考研数学三公式定理全套汇编
高等数学公式
导数公式:
基本积分表:
a
x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22=
'='?-='?='-='='2
2
22
11
)cot (11
)(arctan 11
)(arccos 11
)(arcsin x x arc x x x x x x +-
='+=
'--
='-=
'?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x xdx x C
x dx x x C
x xdx x dx C x xdx x dx x
x
)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222
22
22
2C
a x x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
a x a dx C
x x xdx C x x xdx C
x xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
ππ
三角函数的有理式积分:
2
22212211cos 12sin u
du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , A.积化和差公式:
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
[])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
[])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++=
()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1sin sin B.和差化积公式:
①2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ ②2
sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=- 1.正弦定理:A a
sin =B b sin =C
c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径)
2..余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos
bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
3.S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R
abc
4=2R 2A sin B sin C sin
=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1
c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试
三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限
5.和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ?±=
±μ1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±μ
6.二倍角公式:(含万能公式)
①θ
θ
θθθ212cos sin 22sin tg tg +=
= ②θ
θ
θθθθθ222
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=
③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2
θθ+=
7.半角公式:(符号的选择由2
θ
所在的象限确定)
①2cos 12
sin
θθ
-±= ②2cos 12sin 2θ
θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12
cos 2
θθ
+=
⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2
cos 2cos 12θθ=+ ⑦2
sin
2
cos )2
sin 2
(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θ
θ
θθθθθ
sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
-=+=+-±
=tg
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑ΛΛΛ
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理。
时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u
dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=??-=??=?
-??
-??=-==??+??=??+??===???
??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=
, , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式:
时,
,当
:
多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
多元函数的极值及其求法:
????
???
??=-<-???><>-===== 不确定时值时, 无极为极小值为极大值时,则: ,令:设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
常数项级数:
是发散的
调和级数:等差数列:等比数列:n
n
n n q q q q q n
n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-ΛΛΛ 级数审敛法:
散。
存在,则收敛;否则发、定义法:
时,不确定
时,级数发散
时,级数收敛
,则设:、比值审敛法:
时,不确定时,级数发散
时,级数收敛
,则设:别法):—根植审敛法(柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=??
?
??=><=??
?
??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ
。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理:—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n
n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ 绝对收敛与条件收敛:
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
1时发散p
级数: 收敛;
级数:收敛;
发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;
肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n
n n n Λ
ΛΛΛ
函数展开成幂级数:
Λ
ΛΛ
Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:ξ
幂级数:
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时,时,时,的系数,则是,,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。
,其中时不定
时发散时收敛
,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全
,如果它不是仅在原点 对于级数时,发散
时,收敛于
ρρρ
ρρΛΛΛΛ
一些函数展开成幂级数:
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m ΛΛΛΛΛ
欧拉公式:
???
????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix
ix ix ix ix
e e x e e x x i x e 或 微
分
方
程
的
相
关
概
念
即得齐次方程通解。
,
代替分离变量,积分后将)(,)(,,则设的函数,解法:,即写成),(),(程可以写成
齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。
)()( 得:)()(的形式,解法:
)()(为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程0
),(),( 或 ),(一阶微分方程:u x
y
u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+=
===+='?????
一阶线性微分方程:
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+?
+?=≠?
===+?--n y x Q y x P dx
dy
e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx x P dx
x P ,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:
全微分方程:
通解。
应该是该全微分方程的,,其中:分方程,即:中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(
二阶微分方程:
时为非齐次
时为齐次,0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,,其中、写出特征方程:求解步骤:
为常数;,其中?'''=++?=+'+''式的通解:出的不同情况,按下表写、根据(*),321r r
型
为常数;型,为常数,]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
线性代数公式大全——最新修订
1、行列式
1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、ij A 和ij a 的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
4. 设n 行列式D :
将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2
1(1)
n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o
,所得行列式为2D ,则(1)2
2(1)n n D D -=-;
将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;
将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2
(1)
n n -? -;
③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2
(1)n n -? -;
⑤、拉普拉斯展开式:
A O A C A
B C
B O B
==、
(1)m n C
A O
A A
B B O
B C
==-g
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6.
对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n
n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;
7. 证明0A =的方法:
①、A A =-; ②、反证法;
③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.
A 是n 阶可逆矩阵:
?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵)
?A 的行(列)向量组线性无关;
?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价;
?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;
?A 的特征值全不为0; ?T A A 是正定矩阵;
?A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;
2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;
3.
1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***
111()()()T T T
AB B A AB B A AB B A ---===
4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:
若12
s A A A A ?? ?
?= ? ??
?
O
,则: Ⅰ、12s A A A A =L ;
Ⅱ、1111
2
1s A A A A ----?? ?
?= ? ? ??
?
O
; ②、1
11A O A O O B O B ---??
??
=
? ?????
;(主对角分块) ③、1
11
O A O B B O A O ---??
??= ? ?????
;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O
B -----??
-??=
? ?????
;(拉普拉斯) ⑤、1111
1A O A O C B B CA
B -----??
??
= ? ?-????
;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:r
m n
E
O F O
O ???
= ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? :; 2. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、若(,)(,)r
A E E X :,则A 可逆,且1X A -=;
②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)c
A B E A B - ~ ;
③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r
A b E x :,则A 可逆,且1x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、12
n ??
?
?Λ= ? ??
?
O
λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,i
λ乘A 的各列元素;
③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1
111111-???? ? ?
= ? ? ? ?????
;
④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且1
1(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -????
?
?
?=≠ ? ? ? ???
?
?
; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1
(())(())E ij k E ij k -=-,如:1
11
11(0)11k k k --???? ? ?=≠ ? ? ? ?????
;
5. 矩阵秩的基本性质:
①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤;
②、()()T r A r A =;
③、若A B :,则()()r A r B =;
④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)
⑧、如果A 是m n ?矩阵,B 是n s ?矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);
Ⅱ、()()r A r B n +≤
⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;
6. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如101001a c b ??
?
? ???
的矩阵:利用二项展开式; 二项展开式:0111
1110
()n
n
n
n m n m
m
n n n
n
m m n m
n
n
n
n
n
n m a b C a C a b C a b C
a b
C b C a b -----=+=++++++=∑L L ;
注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;
Ⅱ、0(1)(1)!
1123!()!
--+==
==-L L g g g L g m n n n n n n n m n C C C m m n m
Ⅲ、组合的性质:111
10
2---+-===+==∑n
m
n m m
m m r n
r r n
n
n n n
n
n n r C C C
C C
C
rC nC ;
③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:*()()1
()10()1
n
r A n r A r A n r A n = ??
==-??<-?
; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)A
A
AX X A A A A X X λλ
λ
- == ? =
;
③、*1A A A -=、1
*n A A
-=
8. 关于A 矩阵秩的描述:
①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)
②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;
9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ?矩阵,则:
①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;
②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 10. 线性方程组Ax b =的求解:
①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:
①、1111221121122222
1122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ????+++=?L L L L L L L L L L L L L L ;
②、111211121
22
22212
n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?
=?= ??? ?
??? ???????
L L M M O M M M L
(向量方程,A 为m n ?矩阵,m 个方程,n 个未知数)
③、()12
12n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???L
M (全部按列分块,其中12n b b b β?? ? ?= ? ???
M ); ④、1122n n a x a x a x β+++=L (线性表出)
⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1.
m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m αααL 构成n m ?矩阵12(,,,)m A =L ααα;
m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T T
m βββL 构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??
? ?= ? ? ???
M ;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解;(矩阵方程)
3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)
4. ()()T r A A r A =;(101P 例15)
5.
n 维向量线性相关的几何意义:
①、α线性相关
?0α=; ②、,αβ线性相关 ?,αβ坐标成比例或共线(平行);
③、,,αβγ线性相关 ?,,αβγ共面;
6. 线性相关与无关的两套定理:
若12,,,s αααL 线性相关,则121,,,,s s αααα+L 必线性相关;
若12,,,s αααL 线性无关,则121,,,s ααα-L 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :
若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤(二版74P 定理7);
向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;(86P 定理3) 向量组A 能由向量组B 线性表示
AX B ?=有解;
()(,)r A r A B ?=(85P 定理2)
向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==(85P 定理2推论)
8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ,使12l A P P P =L ;
①、矩阵行等价:~r
A B PA B ?=(左乘,P 可逆)0Ax ?=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价:~c A B AQ B ?=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ?=(P 、Q 可逆); 9. 对于矩阵m n A ?与l n B ?:
①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;
②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10. 若m s s n m n A B C ???=,则:
①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;
②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)
11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解;
②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解; 12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ?L 线性表示为:(110P 题19结论)
1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L (B AK =)
其中K 为s r ?,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ?=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关
性)
(必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ;充分性:反证法)
注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;
13. ①、对矩阵m n A ?,存在n m Q ?,m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关;(87P ) ②、对矩阵m n A ?,存在n m P ?,n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关; 14. 12,,,s αααL 线性相关
?存在一组不全为0的数12,,,s k k k L ,使得11220s s k k k ααα+++=L 成立;(定义)
?1212(,,,)0s s x x
x ααα?? ? ?= ? ???
L M 有非零解,即0Ax =有非零解;
?12(,,,)s r s ααα 15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-; 16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-L 为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关;(111 P 题33结论) 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=(定义),性质: ①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0 T i j i j a a i j n i j =?==? ≠?L ; ②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a L 11b a =; 1222111[,] [,] b a b a b b b =- g L L L 121121112211[,][,][,] [,][,][,] r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=- ---g g L g ; 3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ; ?=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()?=r A r B ,A 、B 同型; ②、A 与B 合同 ?=T C AC B ,其中可逆; ?T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-?=P AP B ; 5. 相似一定合同、合同未必相似; 若C 为正交矩阵,则T C AC B =?A B :,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定: A ?的正惯性指数为n ; A ?与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ?的所有特征值均为正数; A ?的各阶顺序主子式均大于0; 0,0ii a A ?>>;(必要条件) 考研概率论公式汇总 1.随机事件及其概率 吸收律:A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)( A B A A A A A =??? =??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律:B A B A =? B A AB ?= I Y n i i n i i A A 1 1 === Y I n i i n i i A A 1 1 === 2.概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -=若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式:对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )() 1()() ()()(211 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P ΛΛY -≤<<≤≤<≤==-+++ - =∑∑∑ 3.条件概率 ()=A B P ) () (A P AB P 乘法公式 ()) 0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛ 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1 )()( )()(1 i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式)(A B P k ) () (A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4.随机变量及其分布 分布函数计算) ()() ()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5.离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()(Λ=-==- * Possion 定理0lim >=∞ →λn n np 有 Λ ,2,1,0!) 1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP Λ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λλ 6.连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ?????<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ???????--=1 ,, 0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE ?????>=-其他, 00,)(x e x f x λλ ???≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞<<∞-=--x e x f x 2 22)(21 )(σμσ π ? ∞ --- = x t t e x F d 21 )(2 22)(σμσ π *N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2 221 )(π ? +∞<<∞-= Φ? ∞ -- x t e x x t d 21 )(2 2π 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ? ? ∞-∞ -=x y dvdu v u f y x F ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数 ?? ∞-+∞ ∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ? +∞ ∞ -=dv v x f x f X ),()( ? ? ∞-+∞ ∞ -=y Y dudv v u f y F ),()( ?+∞ ∞ -=du y u f y f Y ),()( 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布,U ( G ) ?????∈=其他, 0),(,1 ),(G y x A y x f (2)二维正态分布 +∞ <<-∞+∞<<∞-?-= ??? ? ????-+------ y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21 2 21σμσσμμρσμρρ σπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 )() ()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0 )() ()(>=y f y x f y f Y Y X Y ? ? +∞ ∞ -+∞∞ -==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ? ?+∞ ∞ -+∞∞ -==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )() ,(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征 数学期望 ∑+∞ ==1)(k k k p x X E ?+∞ ∞ -=dx x xf X E )()( 随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=??? ? ??--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(2 1 Y D X D Y X D --±±= 相关系数) ()() ,cov(Y D X D Y X XY = ρ 高等数学公式篇 ·万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式: 基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π 考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点 这一部分内容比较丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求 会证。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推 举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想 必各位都比较熟悉。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得 函数在该点的导数为0。 前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难判断是成立的,那么“取极值”呢?似乎不能由条件直 接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔 定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连 续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚,因为直接影响 下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若 最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种情况 讨论即可:若最值取在区间内部,此种情况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,注意到已知条件第三条 告诉我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值 和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在 开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中直接考过拉格朗日定理的证明, 若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路,适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后,把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查:根据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。当然,构造辅助函 数远比破案要简单,简单的题目直接观察;复杂一些的,可以把中值 换成x,再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题:证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉,而对它怎么来的.较为 陌生。实际上,从授课的角度,这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明,一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用,而不关心结论怎么来的,那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒:要重视基础阶段的复习,那些真题中 未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。 当然,该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法则, 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由x0的任意性,便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把 考研数学公式(全) ·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A 考研数学线代定理公式汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 3 概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 , 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注:全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+? +=?+=??? 有非零解=- 4 ? ? ????? →???? :;具有 向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???: ①称为n ? 的标准基,n ? 中的自然基,单位坐标向量87p 教材; ②12,,,n e e e ???线性无关; ③12,,,1n e e e ???=; ④tr =E n ; ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 行列式的定义 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 2 2 2 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222 222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-===-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 2 2222222 2222222 22222 2 020π π 高等数学公式篇·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式篇 导数公式: 基本积分表: C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-=' 同是寒窗苦读,怎愿甘拜下风! 概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 , 0总有唯一解 是正定矩阵 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注:全体n 维实向量构成的集合n 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+? +=?+=??? 有非零解=- 同是寒窗苦读,怎愿甘拜下风! ? ? ????? →???? 具有 向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???: ①称为 n 的标准基, n 中的自然基,单位坐标向量87p 教材; ②12,,,n e e e ???线性无关; ③12,,,1n e e e ???=; ④tr =E n ; ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 12 1212 11 12121222() 1212 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 专题八:公式大全 (一) 最近几天做题的过程中,越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用,可谓上镜率颇大。终于又下定决心,要好好整理一下咯! 下面将收录,我认为比较重要的部分公式。有些考的少,或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。(二) 1.当时, 当时,(用e的等价变形来记) (用未定式来记) (用换底公式来记) 2.未定式通用公式: 3.泰勒公式: (在与之间) 麦克劳林公式: () 4.五个基本初等函数泰勒公式: (1) (2) (3) (4) (5) 5.定积分重要公式: ※(1)若f(x)在[-a,a]上连续,则※(2)若f(x)在[0,a]上连续,则(3) 6.几个重要的广义积分: ※(1)(主要记这一个,以下的几个自己推) (2) (3) (4) 7.6种常见的麦克劳林展开式: (1) (2) (3) (4) (5) ※特别: (6) 8.微分方程与差分方程的6大类: (1)一阶齐次线性微分方程通解: (2)一阶非齐次线性微分方程的通解: (3)二阶常系数齐次线性微分方程(p,q为常数)的通解:由特征方程,解出 i.为两个不相等的实根: ii.为两个相等的实根: iii.为一对共轭复根, : (4)二阶常系数非齐次线性微分方程的特解: ①若,则特解为, i.若λ不是特征方程的根,则k=0 ii.若λ是特征方程的单根,则k=1 iii.若λ是特征方程的重根,则k=2 ②若,则特解为 i.若(或)不是特征方程的根,则k=0 ii.若(或)是特征方程的根,则k=1 (5)一阶常系数齐次线性差分方程的特征方程为: 通解为:(C为任意常数) (6)一阶常系数非齐次线性差分方程的特解为: ①若,则特解为: i.若1不是特征方程的根,则k=0 ii.若1是特征方程的根,则k=1 ②若,则特解为: (A,B为待定系数) 9.条件概率公式: 10.全概率公式: 贝叶斯公式: 高等数学公式篇· 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·si nβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·si nβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan γ·tanα) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B ·倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1 -2sin^2(α) 考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行(或列)所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和,即 C 的 3、设A 为n 阶方阵,*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵,那么当AB =E 或BA =E 时,有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种,初等矩阵也就有三种: 第一种:交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ,该矩阵也 可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种:将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ;该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种:将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ;该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注: 1)初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2)对每个初等矩阵,都要从行和列的两个角度来理解它,这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列,这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩,记为()r A . 1)()()(),0r r r k k ==≠T A A A ; 2)()1r ≠?≥A O A ; 3)()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例; 4)设A 为n 阶矩阵,则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量,12,,...m k k k 是m 个常数,则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量,β是一个n 维向量,如果β为向量组 凯程考研 历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员! 考研数学:高数重要公式总结(基本积 分表) 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的,其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式,希望能帮助考研生更好的复习。 其实,考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用,难题异题并不多,只要大家都细心、耐心,都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研 历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员! 凯程考研: 凯程考研成立于2005年,具有悠久的考研辅导历史,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯; 凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里; 信念:让每个学员都有好最好的归宿; 使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构; 激情:永不言弃,乐观向上; 敬业:以专业的态度做非凡的事业; 服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。 特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布,同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导,真真实实的案例,凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里。 如何选择考研辅导班: 在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经 高等数学公式 导数公式: 2(arcsin x)1 (tan x)sec x1x2 (cot x)csc2 x (arccos x)1 (secx)secx tan x 1x2 (csc x)cscx cot x (arctan x)1 ( a x )a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arc cot x) 1 x ln a1x2 基本积分表: tanxdx ln cos x C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C dx2 cos2 x sec xdx tan x C dx2 sin 2 x csc xdx cot x C secx tan xdx secx C csc x cot xdx csc x C dx 22 a x x2a2 dx 22 a x a2x21 arctan x C a a 1 ln x a C 2a x a 1ln a x C 2a a x arcsin x C a a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x2 a 2 ) C x2a2 2 sin n xdx 2 cos n n 1 I n I n xdx2 00 n x2 a 2 dx x x2a2a2ln( x x2a2 )C 22 x2a2 dx x x2a2 a 2ln x x2a2C 22 a2x2 dx x a2x2 a 2arcsin x C 22a 三角函数的有理式积分: A. 积化和差公式: B. 和差化积公式: ① sin sin 2 sin cos ② sin sin 2 cos sin 2 2 2 2 ③ cos cos 2 cos cos ④ cos cos 2 sin sin 2 2 2 2 1.正弦定理: a b c = == 2R ( R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C 2.. 余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 -2bc cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB c 2 =a 2 +b 2 -2ab b 2 c 2 a 2 cosC cos A 2bc 3. S ⊿= 1 a h a = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc =2R 2 sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R a 2 sin Bsin C b 2 sin Asin C c 2 sin Asin B =pr= p( p a)( p b)( p c) = = = 2sin C 2sin A 2sin B (其中 p 1 (a b c) ,r 为三角形内切圆半径 )4. 诱导公试 2 sin cos tan cot - - sin + cos - tg - ctg 三角函数值等于 的同名 三角函 数值,前面加上一个把 看作锐角 时,原 三角函数值的符号;即: 函 - + sin - cos - tg - ctg 数名不变,符号看象限 + - sin - cos + tg + ctg 5. 和差角公式 2 - - sin + cos - tg - ctg ① 2k + + sin + cos + tg + ctg ) sin coscos sin sin( sin cos tan cot ② + + - - cos + sin + cos - sin - cos - sin + cos + sin - ctg + tg ) cos cos sin sin cos( ctg - tg ctg + tg ctg - tg 2014考研数学三大纲 (官方版) 2014考研数学(三)考试大纲 考试科目:高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分,考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等教学约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为: 单选题 8小题,每题4分,共32分 填空题 6小题,每题4分,共24分 解答题(包括证明题) 9小题,共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数 和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求: 1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、 2020年考研高等数学的7个定理定义 1、函数的有界性 在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。函数f(x)在定义域内 有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、函数的单调性、奇偶性、周期性 3、数列的极限 定理(极限的性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定 有界。 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分 条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。 如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是 发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有 可能是收敛的。 4、函数的极限 函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0),反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存有的充分必要条件是左极限右极限各 自存有并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存有。 一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 5、极限运算法则 有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小; 如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b。 6、极限存有准则 两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1。 夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn≤xn≤zn 且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 7、函数的连续性 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果函数f(x)当 x→x0时的极限存有,且等于它在点x0处的函数值f(x0),即 lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形:1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但 lim(x→x0)f(x)不存有;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存有,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限及右极限都存有,则称 x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相 等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 (sin (tan (cot x ) x ) x ) cos x sec 2 x (ln x ) x (arcsin x ) 1 (sec x ) (csc x ) ( a x ) csc sec x 2 x tan x 1 (arccos x ) x 1 2 1 x 2 a x a x ) csc x ln a 1 x ln a cot x (arctan x ) 1 1 x 2 1 (log ( arc cot x ) 1 x 2 kdx kx C x a dx 1 1 dx x ln x C e x d x a e x 1 x a 1 C, (a 1) C a x dx a x ln a C ( a 0, a 1) sin xdx cosx C cosxdx sin x C 1 tanxdx ln cosx C 1 x 2 dx dx arctanx C sec2 xdx tan x C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cos2 x dx sin 2 x csc2 xdx cot x C cscxdx dx ln cscx cot x C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C a 2 x 2 1 arctan a dx x a a a x x C a x dx x 2 a 2 1 ln x 2a x 1 ln a C shxdx a x ln a chx C C dx a2 x 2 dx 2a a C a2 x 2 arcsin x a C chxdx dx x 2 shx C a 2 ln(x 2 x 2 a ) C 导数公式: 基本积分表: 高等数学公式篇 ( C ) 0 (cos x ) ( e x ) e x sin x ( X a ) aX a 1 1 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限) sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=- tanα cot(-α)=- cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)= -cosα cos(3π/2-α)= -sinα tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= -cotα cot(3π/2+α)= -tanα sin(2π-α)=- sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)=- tanα cot(2π-α)=- cotα sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) 高等数学公式篇 ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式:si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分: 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= , , , 一些初等函数: 两个重要极限: 和差角公式: ·和差化积公式: ·正弦定理:R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理: C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质: arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式: ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x考研数学公式大全(考研必备)
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