 1x

x x x x x x x --→→++-????=+

? ???

001

11ln(1)ln(1)1lim

lim lim 1

2x x x x x x

x x x x e x x

→→→-+-+-+-===

lim

2(1)2

x x x x e

e →--

+==

12（2011数学二）=+→x

x x 1

0)2

21(

lim 答案：2 （1∞型）

15（2012）(本题满分 10 分)

已知函数()11

sin x f x x x

-，记()0lim x a f x →=，

（I ）求a 的值;

（I ）()00011

lim lim sin sin lim 011sin sin x x x x a f x x x x x x x x x

→→→+==--=+=+=（

）

（）（重要极限）

（II ）若0x →当时，()f x a -与k

x 是同阶无穷小，求常数k 的值.

（II ）()0

0011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x x

x →→→+--????

-=--=+??

? ??????? ()()3

001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x →→-+??== ???

贴现利息的计算题

票据贴现利息的计算票据贴现利息的计算分两种情况：（1）票据贴现贴现利息=票据面值x贴现率x贴现期不带息票据不需要算到期值他的面值就是到期值带息票据要算到期值（2）带息票据的贴现票据到期值=票据面值+票面面值*票面利率*票据期限票据到期值=票据面值×(1+贴现率×票据期限/12) 贴现利息=票据到期值x贴现率x贴现天数/360 贴现利息=票据到期值x贴现率x贴现月数/12 贴现实际所得额=票据面值-贴现息【例】：汇票金额10000元，到期日2006年7月20日，持票人于4月21日向银行申请贴现，银行年贴现利率3.6%：贴现利息=10000x90x3.6%/360=90元，银行在贴现当日付给持票人9910元，扣除的90元就是贴现利息。一公司于8月15日拿一张银行承兑汇票申请贴现面值1000000贴现率2．62％，签发于上年的12月30日，到期日为10月29日，贴现息如何计算？ 16（16-31日）+30（9月）+29（1-29日）=75天贴现息=1000000x 75x（2.62%/360）=5458.33 〔例〕2004年3月23日，企业销售商品收到一张面值为10000元，票面利率为6%，期限为6个月的商业汇票。5月2日，企业将上述票据到银行贴现，银行贴现率为8%。假定在同一票据交换区域，则票据贴现利息计算如下：票据到期值=10 000 x（1+6×6% /12）=10 300（元）该应收票据到期日为9月23日，其贴现天数应为144天（30 +30 +31 +31+23-1）

票据贴现利息=票据到期值x贴现率x贴现天数/360＝103 00 x 8% x 144/360=329.60（元）

考研极限试题(卷)

“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军

序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”，该考试大纲除了在1996年实施了一次重大的修补以外，从1997年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。

第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。 3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。 6、掌握极限的性质与四则运算。 7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。 9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。 10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。 11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。 §1 函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。

统计学计算题例题及计算分析

计算分析题解答参考 1.1．某厂三个车间一季度生产情况如下：计算一季度三个车间产量平均计划完成百分比和平均单位产品成本。解：平均计划完成百分比＝实际产量/计划产量＝733/（198/0.9+315/1.05+220/1.1）＝101.81% 平均单位产量成本 X=∑xf/∑f=(15*198+10*315+8*220)/733 =10.75(元/件) 1.2．某企业产品的有关资料如下：试分别计算该企业产品98年、99年的平均单位产品成本。解：该企业98年平均单位产品成本 x=∑xf/∑f=(25*1500+28*1020+32*980)/3500 =27.83(元/件) 该企业99年平均单位产品成本x=∑xf /∑(m/x)=101060/(24500/25+28560/28+48000/32) =28.87(元/件) 年某月甲、乙两市场三种商品价格、销售量和销售额资料如下： 1.3．1999 解：三种商品在甲市场上的平均价格x=∑xf/∑f=(105*700+120*900+137*1100)/2700 =123.04(元/件) 三种商品在乙市场上的平均价格x=∑m/∑(m/x)=317900/(126000/105+96000/120+95900/137) =117.74(元/件) 2.1．某车间有甲、乙两个生产小组，甲组平均每个工人的日产量为22件，标准差为 3.5件；乙组工人日产量资料：

试比较甲、乙两生产小组中的哪个组的日产量更有代表性？解：∵X 甲=22件 σ甲=3.5件 ∴V 甲=σ甲/ X 甲=3.5/22=15.91% 列表计算乙组的数据资料如下: ∵x 乙=∑xf/∑f=(11*10+14*20+17*30+20*40)/100 =17(件) σ乙= √[∑(x-x)2 f]/∑f =√900/100 =3(件) ∴V 乙=σ乙/ x 乙=3/17=17.65% 由于V 甲＜V 乙,故甲生产小组的日产量更有代表性。 2.2．有甲、乙两个品种的粮食作物，经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤，标准差为162.7斤；乙品种实验的资料如下：试研究两个品种的平均亩产量，确定哪一个品种具有较大稳定性，更有推广价值？解：∵x 甲=998斤 σ甲=162.7斤 ∴V 甲=σ甲/ x 甲=162.7/998=16.30% 列表计算乙品种的数据资料如下:

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

财务管理学计算公式及例题

财务管理学计算公式与例题第二章时间价值与收益风险 1.单利终值是指一定量的资本在若干期以后包括本金和单利利息在内的未来价值。单利终值的计算公式为： F＝P＋P×n×r＝P×（1＋n×r）单利利息的计算公式为： I=P×n×r 式中：P是现值（本金）；F是终值（本利和）； I是利息；r是利率；n是计算利息的期数。某人于20x5年1月1日存入中国建设银行10000元人民币，存期5年，存款年利率为5%，到期本息一次性支付。则到期单利终值与利息分别为：单利终值=10 000×（1+5×5%）=12 500（元）利息=10 000×5%×5=2 500（元） 2.单利现值是指未来在某一时点取得或付出的一笔款项，按一定折现率计算的现在的价值。单利现值的计算公式为：某人3年后将为其子女支付留学费用300 000元人民币，20x5年3月5日他将款项一次性存入中国银行，存款年利率为 4.5%。则此人至少应存款的数额为：第n期末：F=P×（1+r）n 式中：（1+r）n称为复利终值系数或一元的复利终值，用符号（F/P，r，n）表示。（可查表）因此，复利终值也可表示为：F=P×（F/P，r，n）某人拟购房一套，开发商提出两个付款方案：方案一，现在一次性付款80万元；方案二，5年后一次性付款100万元。假如购房所需资金可以从银行贷款取得，若银行贷款利率为7% ，则：方案一5年后的终值为： F=80×（F/P,7%,5）=80×1.4026=112.208（万元）由于方案一5年后的付款额终值（112.208万元）大于方案二5年后的付款额（100万元），所以选择方案二对购房者更为有利。

2016考研数学：求极限的一般题型

2016考研数学：求极限的一般题型下面总结一下，求极限的一般题型： 1、求分段函数的极限，当函数数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的! 2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉! 解决办法： 1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决? 解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!) 3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了! 4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。 5、极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数。 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋

地方时计算方法及试题精选(DOC)

关于地方时的计算一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则：经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则：经度差=两经度和（和小于180°时）或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即：地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。二．东西位置关系的判断：（1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。（2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。（3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。三．应用举例： 1、固定点计算【例1】两地同在东经或西经已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B 点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方，所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°，则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方，所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方8：00，求B点80°W的地方时。分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A 点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时+8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

考研数学高数习题—极限

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块二极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+

（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限（1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限（1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .

盈亏问题计算公式+例题分析(打印版)

数学运算:盈亏问题计算公式把若干物体平均分给一定数量得对象，并不就是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈; 如果物体不够分，就叫亏。凡就是研究盈与亏这一类算法得应用题就叫盈亏问题。盈亏问题得常见题型为给出某物体得两种分配标准与结果，来求物体数量与参与分配得对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果得组合，这里以一道典型得盈亏问题对三种情况得几种组合加以说明。注意：公司中两次每人分配数得差也就就是大分减小分一、基础盈亏问题 1、一盈一亏（不够）【一次有余（盈），一次不够（亏）】可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友与多少个桃子？” 解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子或8×8+7=64+7=71（个）（答略) 测试：如果每人分9 个苹果，就剩下10 个苹果;如果每人分12 个苹果，就少20 个苹果。 2、两次皆盈（余），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数得差）=人数。例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人） 45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略）测试：如果每人分8 个苹果，就剩下20 个苹果;如果每人分7 个苹果，就剩下30 个苹果。 3、两次皆亏（不够），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生与多少本本子？”解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略）测试：如果每人分11 个苹果，就少10 个苹果;如果每人分13 个苹果，就少30 个苹果。 4、一盈一尽（刚好分完），可用公式：盈÷（两次每人分配数得差）=人数。测试：如果每人分6 个苹果，就剩下40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 5、一亏一尽（刚好分完），可用公式：亏÷（两次每人分配数得差）=人数。测试：如果每人分14 个苹果，就少40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。由上面得问题，我们归纳出盈亏问题得公式：【提示】解决这类问题得关键就是要抓住两次分配时盈亏总量得变化，经过比对后，再来进行计算。【例题1】某班去划船，如果每只船坐4 人，就会少3 只船;如果每只船坐6 人，还有2 人留在岸边。问有多少个同学? （） A、30 B、31 C、32 D、33 解析：此题答案为C。设小船有x 只，根据人数不变列方程：4(x+3)=6x+2，解得x=5。所以有同学6×5+2=32 人。盈亏问题例题讲解：

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。例求下列极限：（1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?

银行贷款利息计算题目附答案

1、某客户2011年8月1日贷款10000元，到期日为2012 年6月20日，利率7.2‰，该户于2012年5月31日前来还款，计算贷款利息应收多少？ 304*7.2‰*10000/30=729.6(元) 2、2012年7月14日，某客户持一张2012年5月20日签发、到期日为2012年10月31日、金额10万元的银行承兑汇票，到我行办理贴现，已知贴现率为4.5‰，我行规定加收邮程为3天，计算票据办理贴现后实际转入该客户账户金额是多少？答:贴现天数为109天,另加3天邮程共112天利息收入:100000*112*4.5‰/30=1680 实际转入该客户账户100000-1680=98320 重点在于天数有天算一天,大月31日要加上,另3天邮程要加上 3、张三2012年1月1日在我行贷款5000元，到期日为 2012年10月20日，利率9‰，利随本清，约定逾期按15‰罚息，张三于2012年12月10日还款，他共要支付多少利息？答：期限内天数293天，293*5000*9‰/30＝439.50 逾期51天，51*5000*15‰/30＝127.50 439.50+127.50＝567元

4、张三2011年1月1日在我行贷款10000元，到期日为 2011年12月31日，利率7.2‰，利随本清，约定逾期按12‰计算罚息，张三于2011年9月1日要求先行归还部分贷款，本金加利息共计5000元，计算本金和利息各是多少？答：归还时天数为243天，本金＝5000÷（1+7.2‰÷30×243）＝4724.47 利息＝275.53 5、如上题，张三在2011年9月1日归还部分贷款后，直到2012年4月10日才来还清贷款，计算他应支付本息共计多少？答：本金＝10000－4724.47＝5275.53 期限内天数＝364天逾期天数＝101天 5275.53×7.2‰÷30×364+5275.53×12‰÷30×101 ＝460.87+213.13 ＝674元（利息）本息合计5275.53+674＝5949.53

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

极限计算方法及例题

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

各种利息计算方法例题

.各种利息计算方法例题利息计算基本公式：利息=本金×利率×存期=本金×天数×日利率=本金×月数×月利率税后利息=利息×80% 天数计算=月×30天+另头天数（如4月24日即为144天）利率表示法：%代表年利率，‰代表月利率，万分比代表日利率。 1、活期储蓄存单：按实际存期有一天算一天，大小月要调整。现行日利率为每天0.2元。例：2006年2月18日存入的活期存单一张，金额为1000元，于06年05月08日支取。问应实付多少利息？解：（158-78-1）天×0.1万×0.2元=1.58元 2、定期存款利息计算： A、提前支取按活期存单的计算方法计算。 B、到期支取的利息=本金×年利率×年数 C、过期支取的利息=到期息＋过期息（到期息参照B，过期息参照A）实付利息=应付利息×80% 例：※2006年03月16日存入一年期存款一笔，金额为50000元，于2006年9月3日支取，利率为2.25%,问应付给储户本息多少？解：实付息=（273-106+4）天×5万×0.2元=171元本息合计=50000+171=50171元 ※2001年6月16日存入五年期存款一笔,金额为20000元,利率为2.88%,于2006年6月16日支取,问应实付多少利息? 解：实付息=20000×2.88%×5年 =2880元. ※2003年01年27日存入三年期存款一笔,金额为12000元,利率2.52%,于2006年6月16日支取,问实付利息为多少? 解：到期息=12000×2.52%×3年=907.2元过期息=(196-57+1)×1.2万×0.2元=33.60元实付利息=(到期息+过期息)=(907.2+34.08)=940.08元.

各种利息计算方法例题[]

各种利息计算方法例题利息计算基本公式：利息=本金×利率×存期=本金×天数×日利率=本金×月数×月利率税后利息=利息×80% 天数计算=月×30天+另头天数（如4月24日即为144天）利率表示法：%代表年利率，‰代表月利率，万分比代表日利率。 1、活期储蓄存单：按实际存期有一天算一天，大小月要调整。现行日利率为每天0.2元。例：2006年2月18日存入的活期存单一张，金额为1000元，于06年05月08日支取。问应实付多少利息？解：（158-78-1）天×0.1万×0.2元×80%=1.26元 2、定期存款利息计算： A、提前支取按活期存单的计算方法计算。 B、到期支取的利息=本金×年利率×年数 C、过期支取的利息=到期息＋过期息（到期息参照B，过期息参照A）实付利息=应付利息×80% 例：※2006年03月16日存入一年期存款一笔，金额为50000元，于2006年9月3日支取，利率为2.25%,问应付给储户本息多少？解：实付息=（273-106+4）天×5万×0.2元×80%=136.80元本息合计=50000+136.8=50136.80元 ※2001年6月16日存入五年期存款一笔,金额为20000元,利率为2.88%,

于2006年6月16日支取,问应实付多少利息? 解：实付息=20000×2.88%×5年×80%=2304元. ※2003年01年27日存入三年期存款一笔,金额为12000元,利率2.52%,于2006年6月16日支取,问实付利息为多少? 解：到期息=12000×2.52%×3年=907.2元过期息=(196-57+1)×1.2万×0.2元=33.60元实付利息=(到期息+过期息)×80%=(907.2+34.08)×0.8=752.64元. 3、利随本清贷款利息计算：方法与活期存单一样，按头际天数有一天算一天。逾期归还的，逾期部分按每天3/万计算。（现行计算方法是按原订利率的50%计算罚息） ※例：某户于2006年2月3日向信用社借款30000元，利率为10.8‰,定于2006年8月10日归还,若贷户于2006年7月3日前来归还贷款时,问应支付多少利息? 解：利息=（213-63+0）天×(10.8‰÷30)×30000元=1620元. ※例：某户于2005年10月11日向信用社借款100000元,利率为9.87‰,定于2006年5月10日到期,贷户于2006年6月15日前来归还贷款,问应支付多少利息? 解：利息=（160+360-311+2）天×100000元×(9.87‰÷30)+(195-160+1)天×100000元×(9.87‰÷30×1.5)=6941.90+1776.60=8718.50元 4、定活两便利息计算：存期不足三个月按活期存款利率计算。三个月以上六个月以下的整个存期按定期三个月的利率打六折计算，六个月以上一年以下的整个存期按定期六个月的利率打六折计算，超过一年的整个存期都按一年期利率

利率表示方法和利息的计算方法

利息计算方法及例题各种利息计算方法例题利息计算基本公式：利息=本金×利率×存期=本金×天数×日利率=本金×月数×月利率税后利息=利息×80% 天数计算=月×30天+另头天数（如4月24日即为144天）利率表示法：%代表年利率，‰代表月利率，万分比代表日利率。 1、活期储蓄存单：按实际存期有一天算一天，大小月要调整。现行日利率为每天0.2元。例：2006年2月18日存入的活期存单一张，金额为1000元，于06年05月08日支取。问应实付多少利息？解：（158-78-1）天×0.1万×0.2元×80%=1.26元 2、定期存款利息计算： A、提前支取按活期存单的计算方法计算。 B、到期支取的利息=本金×年利率×年数 C、过期支取的利息=到期息＋过期息（到期息参照B，过期息参照A）实付利息=应付利息×80% 例：※2006年03月16日存入一年期存款一笔，金额为50000元，于2006年9月3日支取，利率为2.2 5%,问应付给储户本息多少？解：实付息=（273-106+4）天×5万×0.2元×80%=136.80元本息合计=50000+136.8=50136.80元 ※ 2001年6月16日存入五年期存款一笔,金额为20000元,利率为2.88%,于2006年6月16日支取,问应实付多少利息? 解：实付息=20000×2.88%×5年×80%=2304元. ※ 2003年01年27日存入三年期存款一笔,金额为12000元,利率2.52%,于2006年6月16日支取,问实付利息为多少? 解：到期息=12000×2.52%×3年=907.2元过期息=(196-57+1)×1.2万×0.2元=33.60元实付利息=(到期息+过期息)×80%=(907.2+34.08)×0.8=752.64元. 3、利随本清贷款利息计算：方法与活期存单一样，按头际天数有一天算一天。逾期归还的，逾期部分按每天3/万计算。（现行计算方法是按原订利率的50%计算罚息） ※例：某户于2006年2月3日向信用社借款30000元，利率为10.8‰,定于2006年8月10日归还,若贷户于2006年7月3日前来归还贷款时,问应支付多少利息? 解：利息=（213-63+0）天×(10.8‰÷30)×30000元=1620元. ※例：某户于2005年10月11日向信用社借款100000元,利率为9.87‰,定于2006年5月10日到期,贷户于2006年6月15日前来归还贷款,问应支付多少利息? 解：利息=（160+360-311+2）天×100000元×(9.87‰÷30)+(195-160+1)天×100000元×(9.87‰÷30×1.5)=6941.90+1776.60=8718.50元 4、定活两便利息计算：存期不足三个月按活期存款利率计算。三个月以上六个月以下的整个存期按定期三个月的利率打六折计算，六个月以上一年以下的整个存期按定期六个月的利率打六折计算，超过一年的整个存期都按一年期利率打六折算。日期有一天算一天. 例：某存款户于2005年3月1日存入10000元定活两便存款，分别于2005年8月4日、2005年9月1 5日、2006年6月16日支取，问储户支取时分别能得多少利息？（三个月利率为1.71%,半年利率为2.0 7%,一年利率为2.25%）解：2005年8月4日支取时可得利息=(244-91+3)天×(1.71%÷360)×10000元×60%×80%=35.57元. 2005年9月15日可得利息=(285-91+4)天×(2.07%÷360)×10000元×60%×80%=54.65元.