高中数学数列解答题(含答案)

高中数学数列解答题(含答案) 数列解答题

1、设各项均为正数的等比数列设

（1）求数列的通项公式；

（2）若

（3）设，是否存在关于n的整式，使对一切不小于2的整数n都成立？若存在，求出，若不存在，说明理由。

2、设数列{an}的各项都是正数，且对任意nN*，都有a13＋a23＋a33＋……＋an3=sn2,其中sn为数列的前n项和. (Ⅰ)求证：an2=2sn―an；

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅲ)设bn=3n＋(―1)n-12an(为非零整数，nN*)，试确定的值，使得对任意的

nN*，都有bn+1bn成立.

解：(Ⅰ)由已知，当n=1时，a13=s12又∵a10a1=1 (1)

分

当n2时，a13＋a23＋a33＋……＋an3=sn2…………①

a13＋a23＋a33＋……＋

an-13=sn-12…………②………………2分

①―②得：an3=(sn―sn-1)(sn＋sn-1)=an(sn＋

sn-1)∵an0an2=sn＋sn-1

又sn-1=sn―anan2=2sn―an…………3分

当n=1时，a1=1也适合上式an2=2sn―an…………4分(Ⅱ)由（1）知，an2=2sn―an………③当n2时，

an-12=2sn-1―an-1……④

③―④得：an2―an-12=2（sn―sn-1）＋an-1―an=an＋

an-1…………6分

∵an＋an-10an―a n-1=1数列{an}是等差数列，

an=n…………8分

(Ⅲ)∵an=nbn=3n＋(―1)n-12n.要使bn+1bn恒成立，则

bn+1―bn=3n+1＋

(―1)n2n+1―3n―(―1)n-12n=23n―3(―1)n-10恒成立，即(―1)n-1(32)n-1恒成立…………9分，

（1）当n为奇数时，即(32)n-1恒成立，又(32)n-1的最小值为1，1；…………10分

（2）当n为偶数时，即―(32)n-1恒成立，又―(32)n-1的最大值为―32，―32……11分

即―321,又为非零整数，=―1能使得对任意的nN*，都有bn+1bn成立.…12分

3、已知各项均为正数的数列的首项，且，数列是等差数列，首项为，公差为2,其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

解：（1）由题可得：，数列是以1为首项，2为公比的等

比数列。

.……………………………………6分

（2）由题知：，

.…………12分

4、已知数列的前n项和为，点在曲线上且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：．

解：（1）

，数列是等差数列，首项公差d=4

（2）

5、设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），（，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

思路点拨：（本题将函数与数列知识交汇在一起，考查了观察、归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法，考查了等差数列、等差数列的求和公式，考查了同学们观察问题、解决问题的能力。（1）将点代入函数中，通过整理得到与的关

系，则可求；（2）通过观察发现是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80构成等差数列，利用等差数列求和公式可求．。解：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，

故，所以．------------------------1分

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．…………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当时，有上面的求解知，猜想成立．-------------5分

②假设时猜想成立，即成立，

则当时，注意到，

故，．

两式相减，得，所以．

由归纳假设得，，

故．

这说明时，猜想也成立．

由①②知，对一切，成立．……………………………………8分

（Ⅱ）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；

（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以．又=22，所以=2019．………………14分

归纳总结：由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法。证明的关键是根据已知条件和假设寻找与或与间的关系，使命题得证。

6、已知数列满足，，且．（N*）

（I）求数列的通项公式；

（II）若= 试问数列中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？

若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由. 解：（I）由，知，

当为偶数时，；当为奇数时，；……………2分

由，得，即，

所以，

即数列是以为首项，为公比的等比数列

所以，，，

故（N*）…………………5分

（II）由（I）知，

则对于任意的, .………………7分

假设数列中存在三项（）成等差数列，

则，即只能有成立，

所以，………………9分

所以，，

因为，所以，

所以是偶数，是奇数，而偶数与奇数不可能相等，因此数列中任意三项不可能成等差数列．…………………12分

7、已知数列满足：，，．

（Ⅰ）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：；

（Ⅲ）设，求的最大值．

证明：（Ⅰ）∵，------------2分

又，等比数列，且公比为，----------3分

，解得；------------4分

（Ⅱ），------------5分

当时，------------6分

------------8分

（Ⅲ）----------9分

令------------10分

------------11分

------------12分

所以：

故．-------14分

8、已知等差数列的前项和为，a2=4，S5=35．

（Ⅰ）求数列的前项和；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和

解：（Ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．

则，5分

前项和．7分

且b1=e．8分

当n2时，

为定值

数列构成首项为e，公比为e3的等比数列

．13分

数列的前n项的和是．

9、已知等差数列{an}的公差大于0，且是方程的两根，数列{ }的前n项和为，且

(1)求数列{ }、{ }的通项公式；

(2)记，求证：

方法二：数学归纳法

（1）当n=1时，左边=1，右边=1，不等式成立。7分（2）假设n=k结论成立，即：

8分

那么当n=k+1时，

所以当n=k+1时，结论成立。11分

综合以上（1）（2）不等式对于任意的成立。12分

（其它证法以例给分）

10、已知数列的前项和为，若, 。

（1）令，是否存在正整数,使得对一切正整数，总有，若存在,求出的最小值；若不存在,说明理由。

（2）令, 的前项和为,求证：。

解：（1）令，，即

由

即数列是以2为首项、为公差的等差数列，…………………2分

,解得n4,………………………………………………4分

最大,m ,m的最小值为4.……………………………6分(2)∵

………………9分. 3…………………………………………………………………

…12分.

另解

............9分. 3。 (12)

分.

11、已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n3)，记

(n3)．

(1)求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；

(2)设，数列{ }的前n项和为Sn，求证：nn+1．

解：(1)方法一当n3时，因①，

故②．……………………………………2分

②-①，得bn-1-bn-2= = =1，为常数，

所以，数列{bn}为等差数列．…………………………………………………………5分因b1= =4，故bn=n+3．……………………………………8分方法二当n3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，将上两式相除并变形，得．……………………………………2分

于是，当nN*时，

又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(nN*)．

所以数列{bn}为等差数列，且

bn=n+3．………………………………………………8分(2)方法一因，…………………12分

故．

所以，………15分

即n＜Sn＜

n+1．………………………………………………………………………16分

方法二因，故1，．……………………10分

故，于是．……………………………………16分

12、已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足

，．数列满足，为数列的前n项和．

(Ⅰ)求、和；

(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)解法一：在中，令，，

得即……………………(2分)

解得，，…………(3分)

．……(5分)

解法二：是等差数列，

．……(2分)

由，得，

又，，则．……(3分)

( 求法同法一)

（Ⅱ）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．……(6分)

，等号在时取得．

此时需满足．……(7分)

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．……(8分)

是随的增大而增大，时取得最小值．

此时需满足．……(9分)

综合①、②可得的取值范围是．……(10分)

若成等比数列，则，即．…(11分)

（法一）由，可得，

即，……(12分)

．……(13分)

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．……(14分)

（法二）因为，故，即，

，（以下同上）．……(13分)

13、已知各项均为正数的等比数列的公比为，且。

（1）在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项。（ⅰ）求公比；

（ⅱ）若，，，试用表示.

⑴由条件知：，，，

所以数列是递减数列，若有，，成等差数列，

则中项不可能是（最大），也不可能是（最小）， (2)

分

若，（*）

由, ，知(*)式不成立，

故，，不可能成等差数列.……………………………4分⑵(i)方法一：，…6分

由知，，

且…，…………………………8分

所以，即，

所以，…………………………………………………10分

方法二：设，则，……………6分

由知，即，………………8分

以下同方法一.……………………………………………………10分

(ii) ， (12)

分

方法一：，

所以.………………………………16分

方法二：

所以，所以，

累加得，

所以

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。所以.………………………………………16分

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其

实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。1、解：设数列的公比为q(q0)

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且

会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。