【解】 )128(2 1 642122++=++= x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x 以 为中间值,取x 的一些值,列表如下: … …【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表 【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3-=x ; 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b ,2029)5(4 31)5(44422=-?-?-?=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103( ,对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值20 29 =maz y
二次函数y=x2的图像的画法
26.1 二次函数(2) 教学目标: 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 重点难点: 重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点:用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象) 3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么? 二、范例 例1、画二次函数y=x2的图象。 解:(1)列表:在x的取值范围内列出函
数对应值表: (2)在直角坐标系中描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点 (3)连线:用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=x2的图象,如图所示。 提问:观察这个函数的图象,它有什么特点? 让学生观察,思考、讨论、交流,归结为:它有一条对称轴,且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 三、做一做 1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别? 2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么? 3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么? 对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论。交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减)
3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法1:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下:
2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法2: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,, ()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
二次函数图像的画法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数y=ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数y=ax^2的图像时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值,然后计算出对应的y值,这样的对应值选取越密集,描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数y=x^2的图像,它是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y=x^2关于y轴对称,所以y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线y=x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y=x 2有最低点.所以函数y=x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时,y=ax^2的图像 当a<0时,y=ax^2的图像
二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax^2; y=ax^2+K y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0,0) (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,4ac-b^2/4a) 对称轴 x=0
x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象; 当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x+ h)²+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x -h)²+k的图象;在向上或向下.向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。 因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2; +k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方
一元二次函数图像
一元二次函数图像一、一元二次函数型式 y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c 二、一元二次函数图像画法 1、形状:抛物线 2、开口:a>0,开口向上;a<0,开口向下 3、对称轴:x=- 4、与x轴得交点:方程得根 5、最大最小值: 三、例题 1、y=x2—5x+6 解:a=1,开口向上 对称轴:x=-= 方程根:x2-5x+6=0 x=2或x=3 最小值:=— 2、y=x2+5x+6 解:a=1,开口向上 对称轴:x=-=- 方程根:x2+5x+6=0 x=—2或x=—3 最小值:=- 3、y=-x2+5x-6 解:a=-1,开口向下 对称轴:x=-= 方程根:-x2+5x-6=0 x=2或x=3 最大值:= 4、y=-x2-5x-6 解:a=-1,开口向下 对称轴:x=—=— 方程根:—x2-5x-6=0 x=-2或x=-3 最大值:= 5、y=x2-2x 解:a=1,开口向上 对称轴:x=-=1 方程根:x2-2x=0 x=0或x=2 最小值:=-1 6、y=-x2—2x 解:a=-1,开口向下 对称轴:x=—=—1 方程根:-x2—2x=0
x=0或x=-2 最大值:=1 7、y=x2-2x+1 解:a=1,开口向上 对称轴:x=—=1 方程根:x2—2x+1=0 x=1 最小值:=0 8、y=—x2+2x-1 解:a=-1,开口向下 对称轴:x=—=1 方程根:—x2+2x-1=0 x=1 最大值:=0 9、y=x2 解:a=1,开口向上 对称轴:x=-=0 方程根:x2=0 x=0 最小值:=0 10、y=—x2 解:a=-1,开口向下 对称轴:x=-=0 方程根:—x2=0 x=0 最大值:=0 11、y=x2+x+1 解:a=1,开口向上 对称轴:x=-=- 方程根:△〈0,方程无解 最小值:= 12、y=-x2+x-1 解:a=-1,开口向下 对称轴:x=-= 方程根:△<0,方程无解 最大值:=— 一元二次函数图像题 1、y=x2-7x+10 2、y=x2+3x+2 3、y=—x2+7x-12 4、y=-x2—6x—8 5、y=x2+7x 6、y=-x2+7x 7、y=x2+4x+4
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质:
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
中考2018数学知识点:二次函数的图像及画法
中考2018数学知识点:二次函数的图像 及画法 新一轮中考复习备考周期正式开始,中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略,主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容,帮助各位考生梳理知识脉络,理清做题思路,希望各位考生可以在考试中取得优异成绩!下面是《中考2018数学知识点:二次函数的图像及画法》,仅供参考! 二次函数的图像及画法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数y=ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数y=ax^2的图像时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值,然后计算出对应的y值,这样的对应值选取越密集,描出的图像越准确。
用描点法画出二次函数y=x^2的图像,它是一条关于y 轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y=x^2关于y轴对称,所以y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线y=x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y=x2有最低点.所以函数y=x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时,y=ax^2的图像 当a 二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式
y=ax^2; y=ax^2+K y=a(x-h)^2; y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0,0) (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,4ac-b^2/4a)
《二次函数的图像及画法》知识点整理
《二次函数的图像及画法》知识点整理在平面直角坐标系中作出二次函数=x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数=ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数=ax^2的图像时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值,然后计算出对应的值,这样的对应值选取越密集,描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数=x^2的图像,它是一条关于轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线=x^2关于轴对称,所以轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线=x2的顶点是图象的最低点因为抛物线=x2有最低点所以函数=x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时,=ax^2的图像 当a<0时,=ax^2的图像 二次函数=ax^2;,=a^2;,=a^2+,=ax^2+bx+的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:解析式 =ax^2;
=ax^2+ =a^2; =a^2+ =ax^2+bx+ 顶点坐标 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时,=a^2;的图象可由抛物线=ax^2;向右平行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当h>0,>0时,将抛物线=ax^2;向右平行移动h 个单位,再向上移动个单位,就可以得到=a^2+的图象; 当h>0,<0时,将抛物线=ax^2;向右平行移动h 个单位,再向下移动||个单位可得到=a^2-的图象; 当h<0,>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动个单位可得到=a?+的图象; 当h<0,<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,