2018年安徽省江南十校联考理科数学试题及答案

2018年安徽省“江南十校”综合素质检测

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i 为虚数单位，则

1i

i

=+（ ） A ．1122i -- B ．1122i - C ．1122i + D ．1122

i -+

2.已知集合{|ln(12)}A x y x ==-，{|1}x

B x e =>，则（ ） A ．{|0}A B x x =>U B ．1|02A B x x ?

?=<<

????

I C ．1|2R A C B x x ??

=<

????

I D ．()R C A B R =U 3.()f x 是R 上奇函数，对任意实数x 都有3()()2f x f x =--，当13(,)22

x ∈时，2()log (21)f x x =-，则(2018)(2019)f f +=（ ）

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．2

4.在区间[0,1]上随机取两个数a ，b ，则函数2

1

()4

f x x ax b =++

有零点的概率是（ ） A ．112 B ．23 C ．16 D ．13

5.下列说法中正确的是（ ）

①“0x ?>，都有2

10x x -+≥”的否定是“00x ?≤，使20010x x -+<”.

②已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列. ③“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件. ④已知变量x ，y 的回归方程是$20010y x =-，则变量x ，y 具有负线性相关关系. A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 和n 的值分别是（ ）

A ．20，5

B ．20，4

C ．16，5

D ．16，4

7.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为3尺；莞生长第一天，长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”以下给出了问题的4个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．1.3日 B ．1.5日 C ．2.6日 D ．3.0日

8.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2

b a

c =，2

2

a bc c ac +=+，则sin c

b B

的

值为（ ）

A ．

1

2

B ．2

C ．2

D ．3

9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）

A ．3π+．4(1)π+ C ．4(π+ D ．4(1)π+

10.5

1()(2)a x x x x

+-的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．20- C ．20 D ．40 11.若函数()f x 的导函数'()cos()f x A x ω?=+(0,0,)2

A π

ω?>><

，'()f x 的部分图象如图所示，

()()12g x f x π

=-

，当12,,123x x ππ??

∈-????

时，则12()()g x g x -的最大值为（ ）

A

B

1 C ．3

2

D ．3 12.已知函数2

1()(1)2

x f x ax x e =

--()a R ∈，若对任意实数123,,[0,1]x x x ∈，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[1,2]

B ．[,4)e

C ．[1,2)[,4]e U

D ．[1,4]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(2,0)a =r ，(1,2)b =r

，实数λ

满足a b λ-=r r λ= ．

14.实数x 、y 满足131

12

x x y y x ??≥?+≤???≥-?，则1

1y x -+的取值范围是 ．

15.正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长为2，侧棱长为4，E 、F 分别为棱1BB 、11D C 的中点，则四面体1FECC 的外接球的表面积为 ．

16.已知双曲线1C ，2C 的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程为1

y x a

=±

，离心率分别为1e ，2e .则12e e +的最小值为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

17.等差数列{}n a 的首项*

1a N ∈，公差11,35d ??∈-- ???

，前n 项和n S 满足512S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若9

4n n b a =-，数列21n n b b +??????

的前n 项和为n T ，求证12n T <.

18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：

（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；

（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ（千步）服从正态分布2

(,)N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）(2,4,5)ξ∈的人数（结果四舍五入保留整数）；

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望

.

附：若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，

则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-<≤+=.

19.如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=o

.

（1）求证：CD BF ⊥；

（2）若22AB EF ==，BC =BF 与平面ABCD 所成角为45o ，求平面ADE 与平面BCF 所

成锐二面角的余弦值.

20.线段AB 为圆M ：2

2

21060x y x y ++-+=的一条直径，其端点A ，B 在抛物线C ：

22(0)x py p =>上，且A ，B 两点到抛物线C 焦点的距离之和为

212

. （1）求直径AB 所在的直线方程；

（2）过M 点的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，抛物线C 在P ，Q 处的切线相交于N 点，求PQN ?面积的最小值.

21.已知函数2

()ln()f x ax x ax =--(0,)a a R ≠∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）讨论函数()f x 零点的个数.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程是cos 2sin x y ?

?

=??

=?（?为参数，0?π≤≤），在以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是4ρ=，等边ABC ?的顶点都在2

C

上，且点A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(4,)6

π

.

（1）求点A ，B ，C 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线BC 距离的取值范围. 23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥； （2）求证：1

()22

f x a a ≥--.

2018年安徽省“江南十校”综合素质检测

数学（理科）解析及评分标准

一、选择题

1-5: CBADD 6-10: ACDAD 11、12：CD

二、填空题

13. 1λ=或15λ=-

14. 31,42??

-????

15. 17π

16. 三、解答题

17.解：（1）∵512S S =，∴115101266a d a d +=+，得18a d =-，

∵1135d -<<-，∴188

53

a <<， 又∵*

1a N ∈，∴12a =，14

d =-，

∴9

4

n n a -+=.

（2）∵94n n b a =

-，∴4n n b =-，∴2116(2)n n b b n n +=+11

8()2

n n =-+， 132411n T b b b b =

+2

1

n n b b ++???+ 11111118(13243546=-+-+-+-1111)112n n n n +???-+--++

1118(1)12212

n n =+--<++.

18.解：（1）0.0410.0830.1650.447x =?+?+?+?0.1690.1110.0213+?+?+? 6.967=≈. （2）∵(7,2,5)N ξ:，∴(4.59.5)0.6826P ξ<<=，(212)0.9544P ξ<<=， ∴(2 4.5)P ξ<<1

((212)2

P ξ=

<<(4.59.5))0.1359P ξ-<<=. 走路步数(2,4,5)ξ∈的总人数为4000.135954?≈人. （3）由题意知X 的可能取值为400，300，200，100，0，

(400)P X =222

0.120.0144C =?=，(300)P X =120.120.760.1824C =??=， (200)P X =12

0.120.12C =??2220.760.6064C +?=， (100)P X =1

2

0.120.760.1824C =??=，(0)P X =20.120.0144==. 则X 的分布列为：

4000.01443000.1824EX =?+?2000.60641000.1824+?+?00.0144200+?=.

19.解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO 平面

ABCD ，因此FO OB ⊥.

∴FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=o

， ∴FOC FOB ???，∴OB OC =，

由已知45DCB ∠=o

得BOC ?为等腰直角三角形，因此OB CD ⊥，又CD FO ⊥， ∴CD ⊥平面FOB ，∴CD FB ⊥.

（2）∵//AB CD ，AB ?平面CDEF ，CD ?平面CDEF ，∴//AB 平面CDEF ， ∵平面ABEF I 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，

由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题设可得45FBO ∠=o

，进而可得1,2,0A -（），1,0,0B （），0,1,0C （），0,1,0)D -（，(0,1,1)E -，

(0,0,1)F ，

设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，则0

m AD m DE ??=???=??u r u u u r

u r u u u r ，即11100x y z -+=??

=?，

可取(1,1,0)m =u r

，

设平面BCF 的法向量为222(,,)n x y z =r ，则0

0n BC n CF ??=???=??r u u u r

r u u u r

，即222200x y y z -+=??-+=?， 可取(1,1,1)n =r

，

则cos ,m n m n m n

?<>=?u r r

u r r u r

r =

=，

20.解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，抛物线C 的焦点为F ，则12AF BF y y p +=++， 又1210y y +=，故21102p +=，∴1

2

p =， 于是C 的方程为2

x y =.

211

2

22

x y x y ?=??=??，则1212y y x x --122x x =+=-， ∴AB 的直线方程为230x y +-=.

（2）不妨记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ，直线l 的方程为(1)5y k x =++，

联立2(1)5x y y k x ?=?=++?得2

50x kx k ---=，

则12125

x x k x x k +=???=--?

，PQ =

又因为011012()y y x x x -=-，则2

101020x x x y -+=， 同理可得：2

202020x x x y -+=，

故1x ，2x 为一元二次方程2

0020x x x y -+=的两根，

∴012

025

x x x y k =+??

=--?，

点N 到直线PQ

的距离d =

2=

12

NPQ

S PQ d ?=?322

1(420)4k k =++3

221[(2)16]4k =++，

∴2k =-时，NPQ ?的面积S 取得最值16. 21.解：（1）当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞，

1'()21f x ax x

=--221ax x x --=

，令2

210ax x --=得：

10x =

<

，20x =>，

∴()f x 的单调递增区间为2(,)x +∞.

当0a <时，()f x 的定义域为(,0)-∞，1'()21f x ax x

=--221

ax x x --=，

当180a ?=+≤即1

8

a ≤-时，()f x 的单调增区间为(,0)-∞， 当0?>，即108a -

<<时，12'()()a f x x x x

=-221()(0)x x x x -<<. ()f x 的单调递增区间为2(,)x -∞和1(,0)x .

（2）由（1）知当1

8a ≤-时，()f x 在(,0)-∞内单调递增，1()0f a

=， 故()f x 只有一个零点1x a

=， 当1

08

a -

<<时，()f x 在2x x =处取极大值，1x x =处取极小值. 由12

112x a x +=

知11x <-，而211114x x a a <<<<-，则21

()()0f x f a

>=， 21111()ln()f x ax x ax =--11112ln()21

x x

x -=

++， ∵11x <-，∴

111121

1011

x x x x --=>++，∴1()0f x >， ∴当0a <时，函数()f x 只有一个零点1

x a

=， 当0a >时，

令()(1)1ln g a f a a ==--，

1

'()a g a a

-=

，()g a 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， min ()(1)0g a g ==，∴()(1)0g a f =≥（当且仅当1a =时，等号成立），

i ）1a >时，

1114a a >

>，1

()0f a

=，(1)0f >，

由（1

）函数单调性知，0f <

，所以函数在存在零点，

∴()f x 在(0,)+∞有两个零点. ii ）01a <<时，

11a <

<，1

()0f a

=，(1)0f >，

同理可得函数在存在零点，

∴()f x 在(0,)+∞有两个零点. iii ）1a =时，

1

()(1)0f f a

==，函数在(0,)+∞有一个零点. 综上所述：

当0a <或1a =时，函数有一个零点， 当0a >且1a ≠时，函数有两个零点.

22.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得点A

的直角坐标2)A ， 由已知，B 点的极坐标为5(4,

)6

π

，可得B

两点的直角坐标为(2)B -， C 点的极坐标为3(4,

)2

π

，同理可得C 两点的直角坐标为(0,4)C -. （2）BC

40y ++=，

设点(cos ,2sin )P ??(0)?π≤≤，则点P 到直线BC 距离

d

=

=

cos θ=

，sin θ=， 因为0?π≤≤，所以θ?θπθ≤+≤+

，所以sin()1?θ≤+≤，

所以d ∈.

23.解：（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥

2332x x ≤-???--≥?或12212x x ?-<<-???-+≥?或12332

x x ?≥-

???+≥?

2x ?≤-或21x -<≤-或13

x ≥-

1x ?≤-或1

3

x ≥-，

所以不等式的解集为1{|1}3

x x x ≤-≥-或. （2）()22f x x x a =+++2||||22a a x x x =+++

++|2|||22a a x ≥-++|2||2|22

a a ≥-=-1|(2)|2a a =--1|2|||2a a ≥--1

|2|||2

a a =--.